Elementary Number Theory with Applications, Student Solutions Manual pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Koshy, Thomas

出品人:

页数:704

译者:

出版时间:2002-4

价格:$ 53.05

装帧:

isbn号码:9780124211735

丛书系列:

图书标签:

• Number Theory
• Elementary Number Theory
• Mathematics
• Student Solutions Manual
• Textbook
• Applications
• Undergraduate
• Problem Solving
• Solutions
• David Burton

好的，这是一本关于初等数论及其应用的图书简介，聚焦于理论的严谨性、清晰的阐述以及广泛的应用实例，旨在为学生和爱好者提供一个扎实且引人入胜的学习资源。 --- 深入浅出：现代数论的基石与应用 一本面向初学者的严谨入门指南 本书旨在为读者提供一个全面、深入且易于理解的初等数论导论。它不仅仅是一本定理和证明的集合，更是一部引导读者领略数论之美、探索数字世界深层结构的实践手册。我们力求在保持数学严谨性的同时，以清晰、富有启发性的方式构建知识体系，确保即便是初次接触数论的读者也能稳步前进。 第一部分：整数的结构与基础 本书从最基本的概念出发，为读者打下坚实的数论基础。 第一章：算术的基石——自然数与整数 本章首先回顾了自然数和整数的代数结构，重点引入了良序原理和数学归纳法，这是证明数论定理的两个核心工具。随后，我们详细探讨了欧几里得引理和带余除法，奠定了整除性理论的起点。 第二章：最大公约数与最小公倍数 本章的核心是欧几里得算法。我们不仅展示了如何高效地计算最大公约数（GCD），更重要的是，深入剖析了裴蜀等式（Bézout's identity）及其在有理数和线性丢番图方程中的关键作用。最小公倍数（LCM）的性质及其与GCD的关系也被系统阐述。 第三章：素数的奥秘 素数是数论的灵魂。本章从定义开始，系统性地介绍了素数的无限性（欧几里得的经典证明），并引入了算术基本定理（唯一素数分解定理）。我们探讨了素数分布的初步规律，并为后续更深入的分析（如素数定理的初级理解）做好了铺垫。 第四章：同余论的建立 同余式是数论中最强大和优雅的工具之一。本章详细定义了同余关系，阐述了其在模 $n$ 意义下的代数性质。我们随后引入了完系和缩系的概念，并探讨了线性同余方程 $ax equiv b pmod{m}$ 的解的存在条件与求解方法，这是密码学和初等解析数论的基石。 第二部分：数论的核心工具与应用 在建立了基础概念后，本书转向探讨更高级的工具和它们在数论中的实际应用。 第五章：积性函数与计算数论 本章引入了积性函数的概念，特别是欧拉$phi$函数（Euler's totient function）——它在计算群的阶和加密算法中至关重要。我们推导了$phi$函数的计算公式，并介绍了莫比乌斯反演公式，这是一个强大的工具，用于在直接计算困难时，通过反演关系获取所需信息。 第六章：费马、欧拉与原根 本章聚焦于数论中的三大著名定理。费马小定理（Fermat's Little Theorem）被用作证明其他定理的跳板。随后，我们推广至欧拉定理，并详细解释了其在计算模幂运算中的效率优势。最后，我们引入原根（Primitive Roots）的概念，探讨了在特定模下，哪些整数具有生成所有互质数的性质，这为离散对数问题的研究奠定了理论基础。 第七章：二次剩余与勒让德符号 本章进入二次剩余的世界。我们定义了二次余数的概念，并引入了勒让德符号（Legendre Symbol）来判断一个整数是否为模素数的二次剩余。本章的亮点是欧拉判别法和高斯引理的清晰阐述。 第八章：二次互反律及其应用 本章的难点在于系统性地介绍二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity），这是高斯引入的、数论中最美丽的定理之一。我们详细介绍了雅可比符号（Jacobi Symbol）作为勒让德符号的推广，并展示了如何运用互反律高效地判断复杂的二次剩余问题。 第三部分：数论的解析视角与应用前沿 最后一部分将视角从纯代数转向与分析的交叉点，并展示数论在现代科技中的实际价值。 第九章：丢番图方程的初探 丢番图方程因其整数解的挑战性而闻名。本章主要关注最简单的非线性形式：勾股方程 $x^2 + y^2 = z^2$ 的所有整数解的参数化表示。我们随后探讨了更具挑战性的费马大定理在 $n=3$ 和 $n=4$ 时的特例证明，着重于展示初等方法（如无穷递降法）的强大能力。 第十章：数论在加密学中的基础 数论不再是纯粹的理论研究，而是现代信息安全的支柱。本章将前述知识应用于现代密码系统。我们详细解释了RSA加密算法的数学原理，包括大素数的选取、模指数运算的安全性分析，以及欧拉$phi$函数在密钥生成中的核心地位。此外，我们简要介绍了迪菲-赫尔曼密钥交换的数学基础。 第十一章：梅森素数与计算挑战 本章探讨了素数发现的历史进程和现代计算方法。我们聚焦于梅森数 $M_p = 2^p - 1$ 及其与完全数的联系。本章将介绍卢卡斯-莱默检验法，展示计算机如何被用于寻找目前已知的最大素数，从而将理论知识与前沿的计算实践相结合。 学习体验与特色 本书的结构设计确保了学习的连贯性。每一个新概念的引入都伴随着清晰的定义、直观的动机和详尽的证明。章节末尾精心设计的习题（涵盖了从基础验证到高级证明的各个层面），旨在巩固读者的理解，并鼓励他们独立思考。通过本书，读者将不仅掌握初等数论的全部核心内容，更将培养出严谨的数学思维和解决实际问题的能力。 ---

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这本书的名字听起来就带着一种扎实的学术气息，让人联想到那些经典的数学教科书。我通常对这类纯理论性的著作抱持着谨慎的乐观，因为它们往往是深入理解某一领域的基石，但也可能因为过于抽象而令人望而却步。我期待它能提供一个清晰、逻辑严密的框架，尤其是在介绍数论那些核心概念，比如模运算、二次互反律这些内容时，能有足够多的例子来辅助理解。毕竟，数论的美妙之处很大程度上在于它那些看似简单的命题背后蕴含的深刻结构。我希望作者在处理这些基础定理时，能像一位技艺精湛的工匠，将复杂的概念打磨得圆润光滑，而不是堆砌冷冰冰的公式。如果书中能穿插一些历史背景的介绍，讲述这些理论是如何一步步被发展起来的，那无疑会大大增加阅读的趣味性，让枯燥的符号活起来。对于一个数学学习者而言，一本好的教材不仅是知识的载体，更是一条引导思维的路径，我希望这本书能提供这样一条坚实而富有启发性的路径。

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作为一名自学者，我最看重的是配套习题的质量和解答的详尽程度。这本书既然带有“学生解题手册”的字样，那么这部分内容就显得尤为重要。我可不希望它只是给出一些只有最终答案的简短罗列。真正的学习发生在与错误的搏斗中，所以，如果一个证明过程被卡住了，我需要的是一个逐步引导、逻辑清晰的解析，能指出我在哪个关键的推理步骤上出现了偏差。理想的解题手册，应该像一个耐心的私人导师，不仅告诉你该怎么做，还要解释为什么其他方法可能不适用，或者某个巧妙的技巧是如何想到的。如果习题能涵盖从基础概念的巩固到高级技巧的训练，并且难度递进合理，那将是巨大的加分项。毕竟，数论的学习是实践性的，没有大量的、高质量的练习和反馈，理论知识很容易变成空中楼阁。

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坦白说，我对市面上大多数数论教材的“应用”部分总是不太满意。它们要么是蜻蜓点水，只在最后几章草草提一下RSA加密算法，然后就戛然而止；要么就是生硬地将理论与实际问题挂钩，让人感觉像是为了凑篇幅而强行添加的章节。我更希望看到的是一种内生的、自然而然的应用展示。比如，在讨论丢番图方程时，能不能更深入地探讨它在特定优化问题或组合结构中的体现？或者，如果涉及到了代数数论的边缘，能否以一种更直观的方式解释它在现代密码学中的作用，而不是仅仅停留在公式推导上？如果这本书能真正做到“与应用结合”，我期待的是那种能让人产生“原来如此，这个抽象的理论竟然能解决真实世界的问题”的豁然开朗的感觉，而不是为了满足课程大纲的要求而存在的僵硬章节。高质量的应用实例，是区分一本普通教材和一本优秀教材的关键所在。

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从排版和可读性上来说，一本数学书的“手感”也很关键。我不太喜欢那种拥挤不堪、字体过小，或者数学符号和文字混杂在一起，让人眼睛疲劳的排版。我希望这本书在视觉上是清爽、有呼吸感的。特别是涉及大型矩阵、复杂的连分式表示，或者需要清晰界定范围的数学表达式时，清晰的结构和恰当的留白能极大地提升阅读效率。此外，如果书中能提供一些不同颜色或加粗来区分定义、定理和引理，那将是非常人性化的设计。我常常发现，很多时候我们找不到一个知识点，不是因为没记住，而是因为在密集的文本中被“隐藏”了。对于一本需要反复查阅的参考书来说，良好的视觉引导是衡量其设计水平的重要标准。

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这本书的“基础数论”定位，意味着它必须对初学者友好，但同时，如果它想在学术界站稳脚跟，它又不能止步于入门。我非常关注它在处理那些经典数论分支——比如解析数论的黎曼Zeta函数相关的初探，或者代数数论的克罗内克-韦伯定理的引子——时的处理深度和角度。它是否为那些希望进一步深造的学生搭建了一个稳固的桥梁？我希望它在介绍完基础之后，能够适当地“抬高视野”，展示出数论广阔而迷人的全貌，而不是仅仅停留在费马小定理和欧拉定理的重复验证上。一本优秀的教材应该激发读者的好奇心，让他们在掌握了基本工具后，迫不及待地想要去探索更深层次的奥秘。这种对未来学习的铺垫和展望，远比单纯的知识点堆砌更有价值。

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