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出版者:

作者:Cohen, David/ Lee, Theodore/ Sklar, David

出品人:

页数:1020

译者:

出版时间:

价格:1613.00

装帧:

isbn号码:9781439044605

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，以下是一本名为《Precalculus》的图书的简介，内容详尽，旨在全面介绍其涵盖的数学主题，同时避免提及您指定的书名： --- 高等数学预备：深入解析与应用 导言：跨越代数与微积分的桥梁 本书旨在为学习高等微积分、线性代数以及其他更高级数学分支的学生奠定坚实的、全面的基础。它不仅仅是对传统高中代数和三角函数的简单回顾，而是对这些核心概念进行系统性重构和深化，确保读者能够以严谨的视角理解函数、方程和图形背后的深刻数学原理。我们的目标是构建一座坚固的桥梁，使读者能够自信地从基础代数思维过渡到高等数学的抽象思维模式。 本书的结构设计遵循逻辑递进的原则，从对函数概念的严格定义开始，逐步深入到多项式、有理函数、指数与对数、三角函数，最终扩展到序列、级数和解析几何的基础。每一章节都力求在理论深度和实际应用之间取得平衡，通过大量的例题和精心设计的练习题，巩固读者的理解并培养其解决复杂问题的能力。 第一部分：函数的核心概念与代数工具箱的深化 本部分聚焦于函数这一贯穿整个高等数学的核心工具。我们首先对函数的定义、性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性）进行精确的界定，这是理解后续所有数学模型的基石。 1. 函数与函数的变换 我们将详细探讨函数的各种表示方法：代数表达式、图形、表格和文字描述。重点分析函数的组合、反函数（包括其存在条件和求法），以及一系列基本的函数变换——平移、拉伸、反射。理解这些变换如何系统地影响函数图形，是构建复杂模型的基础技能。 2. 多项式函数与有理函数 本部分深入研究多项式函数的行为。我们将从因式定理、余数定理出发，探讨高次方程的求解策略。特别地，复数系统将在多项式根的分析中扮演关键角色。我们不仅研究实系数多项式的实根，更要理解复数根的共轭对性质。 随后，我们转向有理函数，这是代数运算能力的关键测试点。我们将详细讲解如何通过长除法分解有理函数，识别并分析垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。理解这些渐近线对于精确描绘函数图像至关重要。 3. 指数函数与对数函数：增长与衰减的数学语言 指数和对数是描述自然界中增长与衰减现象的强大工具。我们首先严谨地定义自然底数 $e$，并建立自然对数 $ln(x)$ 与以任意底为底的对数之间的联系。本书将详尽展示对数和指数的运算律，并通过实际问题（如复利计算、放射性衰变模型）来强化这些概念的应用。读者将学习如何利用换底公式解决涉及不同底数的复杂问题。 第二部分：三角学的几何与代数统一 三角学是连接几何、周期性现象和高等微积分的关键。本部分将三角函数从简单的直角三角形比率扩展到整个实数域上的周期函数。 4. 角度、弧度与三角函数的定义 我们将统一角度的度量制（度与弧度），强调弧度制在高等数学中的优越性。在单位圆的基础上，对正弦、余弦、正切及其反函数进行全面而严格的定义，覆盖所有四个象限。 5. 三角恒等式与方程的求解 三角恒等式的掌握是本部分的核心。我们将系统地推导和应用毕达哥拉斯恒等式、和差角公式、二倍角公式和半角公式。这些恒等式是化简复杂三角表达式、求解三角方程的必要“武器”。我们不仅关注基本方程的求解，还将探讨涉及到多步恒等式变换的复杂方程。 6. 三角函数的图像与应用 深入分析正弦、余弦等函数的周期性、振幅和相位平移，并学习如何根据实际物理或工程问题（如简谐运动、波形分析）来构建相应的三角函数模型。同时，我们将引入反三角函数，讨论它们的定义域、值域限制以及在求解几何问题中的应用。 第三部分：超越二维——解析几何与空间思维 本部分将数学从二维平面扩展到三维空间，并引入向量和圆锥曲线等重要的几何结构。 7. 向量与平面几何 我们将介绍二维向量的代数表示法（分量形式）和几何表示法，学习向量的加法、数乘以及最重要的——点积（内积）。点积的应用，例如求解两个向量之间的夹角或投影，是理解物理学中做功概念的先决条件。 8. 圆锥曲线的解析表示 本部分详细研究圆、椭圆、双曲线和抛物线。我们将从它们在平面直角坐标系中的标准方程出发，分析其焦点、顶点、离心率和准线等关键几何特征。我们还将探讨圆锥曲线的一般二次方程形式，学习如何通过配方法识别曲线类型并将其转化为标准形式。 第四部分：离散数学的初步探索 在进入连续数学（微积分）之前，本部分为读者提供了对离散过程和无穷求和的初步认识。 9. 序列与级数 我们将区分序列（数列）与级数（求和）。重点研究等差序列和等比序列的通项公式和求和公式。对于等比级数，我们将严格论证当公比的绝对值小于一时，无穷级数收敛的条件及其求和公式。这为理解微积分中的泰勒级数和幂级数打下了直观基础。 10. 数学归纳法 数学归纳法作为一种严谨的证明技术，在本部分得到充分体现。我们将通过一系列的例子（从简单的代数恒等式到不等式和整除性证明），教会读者如何构造和执行规范的归纳证明，这是提升数学推理能力的关键训练。 总结与展望 本书内容覆盖广泛而深入，旨在确保读者不仅“知道如何做”，更要“理解为什么”。通过对函数、三角学、解析几何和序列的系统学习，读者将具备在任何需要定量分析和模型构建的学科中取得成功的必备数学素养。掌握本书内容，即标志着您已完全准备好迎接微积分乃至更高级数学课程的挑战。 ---

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这本《预备微积分》的体量着实不小，但它的内容组织却展现出一种惊人的逻辑性和层次感。它似乎深知预备阶段学习者的最大障碍在于知识的碎片化和缺乏连贯性。因此，作者非常巧妙地将代数、几何与初步的分析概念编织在一起，形成了一个完整的知识网络。我发现它在介绍数列和级数时，不仅仅是枯燥地给出求和公式，而是引入了著名的思想实验，比如芝诺悖论，以此来展现无限求和的数学意义和收敛性的重要性。这种历史感和思想深度，让冰冷的数字似乎都拥有了生命。另一个让我印象深刻的地方是其对“极限”这一核心概念的铺垫，它没有直接给出严格的 $epsilon-delta$ 定义，而是通过一系列越来越精细的逼近过程图示，让读者在直觉上先接受“无限接近”的概念，为日后学习微积分打下了坚实的直观基础。这本书对于自学者来说极为友好，因为它在每一个重要转折点都会有一个“回顾与展望”的总结，清晰地告诉我们“我们学了什么”以及“接下来我们将走向何方”，这种导航式的写作，极大地增强了学习的安全感和目标感。

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说实话，我拿到这本书的时候，是带着怀疑态度的，因为我尝试过好几本同类型的教材，它们大多是“蜻蜓点水”或者“过于学术化”。但这一本，完全颠覆了我的印象。它的语言风格非常像一位经验丰富、充满热情的大学教授在面对一群聪慧的学生进行私下辅导。作者很少使用晦涩难懂的术语，即便必须引入新概念，也会先通过一个生活化的比喻或一个简短的数学故事来铺垫。特别是关于三角函数的周期性和对称性，这本书的处理方式简直是教科书级别的典范。它没有直接跳到单位圆，而是从物理学的振动模型入手，通过绳索的摆动、声波的传播等例子，自然而然地引出了正弦和余弦的性质，这种“从应用到理论”的倒置教学法，极大地激发了我的学习兴趣。此外，书中对代数技巧的强调也十分到位，它细致地展示了如何化简复杂的有理函数表达式，每一步的理由都解释得清清楚楚，避免了读者在繁琐运算中迷失方向。我感觉自己不仅仅是在学习一个学科的知识，更是在学习一种严谨、有条理的思维方式。

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这本书的装帧设计非常耐看，封面材质手感极佳，一看就知道是长期使用的材料。内容方面，我最欣赏它在处理解析几何时的细致入微。通常预备课程会匆匆带过椭圆、双曲线的标准方程，但这本书却花了大量的篇幅去推导这些曲线的定义——即到定点的距离之和或之差为常数——并通过旋转坐标系的方法，系统地展示了如何将一般二次曲线方程化为标准形式。这种对推导过程的尊重和细致，体现了作者对数学严谨性的坚持。对我来说，理解“为什么是这个公式”比记住“这个公式是什么”重要得多，而这本书恰恰满足了我的这种需求。此外，书中的案例研究部分，虽然篇幅不多，但都经过精心挑选，它们往往涉及物理学中的简谐运动描述，或是金融学中的复利模型，这些都极大地拓展了我的视野，让我认识到这些看似抽象的数学工具，在现实世界中是如何发挥作用的。总而言之，它是一本内容扎实、讲解清晰、结构严谨的优质教材，它不仅仅教授技巧，更重要的是培养了读者对数学美的欣赏能力和探究精神。

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翻开这本书，我立刻被其详尽且深入的讲解方式所吸引。这不是那种只会罗列定理和证明的冷冰冰的教材。作者似乎非常理解初学者在面对高等数学前沿时那种既兴奋又恐惧的心态，因此在关键的转折点上，总会设置一些“深度聚焦”的板块，用非常清晰的语言阐述背后的数学思想。例如，在处理对数和指数函数时，作者不仅仅停留在定义和性质上，而是花费了大量的篇幅来探讨它们在自然界中出现的必然性，比如复利的增长模型，甚至是简单的放射性衰变。这使得我对这些概念的理解不再是死记硬背，而是上升到了哲学层面——理解事物如何随时间变化。更值得称赞的是，书中的图示质量极高，那些三维坐标系的图形、向量场的展示，清晰度无可挑剔，极大地辅助了空间想象力的构建。我尤其喜欢它在章节末尾设置的“挑战性问题”，这些问题往往需要综合运用前面学到的多个知识点，解答过程充满了解谜的乐趣，让人甘愿花费数小时去攻克。这本书的排版也做得非常人性化，大量的留白使得长时间阅读眼睛不易疲劳，每页信息的密度适中，确保了阅读的节奏感。它无疑是一本可以陪伴你度过整个预备阶段的良师益友。

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这本厚厚的书，拿到手上就觉得分量十足，封面设计得很有现代感，蓝白相间的色调让人联想到清澈的天空和纯净的数学之美。我原本对“预备微积分”这个主题有些望而却步，觉得它可能只是把高中代数和三角函数简单地堆砌起来，缺乏深入的洞察力。然而，这本书的编排结构却非常精妙。它没有急于展示复杂的公式推导，而是花了大量篇幅来建立直觉和几何理解。特别是关于函数图形变换的那几章，作者简直像是一位耐心的园丁，引导我们观察参数变化如何影响曲线的形态，那种从具体例子过渡到抽象概念的过程，自然流畅得让人感到舒适。书中的例题设计也很有意思，它们不仅仅是简单的计算练习，很多都融入了实际的应用背景，比如坡度、增长率的初步概念，这让我觉得所学的知识立刻有了用武之地，而不是孤立存在的数学符号。阅读过程中，我几次停下来，对着几何图表揣摩良久，那种“啊，原来如此！”的顿悟感，是很多教科书难以提供的体验。唯一的遗憾是，有些基础概念的复习部分略显单薄，对于完全没有接触过高等数学基础的读者来说，可能需要辅以其他资料。但总体而言，这本书的叙事性极强，它成功地将一门看似枯燥的学科，变成了一场引人入胜的智力探险。

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