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出版者:

作者:Leimbach, Judy

出品人:

页数:66

译者:

出版时间:

价格:93.00 元

装帧:

isbn号码:9781593630690

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深入解析：高中代数与几何的拓展视野 本书旨在为对数学有更深层次探究愿望的高中生提供一套精心设计的补充材料，它并非旨在替代标准的代数和几何教科书，而是作为一座桥梁，将学生从基础知识的掌握延伸至更广阔、更精妙的数学世界。 本书专注于发掘核心数学概念背后的深刻逻辑和潜在应用，引导学习者进行更高阶的思维训练。我们深知，单纯的公式记忆和解题技巧的堆砌难以培养出真正的数学家潜质。因此，本书的每一单元都围绕一个明确的“拓展目标”展开，旨在拓宽学生的知识边界，深化对数学结构美的理解。 第一部分：代数思维的精炼与升华 本部分着重于对传统代数工具的深度挖掘，展示看似简单的方程和函数背后所蕴含的复杂结构。 单元一：多项式函数的深层结构与有理方程的解析 我们首先回顾了标准二次方程的求解方法，但很快将视角转向三次及以上的高次多项式。重点不再是机械地使用有理根定理，而是深入探讨多项式的根与系数之间的Vieta关系在高阶问题中的应用。我们将分析多项式函数的局部极值点与其导数（虽然不直接引入微积分概念，但会侧重于其几何意义的类比）的关系。 关键拓展： 我们将详细解析代数解的局限性，介绍伽罗瓦理论的初步概念，解释为何五次及以上的一般多项式方程不存在通用的根式解。这部分内容通过历史案例和抽象的群论思想的启发性引入，帮助学生理解数学理论的构建过程和内在的限制。 单元二：指数、对数与增长模型的数学本质 本单元超越了对数与指数函数图像的描绘，而是聚焦于它们在描述自然界和经济学现象中的核心作用。我们详细分析了连续复利的极限过程，推导出自然对数的底数 $e$ 的精确定义。 关键拓展： 我们引入了非整数次幂的严格定义，并探讨了欧拉恒等式 $e^{ipi} + 1 = 0$ 的历史背景和其在连接三角学、复数和指数函数方面的“美学价值”。通过对比离散增长（几何级数）与连续增长（指数函数），学生能更深刻地理解“变化率”在数学建模中的重要性。 单元三：矩阵的初探：超越联立方程组的视角 本章引入矩阵作为一种强大的工具，但目的并非仅仅是为了解 $3 imes 3$ 甚至更大的线性方程组。我们的核心在于展示矩阵作为一种线性变换的本质。 关键拓展： 我们通过二维平面上的旋转、拉伸和投影操作，直观地解释矩阵乘法如何对应于连续的几何变换。重点讨论了行列式的几何意义——它代表了由矩阵变换引起的面积（或体积）的缩放因子。这为未来接触线性代数打下了坚实的几何直觉基础。 第二部分：几何思维的拓展与拓扑初识 几何部分将挑战学生对欧几里得空间的基本认知，引入非欧几何的朴素观念，并探索维度增加带来的认知变化。 单元四：三角形的奥秘：超越毕达哥拉斯定理 除了回顾正弦、余弦和正切在直角三角形中的应用，本单元深入探讨了非直角三角形的解法。我们详细推导了正弦定理和余弦定理，并展示它们如何统一了三角形的度量关系。 关键拓展： 我们引入了塞瓦定理（Ceva's Theorem）和梅涅劳斯定理（Menelaus' Theorem），这些定理展示了在处理三角形内部或边上点共线（或共点）问题时，代数运算可以多么优雅地解决纯几何问题。此外，我们讨论了三角形的几种特殊中心点（如重心、内心、外心、垂心）的性质及其共点性（欧拉线）。 单元五：解析几何的深化：圆锥曲线的统一描述 本章不仅要求学生掌握抛物线、椭圆和双曲线的标准方程，更重要的是理解它们之间内在的联系——它们都是由平面与一个双圆锥面的截交所形成的。 关键拓展： 我们将使用极坐标系来重新描述这些曲线。通过极坐标，学生可以看到这些曲线的定义可以被统一在一个简洁的表达式之下（利用离心率 $e$）。重点分析了椭圆和双曲线的渐近线的意义，以及如何利用焦点和准线的定义来构造这些曲线，从而避免纯粹的代数运算。 单元六：基础拓扑的概念：空间的连续变形 这是本书最具启发性的章节之一，旨在向学生介绍“拓扑学”这一数学分支的直觉概念，它关注的是不依赖于测量（长度、角度）的属性。 关键拓展： 我们从直观出发，讨论“拉伸、扭曲、但不撕裂或粘合”的操作。通过著名的咖啡杯与甜甜圈的同胚类比，学生将理解拓扑不变量的概念。我们将分析欧拉示性数（Euler Characteristic）对于简单多面体（如立方体、四面体）的计算，展示 $V - E + F$ 这一简单公式如何揭示了形状的基本性质，而与具体尺寸无关。 第三部分：逻辑与数论的严谨性训练 最后一部分将把学生的注意力引向数学的逻辑基石和最古老的学科——数论，强调证明的严谨性。 单元七：数论的入门：整数的性质与模运算 本单元引入了数论的基本概念，如整除性、最大公约数和最小公倍数，并强调了欧几里得算法的效率。 关键拓展： 重点讲解模运算（Modular Arithmetic），将其视为一种“时钟”上的数学。我们将展示模运算在日历计算、密码学基础（如RSA算法的简化模型）中的实际应用。我们将简要介绍费马小定理和欧拉定理的初级形式，展示它们在简化大数运算中的强大威力。 单元八：证明的艺术：从直觉到严谨 本书的收官之作，旨在系统化地训练学生的证明技巧。我们不会仅仅罗列证明，而是剖析如何构建一个证明。 关键拓展： 本章详细对比了不同类型的证明方法： 1. 直接证明法： 依据定义和已知定理的逻辑推导。 2. 反证法（Reductio ad Absurdum）： 如何有效地构造矛盾假设。 3. 数学归纳法： 区分基础步骤、归纳假设和归纳步骤的精确表述，并展示其在证明无限序列性质中的应用。 我们将选取一些著名的、但难度适中的定理（例如，证明 $sqrt{2}$ 是无理数，或证明素数有无穷多个），带领学生一步步拆解思路、组织语言，最终形成一个完整、无懈可击的逻辑链条。 总结： 《深入解析：高中代数与几何的拓展视野》是一本面向求知欲旺盛的学习者的补充读物。它假设读者已经熟练掌握了标准的代数和几何课程内容，目标是激发学生对“为什么是这样”的好奇心，并提供工具和视角，帮助他们以更成熟、更具洞察力的方式去欣赏数学的结构、历史和无限的可能性。本书的价值不在于增加考试分数，而在于培养一种能够跨越基础知识界限，独立思考和探索更深层数学真理的能力。

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如果让我用一个词来概括这本书带给我的最大感受，那一定是“视野的拓宽”。我原以为自己对高等数学的一些基础概念已经有所掌握，但这本书中的某些单元，将这些概念置于一个全新的、更广阔的数学哲学背景下重新审视。它不仅仅是知识的传递，更像是一种思维模式的重塑。那些看似是独立的数学分支，在作者的笔下，竟然展现出惊人的内在联系和统一性。我尤其欣赏作者在讨论某些“前沿”或“冷门”分支时所展现出的那种热情与洞察力，让你意识到数学世界的辽阔远超乎想象。这不再是一本单纯的工具书，而更像是一张通往数学宇宙的星图，标明了许多你从未注意到的、但极具潜力的探索方向。对于那些已经有一定基础，但渴望突破思维定势、寻求更高层次理解的读者来说，这本书提供的参照系是无价的。

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我不得不说，这本书在结构布局上的设计堪称匠心独拙。它不像我以前看过的那些数学书籍，章节之间缺乏明显的逻辑关联，读起来像是在走迷宫。这里的每一个单元，无论主题多么发散，似乎都遵循着一套内在的、精妙的秩序。比如，当我们讨论到数论中的某个高级定理时，作者会非常自然地回顾前面章节中铺垫的基础概念，这种“前后呼应”的处理手法，让知识点的构建变得异常扎实和清晰。我特别喜欢那些穿插在正文中的“历史小插曲”和“数学家轶事”，它们不仅调剂了阅读的节奏，更重要的是，让冰冷的数学概念充满了人情味和时代背景，让你明白这些理论是如何在历史的长河中被一步步孕育和完善的。对于我这种更偏向于从宏观角度理解知识体系的人来说，这种结构感是极其宝贵的。它不仅仅是教你“如何解题”，更是教你“如何思考一个数学问题应该被如何组织和呈现”。读完后，我感觉自己的逻辑梳理能力都有了显著的提升，这绝对是意外之喜。

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这本书真正体现了“精选”二字的重量。市面上数学读物汗牛充栋，但能做到每一页都充满价值、没有一句废话的实属罕见。这里的每一个“单元”似乎都经过了极其严格的筛选，只保留了那些对建立扎实数学直觉最为关键的洞察点。阅读过程中，我很少需要做大量的笔记来记录那些可以轻易查到的定义，更多的是在思考那些需要反复咀嚼才能领会其深意的论证过程。它更侧重于培养一种“数学敏感度”，让你在面对新问题时，能本能地判断出哪个数学工具可能适用，以及背后的基本原理是什么。这种培养“直觉”和“品味”的教学方式，是我过去在标准化教育体系中极少体验到的。它让你从一个被动的知识接受者，转变为一个主动的数学思考者，这是任何填鸭式教育都无法比拟的价值所在。

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这本书真是让人眼前一亮，那种深入浅出的讲解方式，完全颠覆了我对传统数学教材的刻板印象。它不是那种枯燥乏味的公式堆砌，而是充满了各种巧妙的思维陷阱和引导，让你在不知不觉中就爱上了探索数学世界的乐趣。我记得有一次，我被一道看似复杂的概率题卡住了很久，翻开这本书的对应章节，作者没有直接给出答案，而是用一系列生活化的例子，层层递进地展示了问题的本质。那种豁然开朗的感觉，简直比解出难题本身还过瘾。尤其欣赏它在介绍新概念时，总是能找到一个非常接地气的切入点，比如从一个简单的棋局变化，引申到复杂的群论基础，这种跨越式的思维跳跃，既保持了知识的严谨性，又极大地激发了读者的好奇心。说实话，很多号称“趣味数学”的书籍读起来总觉得有点牵强附会，但这本书的每一个“小单元”都像是精心打磨的艺术品，既有深度，又浑然天成，让人忍不住想一口气读完，然后立刻去寻找更多相关的拓展阅读。这种学习体验，远超出了我对一本纯数学读物的期待。

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这本书的语言风格，用“优雅”来形容或许都有些保守了。它有一种老派学者的沉稳，但又不失现代传播学的活力。面对一些晦涩难懂的概念，作者总能找到一种既不失精确性又不至于让初学者望而却步的措辞。我注意到，很多时候，他会刻意避免使用那些过于技术化、但在日常交流中并不常用的词汇，转而用更具画面感的描述来解释抽象的数学关系。例如，在解释拓扑空间中的“连通性”时，书中描绘的场景仿佛就在眼前，而不是停留在抽象的集合论符号中。这种对“可理解性”的极致追求，使得本书的阅读门槛意外地低，但其蕴含的数学深度却丝毫没有缩水。这是一种高超的平衡艺术，很多教材作者往往在两者之间失衡。这本书的作者显然是真正理解了教学的精髓：最好的学习，是从已知通往未知，而不是直接把你扔进一个全是未知的深渊。

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