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出版者:

作者:Kaufmann, Jerome E./ Schwitters, Karen L.

出品人:

页数:928

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 249.67

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isbn号码:9780495105107

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• 代数
• 大学代数
• 数学
• 高等数学
• 基础代数
• 函数
• 方程
• 不等式
• 多项式
• 数学教材

大学微积分入门：概念、应用与求解策略 本书旨在为初次接触微积分的大学本科生提供一个全面、深入且直观的入门指南。 微积分，作为连接离散数学与连续世界的核心桥梁，是现代科学、工程、经济学乃至社会科学等众多领域不可或缺的基石。本书不侧重于繁复的理论推导，而是将重点放在核心概念的建立、实际应用的展示以及问题解决策略的培养上。 全书内容结构清晰，逻辑严密，力求在保持数学严谨性的同时，最大限度地降低初学者的理解门槛。我们深知，对于许多学生而言，微积分的学习过程充满了挑战，因此，我们采用了“概念先行，例子驱动”的教学范式。 第一部分：极限与连续性——微积分的基石 本部分为整个微积分体系奠定了坚实的理论基础。我们从直观的“无限接近”概念入手，逐步过渡到$epsilon-delta$语言的严谨定义，但随后立即将重点回归到实际计算和几何意义的理解上。 章节概述： 1. 函数的深入剖析： 回顾并深化对函数类型（多项式、有理函数、三角函数、指数与对数函数）的理解，特别是函数的定义域、值域、奇偶性、周期性及反函数等关键性质。 2. 极限的直观理解与计算： 引入一侧极限和双侧极限的概念。通过图形分析和数值逼近，帮助学生理解当变量趋近于某个值或无穷大时，函数值的变化趋势。我们详细讲解了代数技巧（如因子分解、有理化、洛必达法则的前身思想）在处理不定型极限中的应用。 3. 无穷极限与渐近线： 探讨函数在自变量趋向无穷大时（水平渐近线）以及函数值趋向无穷大时（垂直渐近线）的行为。这为后续的函数图像描绘提供了关键工具。 4. 连续性： 从几何上解释连续性的含义——“不抬笔”的绘图过程。随后引入左、右连续的概念，并严格定义函数在某点连续、在区间上连续的条件。我们重点分析了基本初等函数（如多项式、三角函数）的连续性，并探讨了介值定理（Intermediate Value Theorem）这一强有力的存在性定理，展示其在求解方程近似解中的实际价值。 第二部分：导数——变化率的度量 导数是微积分的核心工具，它描述了瞬时变化的速度。本部分将引导学生理解导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速率）。 章节概述： 1. 从平均变化率到瞬时变化率： 通过实例，如汽车的速度变化，清晰区分平均变化率与瞬时变化率的数学表述，引出导数的极限定义。 2. 导数的计算法则： 系统梳理并熟练掌握幂法则、常数乘法法则、和差法则、乘积法则和商法则。我们强调了法则之间的适用范围和组合使用。 3. 链式法则（Chain Rule）的精通： 链式法则是计算复合函数导数的关键，我们通过多层嵌套的例子，详细拆解了“由外向内”求导的步骤，并强调其在物理建模中的普遍性。 4. 基本初等函数的导数： 集中推导和记忆三角函数、指数函数 ($ ext{e}^x$) 和自然对数函数 ($ln x$) 的导数公式。 5. 隐函数求导法： 针对非显式表达的函数关系，如圆的方程，详细讲解了隐函数求导的步骤，特别指出在每一步对 $y$ 求导后都需要乘以 $frac{dy}{dx}$。 6. 相关变化率问题（Related Rates）： 这是导数应用题中最具挑战性的一类。我们提供了一个系统的五步解题框架：识别已知、未知变量；寻找关系方程；对时间求导；代入数值；求解。通过气球上升、水箱注水等经典问题，巩固应用能力。 7. 高阶导数： 介绍二阶导数及其在描述曲线凹凸性（将在第三部分深入讨论）上的作用。 第三部分：导数的应用——分析与优化 掌握了导数的计算后，本部分将利用导数强大的分析能力来深入研究函数的性质，并解决实际生活中的优化问题。 章节概述： 1. 函数图像的描绘： 深入利用导数信息来分析函数行为： 一阶导数分析： 确定函数的增区间和减区间，找到局部极大值和局部极小值（使用一阶导数检验法）。 二阶导数分析： 确定曲线的凹向上（Concave Up）和凹向下（Concave Down）区间，找到拐点（Inflection Points）。最后，结合所有信息（渐近线、截距、极值点、拐点）绘制精确的函数图像。 2. 均值定理： 重点讲解罗尔定理（Rolle's Theorem）和平均值定理（Mean Value Theorem, MVT）。MVT被视为基础，我们用直观的几何图像阐释了“在曲线任意两点之间，必有一点使得切线斜率等于割线斜率”。 3. 优化问题（Optimization）： 这是本应用部分的重中之重。无论是最小化成本、最大化面积、还是最短化距离，所有优化问题的核心都在于：将目标函数转化为关于一个变量的函数，通过求导令导数为零来寻找临界点，并利用一阶或二阶检验法确认该点是否为最大值或最小值。我们将提供大量的跨学科案例。 4. 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 在极限章节的知识基础上，系统介绍洛必达法则，专门用于处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式。我们也会讨论其他不定式形式（如 $0 cdot infty, 1^infty, 0^0$）如何通过代数变形转化为可应用洛必达法则的形式。 第四部分：积分学基础——累积与面积 本部分将视角从“变化率”逆转到“累积量”，引入定积分和不定积分的概念，为解决面积、体积、总变化量等问题铺平道路。 章节概述： 1. 面积问题与黎曼和： 从计算不规则曲线下面积的困难开始，自然地引出黎曼和的概念。详细解释上和、下和，以及当划分趋于无穷细时，黎曼和的极限即为定积分。 2. 不定积分与反导数： 定义不定积分（反导数）的概念，并列举基础积分公式，强调积分常数 $C$ 的重要性。 3. 微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 这是连接微分学和积分学的伟大桥梁。我们将分两部分详细阐述： 第一部分： 证明定积分的导数是原被积函数本身。 第二部分： 给出计算定积分的实用方法——利用反导数进行计算。我们强调其革命性意义：计算面积不再需要依赖复杂的黎曼和极限。 4. 积分的积分技巧入门： 介绍两种最基础也是最重要的积分技巧： 换元积分法（U-Substitution）： 这是积分的“链式法则”的逆过程。通过大量例子展示如何识别和构造合适的 $u$ 替换。 定积分的性质： 讨论积分的线性性质、奇偶函数的积分性质，以及定积分的比较性质。 --- 本书特色与教学理念： 概念可视化： 每一项重要概念（如极限、导数、积分）都配有详细的几何或物理图像解释，确保学生能建立直观认识。 解题步骤标准化： 对于复杂应用题（如相关变化率、优化问题），提供清晰的、可遵循的步骤清单，帮助学生建立解决问题的结构化思维。 侧重理解而非死记硬背： 虽然要求掌握基本公式，但更强调公式的推导来源和适用条件，以培养学生的数学直觉。 丰富的练习题库： 每章末尾包含不同难度梯度的习题，覆盖计算、概念理解和应用三个层面，确保学习效果的巩固。 本书旨在使学生在完成学习后，不仅能熟练计算导数和积分，更能深刻理解微积分描述世界变化的能力，为后续的多元微积分、微分方程等高等课程打下坚实的基础。

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我是一个需要通过大量例题来内化知识点的学习者，以往的教材往往例题量不足，或者例题过于简单，无法真正检验我的掌握程度。翻阅这本教材时，我立刻注意到了其题库的广度和深度。它提供的例题种类繁多，涵盖了从基础的代数运算到复杂的函数变换和解析几何的入门概念。更重要的是，每部分的例题后，都紧跟着几道难度略有提升的“挑战题”。这些挑战题往往需要你综合运用前几节学到的多个知识点，强迫你跳出固定的解题框架去思考。我发现，即使是我认为已经掌握得很牢固的章节，做完这些挑战题后，也会发现新的理解盲区被填补了。这本书在理论阐述上也非常到位，每一个定理的提出都配有清晰的逻辑推导过程，没有那种“你知道就好”的敷衍态度。对于那些追求数学严谨性的读者来说，这一点至关重要。它帮助我建立起一种“证明的思维”，不仅仅满足于‘如何解’，更会追问‘为什么能这么解’。总而言之，这本书在深度和广度上都达到了一个非常高的水准，足以支撑起一个学期的大学代数学习。

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这本书的结构设计简直是为忙碌的大学生量身打造的，逻辑推进如同一部精心编排的交响乐。每一章的开头都会有一个明确的“学习目标清单”，让你在开始阅读前就能清晰地知道自己将要掌握哪些技能。这种目标导向性极大地提高了我的阅读效率，我可以根据自己的薄弱环节，有针对性地回顾某些章节。而且，书中对概念的解释采用了多重视角。比如，对于一个复杂的代数结构，它可能先从代数符号入手，然后转向图形表示，最后再用文字进行总结和类比。这种多维度的阐释，极大地帮助了不同学习偏好的学生。我特别喜欢它在每章末尾设置的“回顾与总结”部分，它不是简单地重复前文，而是用思维导图的形式，将本章的核心概念串联起来，形成一个完整的知识网络。这对于期末复习来说简直是救星般的存在，一下子就能看到知识点之间的内在联系。这本书的叙述语气是成熟且自信的，它假定读者具备一定的基础认知能力，但同时又非常友善地为初学者扫清障碍，找到了一个非常精准的平衡点。

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我对许多数学书的排斥主要源于其过于“冷硬”的风格，感觉像是与一台机器对话。然而，这本教材在保持学术水准的同时，成功地注入了人文关怀。书中的“历史侧注”栏目非常吸引我，它穿插介绍了代数知识在历史上的发展脉络，比如某些公式是谁在哪个背景下提出的，这使得冰冷的数字仿佛有了鲜活的生命和故事。这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对数学的产生有了更深层次的敬意。在讲解完一些相对枯燥的代数证明后，作者会穿插一些非常精彩的“应用案例”，这些案例往往取材于现代科学前沿，比如数据加密原理的初步概念，或者物理学中的振动模型。这些应用展示了代数这门古老学科在当今世界的持续活力。此外，本书的索引做得极其详尽，查找特定术语或公式时毫不费力，这对于需要经常查阅资料的学生来说是一个巨大的便利。它不是一本用来“看完就扔”的书，而是一本值得放在案边，随时翻阅和参考的工具书。它教会了我，真正的数学不仅是计算，更是一种思维的艺术。

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这本书简直是为那些在大学代数课程中挣扎的学生量身定做的宝典！我刚拿到手的时候，还担心内容会过于晦涩难懂，毕竟“大学”这两个字听起来就让人有点心虚。但翻开第一页我就放下心来了。作者的叙事风格非常亲切自然，仿佛一位经验丰富、耐心十足的导师就在你身边，一步步引导你走过那些曾经让你头疼不已的概念。最让我印象深刻的是他对抽象概念的解析。比如在处理多项式函数时，他们没有直接抛出复杂的公式，而是通过一系列贴近生活的例子，比如模拟抛物线的运动轨迹，让我瞬间就抓住了‘为什么’需要这些数学工具。习题部分的难度梯度设计得极其巧妙，从基础的练习到需要深度思考的应用题，循序渐进，让你在不断解决问题的过程中建立起对代数知识的自信。而且，这本书的排版也值得称赞，清晰的数学符号、适中的留白，即使是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。对于那些希望巩固基础、为微积分乃至更深层次的数学学习打下坚实基础的同学来说，这本书无疑是一个绝佳的选择，它不仅仅是知识的堆砌，更是一种学习方法的传授。我感觉自己不是在背诵规则，而是在真正理解代数的逻辑美感。

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老实说，我本来对任何被冠以“大学预科”字样的教材都有着天然的抵触心理，总觉得里面充斥着枯燥乏味的定义和冷冰冰的证明。然而，这本《Algebra For College Students》却意外地给我带来了惊喜，它打破了我对传统教科书的刻板印象。这本书的独特之处在于其强大的“情境化”能力。它没有将代数知识孤立起来，而是巧妙地将其嵌入到各种实际问题的背景中。例如，在讲解线性方程组时，它用到了资源分配和混合物比例的问题，这些场景都非常贴合现代商业或工程领域的基础需求。这种处理方式让原本觉得枯燥的求解过程变得有了明确的目的性。我尤其欣赏它对“错误分析”的重视，书中专门辟出了一块区域，专门讨论学生在解题过程中最容易犯的几种逻辑错误，并提供了修正思路。这远比仅仅给出正确答案要有效得多，因为它直击了学习过程中的痛点。阅读过程中，我有一种强烈的参与感，仿佛是和作者在进行一场思维上的对话，而不是被动地接受信息。这本书的语言风格严谨而不失活力，对于想要在数学思维上更进一步的自学者，它提供了一个非常扎实且富有启发性的平台。

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