Modular Maths for Edexcel pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Smith, Alan/ Sykes, John

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:371.00元

装帧:

isbn号码:9780340885284

丛书系列:

图书标签:

• Edexcel
• Modular Maths
• Mathematics
• GCSE
• Revision
• Study Guide
• Textbook
• Education
• Maths
• Secondary Education

《现代代数基础：从群论到域的探索》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的现代代数基础知识体系，特别关注群论、环论和域论的核心概念及其相互联系。本书的结构设计旨在引导初学者逐步掌握抽象代数的精髓，并为进一步研究更高级的数学分支（如代数拓扑、代数几何和编码理论）打下坚实的基础。 第一部分：群论的基石 本书的第一部分专注于群的结构和性质。我们从群的严格定义开始，讨论了子群、陪集和拉格朗日定理——群论的奠基石。 1.1 群的定义与基本性质 详细阐述了封闭性、结合律、单位元和逆元的概念。通过具体的例子，如整数加法群、非零有理数乘法群以及对称群 $S_n$，帮助读者建立直观认识。 1.2 子群、陪集与拉格朗日定理 深入探讨了子群的判定法。陪集理论被系统地引入，为理解群的阶数和划分提供了关键工具。拉格朗日定理（有限群中任何子群的阶必须整除群的阶）的证明被分解为清晰的步骤，并展示了其在求解群结构问题中的威力。 1.3 同态与同构 同态的概念被视为保持群结构的映射。我们区分了内同态和外同态，并着重讨论了同构——结构完全相同的群之间的关系。核（Kernel）和像（Image）的性质，特别是正规子群的定义，是本节的重点。正规子群是构造商群的先决条件。 1.4 商群（因子群） 商群的构造是抽象代数中最具洞察力的概念之一。本书详细解释了如何利用正规子群来构造新的群结构，从而将一个复杂群分解为更简单的组件。第一同构定理（或称基本同态定理）——$G/ ext{Ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$——的严谨证明及其在简化群结构分析中的应用被详尽阐述。 1.5 群的作用与Sylow定理 群作用的引入将代数结构与几何或组合对象联系起来。我们探讨了轨道、稳定子以及作用的性质。本书的亮点在于对Sylow定理的全面介绍。Sylow定理是研究有限群结构的强大工具，它保证了特定阶数的子群（Sylow $p$-子群）的存在性，并描述了它们的数量关系。 1.6 可解群与简单群 在此基础上，我们探讨了更深入的结构性质，例如交换子子群和导群。可解群的定义及其在伽罗瓦理论中的重要性被提及。同时，对最小的非平凡简单群（如交错群 $A_n, ngeq 5$）的讨论，帮助读者理解群结构的不可再分性。 --- 第二部分：环论的拓扑与结构 第二部分将抽象提升到更高的维度，引入环的概念，它结合了加法和乘法运算，是研究代数方程和数论问题的核心框架。 2.1 环的定义与基本例子 环被定义为一个带有单位元（或不带单位元）的阿贝尔群，且其乘法满足结合律并对加法满足分配律。读者将接触到交换环、整环（无零因子）和域等重要概念。$mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 等熟悉结构在环论框架下的重新审视是本节的重点。 2.2 子环、理想与商环 子环的概念是自然而然的延伸。理想（Ideals）的概念被视为环中的“正规子群”的对应物，是理解商环结构的关键。本书详细区分了左、右理想和双边理想，并强调了在交换环中，所有理想都是双边理想。商环的构造过程与商群的构造在概念上是平行的。 2.3 主理想与唯一因子分解 我们深入研究了特定类型的理想：主理想（由单个元素生成）。这直接引向了主理想整环（PIDs）的概念，如 $mathbb{Z}$。接着，我们探讨了欧几里得整环（EDs），其中定义了“欧几里得算法”——这是整除性理论的基石。 2.4 整环、唯一因子分解整环（UFDs）与诺特环 本节构建了从ED到PID再到UFD的包含关系链条。UFDs是具有唯一素因子分解性质的环，例如多项式环 $F[x]$（其中$F$为域）。诺特定理和诺特环的概念被引入，以提供对环结构更全局性的视角，这对于代数几何中的概念至关重要。 2.5 环同态与模的概念初探 与群论中的同态类似，环同态保持了环的所有结构。第一同构定理再次在环的范畴中得到验证。最后，我们简要介绍了模（Modules）的概念，将其视为“推广的向量空间”，为理解更复杂的代数结构（如更高维度的表示论）做铺垫。 --- 第三部分：域论与伽罗瓦理论的展望 第三部分聚焦于域（Fields），这是进行多项式运算和解方程的基础结构。 3.1 域的性质与子域 域被定义为加法和乘法运算均可逆（除零外）的交换环。我们考察了素域（Characteristic）的概念，并将有限域（Galois Fields, $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{p^n}$）的结构特性进行了分析。 3.2 域的扩张 域扩张 $E/F$ 被定义为包含域 $F$ 的域 $E$。关键概念包括扩张的次数 $[E:F]$ 和代数元/超越元的区分。我们着重分析了代数扩张的性质。 3.3 最小多项式与代数闭包 对于域 $F$ 中的一个代数元 $alpha$，其最小多项式是定义其本质的关键。本书详细讨论了最小多项式的唯一性（在首一性下）和不可约性。此外，代数闭包的概念被引入，确保了任何多项式在该闭包内都有根。 3.4 分裂域与正规扩张 多项式 $f(x) in F[x]$ 的分裂域（Splitting Field）被定义为包含 $f(x)$ 所有根的最小域。正规扩张和可分扩张的定义被用于为伽罗瓦理论的构建打下严格的基础。 3.5 伽罗瓦群简介 作为全书的逻辑终点，本章概述了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的概念——域扩张 $E/F$ 的自同构群。它建立了域论与群论之间的深刻联系，为理解五次及以上方程不可解性（根式解）提供了代数工具。 适用对象 本书适合高等数学系本科生、研究生，以及对理论计算机科学、密码学或物理学（如量子场论）中代数结构有深入兴趣的研究人员。它假定读者已具备扎实的线性代数和基本抽象代数知识。本书强调概念的清晰定义、严谨的逻辑推理和丰富的应用实例。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本厚厚的书，封面设计简约得有些过头，让我一开始有点摸不着头脑。我原本期待的是那种色彩鲜明、图文并茂、能一眼看出重点的教辅书。然而，它给我的感觉更像是一本大学的基础教材，扎实、严谨，甚至可以说有点“冷峻”。内页的排版是典型的教科书风格，大段的文字论述之后，才跟着零星的例题和练习。对于像我这样，需要在短时间内快速掌握特定知识点的考生来说，初读起来的体验并不算友好。它没有太多花哨的技巧总结，也没有那些“快速提分秘籍”之类的诱人标题。我花了大量时间去适应这种叙事节奏，那种循序渐进、层层递进的数学逻辑推演，要求读者必须静下心来，一步一个脚印地跟上作者的思路。如果期望它能提供捷径，那这本书注定会让你失望，它更像是一位耐心的导师，不厌其烦地为你打牢地基，让你体会到数学结构本身的内在美和严密性，而不是仅仅满足于解出那道题。这种处理方式，无疑筛选了读者，只有真正愿意投入时间和精力的学习者，才能从中学到真正的精髓。

评分☆☆☆☆☆

这本书的练习题设置非常具有层次感，这一点我必须承认，是它最大的亮点之一。它不像有些习题集那样，把简单题和难题混在一起，让人无从下手。相反，它似乎经过精心设计，将知识点拆解成了若干个微小的、可操作的模块。每一个章节的练习，都像是对前面讲解内容的精确校准，从最基础的定义应用，到中等难度的综合运用，再到最后那些需要跨章节知识融会贯通的“挑战题”，难度梯度非常平滑自然。我喜欢它这种“阶梯式”的学习路径。我可以在完成一组练习后，立即清晰地知道自己在哪一个子知识点上还有欠缺，然后迅速回溯到原文中对应的段落进行巩固，形成了一个高效的闭环学习系统。这种结构上的严谨性，让我感觉自己在搭建一个数学大厦，每块砖石都放得恰到好处，极其稳固。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受是其对概念的“纯粹性”的维护。在当代数学教育中，很多辅导材料为了迎合考试热点，会过度强调解题技巧，甚至会出现一些“非常规”的解题思路，虽然能一时得分，但长期来看不利于建立严谨的数学观。然而，这本书似乎坚定地站在了数学原理的立场上，它教导的永远是最基本、最核心的定理和证明方法。它不教你如何“骗过”阅卷老师，而是教你如何“说服”一位严苛的数学家。在我看来，这才是长期主义的价值所在。虽然在备考的紧要关头，我可能需要配合一些更侧重应试技巧的书籍来“润色”我的答题速度，但这本书奠定的坚实基础，保证了我的知识体系不会在面对新题型或更深层次的学习时瞬间崩塌。它像是一本储备深厚的“内功心法”，虽然修炼缓慢，但一旦练成，便受用无穷。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，如果你的数学基础非常薄弱，或者你目前正处于一个“恐数症”的阶段，我可能不会首推这本书。它的语言风格偏向学术化，逻辑链条非常紧密，对于初学者来说，可能会觉得有些“高不可攀”。书中的一些术语定义和推导过程，假定读者已经具备了一定的预备知识。我曾经尝试在某个下午快速翻阅一章，结果发现自己因为跳过了几个前置概念的细节，导致在理解后续论述时感到吃力。这本书需要的是一种“沉浸式”的学习体验，你不能只是偶尔拿出来翻阅几页，而是要把它当作一门严肃的课程来对待，配合笔记本和草稿纸，进行大量的演算和思考。它对读者的主动性要求极高，它不会主动去“拉着”你，而是为你铺设好路径，等待你去探索。对于自律性较差的人来说，这本书的压迫感可能会大于激励感。

评分☆☆☆☆☆

我最近对高等数学中的某些抽象概念感到非常困惑，尤其是在处理那些需要多维度空间想象力的部分时，我常常卡壳。市面上很多参考书，为了追求速度和覆盖面，对这些核心概念的阐述往往一笔带过，给出的解释力度不足，导致我只是“会做题”，却“不理解原理”。这本书在处理这些复杂问题时，展现出了一种令人称赞的深度和细腻度。作者似乎深谙“知其然必先知其所以然”的道理，对于每一个公式的推导，都给出了详尽的背景介绍和逻辑论证，甚至追溯到了其历史渊源。这种刨根问底的做法，对于我这种追求“彻底明白”的学习者来说，简直是福音。虽然这种详尽导致了篇幅的膨胀，阅读起来需要更多耐心，但一旦你攻克了某个难点，那种豁然开朗的感觉，是任何速成秘籍都无法给予的。它不是教你如何应试，而是教你如何真正地“思考”数学。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆