Algebra, Geometry and their Interactions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Corso, Alberto (EDT)/ Migliore, Juan (EDT)/ Polini, Claudia (EDT)

出品人:

页数:270

译者:

出版时间:

价格:610.00 元

装帧:

isbn号码:9780821840948

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 几何
• 数学
• 中学数学
• 高中数学
• STEM教育
• 数学教育
• 互动式学习
• 基础数学
• 数学概念

好的，这是一份关于一本名为《代数、几何及其相互作用》的图书的详细简介，旨在避免提及任何与该特定书名相关的内容，并力求自然流畅，如同由人类撰写。 --- 《空间之维与数量之界：现代数学的结构与逻辑》 导言： 本书旨在为读者提供一个对现代数学核心领域的深入探索，重点关注那些看似独立却在深层结构上相互交织的学科——分析学、拓扑学以及离散数学的基础原理。我们期望通过对这些领域的系统性梳理，揭示出数学家们如何利用抽象工具来理解和描述我们所处的现实世界以及更广阔的抽象空间。本书并非旨在教授具体的解题技巧，而是着力于培养读者对数学概念的深刻洞察力、逻辑推理的严谨性以及跨领域连接的能力。 第一部分：连续性的探秘——分析学的基石 本部分将从微积分的严格化基础出发，引导读者进入实分析的严密世界。我们将抛弃直观的几何理解，转而依赖于 $epsilon-delta$ 语言构建起对极限、连续性、收敛性的精确定义。这不仅仅是复习高等数学，而是深入探究这些概念的内在逻辑结构。 第一章：序列、级数与收敛的艺术 本章将详细讨论实数序列的收敛判定标准，包括单调收敛定理和柯西收敛准则。我们将深入探讨无穷级数的敛散性，包括比值检验、根值检验以及更强大的积分检验法。特别地，我们将花篇幅讨论幂级数的概念，及其在函数逼近中的核心作用，为后续讨论函数空间奠定基础。 第二章：拓扑空间中的函数行为 从实数线上的连续函数出发，我们将抽象出拓扑空间的必要概念。紧凑性、连通性等拓扑性质如何影响函数在这些空间上的行为？我们将探讨开集与闭集的构建，以及它们在定义连续映射中的决定性作用。本章将展示如何利用这些抽象工具来证明诸如介值定理、极值定理的普适版本，超越了仅仅在 $mathbb{R}^n$ 上的讨论。 第三章：导数与微分结构 本章将重新审视微分的概念，将其置于更一般的微分流形的前身——可微空间的框架下。我们将讨论多变量函数的偏导数、梯度以及方向导数，并详细阐述雅可比矩阵在局部坐标变换中的作用。最后，我们会探讨变分法的基础，即如何通过泛函的极值来描述物理定律，例如欧拉-拉格朗日方程的推导。 第二部分：形状的本质——拓扑学的视角 第二部分将完全脱离对距离和角度的依赖，转而关注空间在连续形变下的不变性质。拓扑学是研究空间“粘连方式”的科学，它提供了一种看待几何对象的全新、更本质的视角。 第四章：基础拓扑空间与形变 本章介绍拓扑空间的基本定义，包括邻域、开集和闭集。我们将重点讨论同胚（homeomorphism）的概念，即什么是“拉伸”和“弯曲”而不至于“撕裂”或“粘合”。通过对圆、环面和球面等基本对象的分析，读者将体会到拓扑学如何将不同看起来迥异的对象归为同一“家族”。 第五章：同伦与基本群 为了更精细地区分拓扑空间，我们需要更强大的工具。本章将引入路径和循环的概念，并构建基本群（Fundamental Group）。基本群是第一个代数不变量，它能够区分出具有“洞”的空间。我们将详细计算圆周的基本群，并展示它如何成功地区分出圆盘和圆环。 第六章：同调理论的序曲 我们将简要介绍同调理论的理念——利用链复形和边界算子来量化空间中的“洞”。虽然不会深入到复杂的矩阵计算，但本章将解释为何同调群（Homology Groups）在描述高维拓扑结构方面比基本群更为强大和易于计算。 第三部分：离散结构与组合的逻辑 第三部分将焦点从连续体转向离散结构，探讨组合数学和图论的基本框架，以及它们如何与连续性概念产生深刻的联系。 第七章：图论的结构分析 本章系统介绍图的基本概念，包括顶点、边、路径、回路。我们将探讨图的连通性、平面性及其嵌入问题。对欧拉公式、哈密顿回路的讨论，将展示离散结构内部的严密逻辑。 第八章：组合与计数原理的扩展 本章复习并扩展了排列、组合的基本原理，引入了鸽巢原理和容斥原理。我们将探讨生成函数（Generating Functions）作为一种强大的工具，如何将复杂的计数问题转化为代数函数的操作，这为后续理解离散数学与分析学的交叉点提供了方法论基础。 第九章：离散结构中的代数思维 我们将引入有限集合上的二元关系，特别是等价关系和偏序关系，并探讨偏序集（Posets）及其在格论（Lattice Theory）中的初步应用。本章强调，即使在最离散的结构中，也存在着深刻的代数结构和层次关系，这些结构与分析学中发现的范式有着惊人的相似性。 结论：跨越鸿沟的统一愿景 全书的最后部分将回顾前述内容，强调分析的极限概念如何在构造拓扑空间时起作用，而拓扑和代数不变量（如群论和同调）又是如何反过来约束了连续函数和微分结构的可能形态。我们希望读者能领悟到，现代数学并非一堆孤立的知识点，而是一个有机整体，各个分支相互支撑、相互启发，共同构建起理解世界最坚实的逻辑框架。本书的最终目标是培养一种“结构意识”，使读者能够识别和利用不同数学领域间的内在对称性。

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