Decomposition Methods for Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Geiser, Juergen

出品人:

页数:304

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价格:718.00 元

装帧:

isbn号码:9781439810965

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 数值分析
• 分解方法
• 迭代法
• 近似解
• 数学建模
• 科学计算
• 工程数学
• 算法
• 常微分方程
• 偏微分方程

《数值分析中的离散化技术》 本书深入探讨了求解微分方程（包括常微分方程、偏微分方程和积分微分方程）的各种数值方法，重点关注核心的离散化技术。我们将穿越从基础概念到前沿研究的广阔领域，为研究人员、工程师和高级学生提供一套全面的工具和深刻的理解。 核心内容概述： 离散化的基本原理： 本书首先建立一个坚实的基础，详细阐述离散化的核心思想——将连续的微分方程转化为等价的代数方程组，从而可以在数字计算机上求解。我们将深入分析不同离散化策略的数学依据，包括泰勒级数展开、加权残差法（如伽辽金法、配置法）以及它们在近似解中的作用。 常微分方程（ODEs）的离散化： 显式和隐式方法： 我们将详细介绍欧拉方法（前向和后向）、龙格-库塔方法（包括经典四阶法）、预测-校正方法以及多步法（如 Adams-Bashforth 和 Adams-Moulton 方法）的原理、推导和收敛性分析。重点将放在理解不同方法的稳定性、精度和计算效率之间的权衡。 刚性方程组的挑战： 针对刚性 ODEs 的特殊困难，我们将探讨隐式方法、向后微分公式 (BDF) 以及求解刚性方程组的特殊技术，如稀疏矩阵求解器和迭代法。 高阶方法和自适应步长控制： 书中将详细介绍如何构造高阶离散化方案，并深入探讨自适应步长控制策略，这对于在保证精度的同时最小化计算量至关重要。 偏微分方程（PDEs）的离散化： 有限差分法 (FDM)： 这是求解 PDE 的经典且广泛使用的方法。我们将系统地介绍中心差分、向前差分、向后差分等基本差分格式，并讨论如何将其应用于不同的 PDE 类型，如抛物线型（扩散方程）、双曲型（波动方程）和椭圆型（泊松方程）。此外，还将深入研究 FDM 在处理边界条件、网格生成和不同维度 PDE 时的应用。 有限体积法 (FVM)： FVM 在守恒律方程的求解中表现出色，特别是在流体力学等领域。本书将详细阐述 FVM 的基本思想，即积分方程在控制体积上的形式，以及通量近似、黎曼求解器等关键概念。我们将探讨 FVM 在处理不规则几何形状和间断解方面的优势。 有限元法 (FEM)： FEM 是处理复杂几何形状和非均匀材料属性的强大工具。我们将从变分原理和加权残差法的角度系统介绍 FEM 的理论基础，包括单元划分、基函数选择、形函数插值、刚度矩阵和载荷向量的构建，以及系统方程的组装和求解。书中会涵盖不同类型的单元（三角形、四边形、三角形等）以及它们在二维和三维问题中的应用。 积分微分方程 (IDEs) 的离散化： 结合 ODE 和 PDE 技术： IDEs 同时包含微分和积分项，因此其离散化需要结合 ODE 和 PDE 的处理方法。我们将探讨如何对积分项进行数值积分（如梯形法则、辛普森法则），并将其与 ODE 或 PDE 的离散化方法相结合，形成求解 IDEs 的混合方法。 特殊方法： 书中还将介绍一些专门针对 IDEs 的离散化技术，如谱方法、以及能够有效处理积分核特性的方法。 高级主题与前沿进展： 谱方法： 介绍基于正交多项式（如切比雪夫、勒让德）的谱方法，及其在求解具有光滑解的微分方程中的高精度优势。 间断伽辽金法 (DG)： 深入探讨 DG 方法，它通过允许解在单元边界处不连续来处理激波和高梯度问题，并具有良好的并行计算特性。 自适应网格细化 (AMR)： 介绍 AMR 技术，如何根据解的特性动态调整计算网格，以在关键区域集中计算资源，显著提高效率。 高性能计算与并行算法： 讨论如何设计和实现高效的并行离散化算法，以充分利用现代多核处理器和高性能计算集群。 稳定性与收敛性分析的严谨性： 本书强调数学上的严谨性，将对各种离散化方法的稳定性（如冯·诺依曼稳定性分析、能量方法）和收敛性（如一致性、稳定性推出收敛性）进行深入分析，使读者能够理解方法的可靠性。 本书特点： 理论与实践并重： 在提供扎实的数学理论支撑的同时，本书也包含丰富的算法示例和伪代码，便于读者将其应用于实际问题。 循序渐进的教学方法： 从基础概念开始，逐步引入更复杂的技术，确保读者能够理解并掌握。 广泛的适用性： 所介绍的离散化技术广泛应用于物理学、工程学（如结构力学、流体力学、传热学）、计算科学、生物学、金融数学等众多领域。 强调理解而非死记硬背： 鼓励读者深入理解每种方法的内在原理和优缺点，以便在面对具体问题时做出最佳选择。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的离散化技术知识体系，使他们能够自信地选择、实现和分析求解微分方程的数值方法，从而有效地解决科学和工程领域的复杂问题。

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这本书的装帧设计非常吸引人，硬壳封面搭配深邃的蓝色调，给人一种沉稳而专业的印象。我尤其喜欢封面上那种抽象的、类似数学符号的几何图形，它恰到好处地传达了本书深奥的主题。内页的纸张质量也是一流的，印刷清晰锐利，即便是复杂的公式和图表也能一目了然。作为一本主要面向研究人员和高年级学生的专业书籍，这种对细节的关注非常重要。在实际阅读过程中，我发现作者在章节的布局上也做了精心的安排，从基础概念的引入到高级方法的探讨，逻辑链条衔接得非常自然，很少有生硬的跳跃感。例如，介绍有限差分法的部分，从一维问题过渡到多维问题，每一步的推导都详略得当，让人能够紧跟作者的思路。即使是初次接触这些复杂理论的读者，也能感受到作者试图将知识“喂”给读者的耐心和用心。整体来看，这本书在视觉和触觉上都提供了极佳的阅读体验，这对于一本需要长时间研读的学术著作来说，是至关重要的加分项。

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我花了整整一周的时间来深入研读本书的第三章，关于变分原理在求解偏微分方程中的应用。坦率地说，这部分内容对读者的预备知识要求极高，作者并没有过多地进行基础理论的复习，而是直接切入了核心的变分构造和最小化问题的求解。我的直观感受是，作者的叙述风格极其简洁、高效，几乎没有冗余的修饰语。每一个定理和引理的提出都直奔主题，数学论证的步骤严密得像一座精密的钟表。对于已经具备扎实泛函分析基础的读者而言，这无疑是一本极佳的参考书，它能迅速帮助你理清不同变分形式之间的内在联系。然而，对于那些期望获得更多“手把手”指导的读者来说，可能会感到有些吃力。书中引用的范例虽然经典，但推导过程往往省略了中间的大部分代数运算，要求读者自行脑补完成。这使得阅读过程变成了一种积极的、甚至是有些挑战性的智力活动，但收获也相应巨大，因为它迫使你真正去“理解”而不是仅仅“记住”公式。

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这本书的叙述口吻在不同章节间似乎存在微妙的变化，这很值得玩味。在前几章处理抛物型和椭圆型方程时，语言显得非常克制和学院派，句式结构偏长，充满了严谨的限定词。但当进入到处理非线性问题或一些特定边界条件（比如涉及到自由边界问题）的部分时，文字的节奏明显加快了。我注意到作者开始大量使用更具行动性的动词，并且在某些关键的证明点上，会穿插一些看似随笔性的、关于方法局限性的评论。这种风格的转变，仿佛是作者从一个沉思的理论家，突然切换成了一个在黑板前快速演算的实践者。这种“切换”的节奏感，极大地避免了长篇理论阐述可能带来的枯燥感。它让我感觉，我不是在阅读一本静态的教科书，而是在参与一场由资深专家主导的、充满动态讨论的研讨会。这种微妙的语气变化，让原本艰涩的数学逻辑变得更加鲜活和人性化。

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从一个致力于跨学科应用的角度来看，本书最让我欣赏的一点是它对“模型简化与近似”的探讨。很多纯数学背景的著作往往假设模型是完美的，所有的误差都来源于数值求解过程。但本书在开篇几页就花了篇幅讨论了如何将复杂的物理过程转化为可解的数学模型，例如，在描述热传导时，何时可以忽略对流项，何时必须考虑体积热源。这种对物理背景的尊重和数学工具的适配性分析，体现了作者深厚的跨学科功底。书中关于小参数展开（Perturbation Theory）的论述尤为精彩，它不是简单地罗列公式，而是结合了实际的流体动力学和传热学的例子，展示了如何通过量纲分析来确定哪个项是高阶小量，从而有效地简化原方程。这使得本书不仅仅是一本关于解法的工具书，更像是一本关于“如何正确地提出问题”的哲学指南，对于初入科研领域的学生来说，这种思维框架的建立，比掌握任何一个具体的求解算法都来得更为宝贵和长远。

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我对于本书在“数值稳定性分析”这一模块的详尽程度感到非常满意。许多关于数值方法的书籍往往在给出离散化格式后就止步于此，很少深入探讨这些方法的实际收敛速度和稳定性边界。本书在这方面显然下了大功夫，它不仅清晰地阐述了Von Neumann稳定性分析的基本框架，还对几种主流的时域离散格式（如前向欧拉、后向欧拉以及Crank-Nicolson格式）进行了细致的对比。作者通过明确的符号和清晰的图示，展示了不同方法在条件稳定性和无条件稳定性上的取舍。尤其是在处理跨音速流或激波这类高非线性问题时，作者没有回避数值格式在这些“病态”区域的表现不佳，反而直截了当地指出了这些方法的内在缺陷和潜在的数值振荡问题。这种对问题复杂性的坦诚披露，比那种只展示完美结果的书籍要更有价值得多，因为它为实际工程应用中的参数选择提供了坚实的理论依据。

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