General Linear Methods for Ordinary Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jackiewicz, Zdzislaw

出品人:

页数:482

译者:

出版时间:2009-7

价格:925.00元

装帧:

isbn号码:9780470408551

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 常微分方程
• 线性代数
• General Linear Methods
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• 数值解

《现代微分方程求解的数值算法》 本书深入探讨了求解常微分方程（ODEs）的现代数值方法，聚焦于高效、稳定且精确的算法设计与分析。本书旨在为研究生、研究人员以及需要深入理解和应用数值方法求解ODEs的工程师和科学工作者提供一套全面的理论框架和实践指导。 核心内容概述： 1. 微分方程模型与离散化基础： 常微分方程的分类与性质： 详细介绍不同类型的常微分方程，包括初值问题（IVPs）和边值问题（BVPs），以及它们在科学与工程中的普遍应用。讨论方程的刚性、周期性、混沌特性等对数值求解方法选择的影响。 数值求解的基本思想： 引入微分方程离散化的核心概念，即如何将连续的微分方程转化为可由计算机处理的代数方程组。阐述求解点、步长、局部截断误差等基本术语。 2. 显式和隐式单步法： 欧拉方法： 从最基础的前向、后向和中点欧拉方法开始，详细分析它们的原理、收敛性、稳定性和局限性。 Runge-Kutta（RK）方法： 深入讲解经典RK方法，如二阶、三阶和四阶RK方法。重点解析 Butcher 表的构建原理，介绍显式和隐式RK方法的区别及其各自的优势。分析RK方法的阶数、稳定性区域（包括绝对稳定性）以及它们如何通过增加计算量来提高精度。 高阶方法： 介绍如何构造更高阶的RK方法，以及某些经典高阶方法的构造思路。 隐式方法的重要性： 讨论隐式方法在处理刚性问题时的关键作用，以及其计算上的挑战，例如需要求解非线性方程组。 3. 多步法： Adams 方法： 详细阐述 Adams-Bashforth（显式）和 Adams-Moulton（隐式）方法。分析它们的预测-校正（PE）和校正-校正（CC）机制。讲解如何构建具有不同阶数的多步法，以及它们的稳定性性质（包括根轨迹和A-稳定性）。 微分求积法 (DQM) 与伪谱法： 介绍这些基于代数方法的高精度技术，它们如何通过将微分算子转化为代数算子来求解ODEs，特别适用于具有光滑解的问题。 多步法与单步法的比较： 分析多步法在计算效率上的优势（在计算大量点时），以及它们在初始化和改变步长时的挑战。 4. 刚性问题的数值求解： 刚性的概念与表现： 详细解释什么是刚性方程组，以及它对传统显式方法造成的严重限制（需要极小的步长以保证稳定性）。 隐式方法在刚性问题中的应用： 重点介绍隐式Runge-Kutta方法和具有良好稳定性的隐式多步法（如BDFs - Backward Differentiation Formulas）。 BDFs 的原理与性质： 深入分析 BDFs 的构造、阶数、收敛性和稳定性，特别是它们的 A（−∞）-稳定性，这使得它们能够处理极度刚性的问题。 5. 自适应步长控制与误差估计： 误差估计的重要性： 解释为什么需要估计数值解的误差，以及如何通过局部误差估计来指导步长选择。 步长控制策略： 介绍基于局部截断误差的自适应步长控制算法，包括如何通过比较不同阶数方法（如嵌入式RK方法）的解来估计误差，以及如何根据误差容差动态调整步长。 步长改变的实现： 讨论在多步法中改变步长时的技术细节，以及如何保证计算的连续性和稳定性。 6. 高阶问题与特殊方程组的求解： 高阶常微分方程的降阶： 介绍如何将高阶ODE转化为一个等价的低阶ODE系统，以便应用标准的求解方法。 哈密顿系统与辛积分器： 讨论求解具有特定结构（如保守性）的微分方程组的辛积分器，它们如何在数值求解中保持系统的几何性质，从而提高长期稳定性。 求解常微分方程的边值问题（BVPs）： 介绍求解BVPs的常用方法，如打靶法（Shooting Method）和打折法（Finite Difference Method）。 7. 算法的实现与数值稳定性分析： 数值稳定性： 深入分析数值方法的各种稳定性概念，如局部稳定性、全局稳定性、绝对稳定性、A-稳定性等。理解这些概念对于选择正确的算法至关重要。 舍入误差与截断误差的传播： 分析计算过程中舍入误差和截断误差如何累积和传播，以及如何通过算法设计来减轻其影响。 软件实现中的考虑： 讨论在实际编程实现这些算法时需要注意的问题，如线性方程组的求解、稀疏矩阵的处理以及代码的效率优化。 本书特色： 理论深度与实践性结合： 在严格的数学推导基础上，深入浅出地阐述算法的原理、性质和局限性，并辅以算例和算法流程图，便于读者理解和实现。 全面性： 涵盖了从基础方法到前沿技术的广泛内容，为读者构建了完整的数值求解ODEs的知识体系。 侧重现代方法： 重点介绍近年来发展成熟且在实际应用中具有重要意义的算法，如处理刚性问题的隐式方法和高阶方法。 稳定性分析详尽： 对数值方法的稳定性进行深入而系统的分析，这是理解和应用这些方法的关键。 通过学习本书，读者将能够深刻理解常微分方程数值求解的理论精髓，掌握各种方法的优缺点，并能够根据具体问题选择最合适的数值算法，从而有效地解决科学和工程领域中遇到的挑战性问题。

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从教学的角度来看，这本书的组织结构也极具匠心。它不像某些教材那样将所有内容堆砌在一起，而是采用了模块化的设计。每一章的开头都会明确指出本章将要解决的问题和使用的核心工具，这对于自学者尤其友好。例如，在介绍无穷级数解法时，作者首先回顾了泰勒展开的基础，然后自然地过渡到贝塞尔函数和勒让德多项式的引入，整个过程衔接得天衣无缝，没有突兀感。每一节的末尾通常会附带一些难度适中的习题，这些习题的设计不仅巩固了本节内容，还巧妙地暗示了下一节将要涉及的概念，形成了一种前瞻性的学习体验。我感觉作者非常理解读者在面对大量新概念时的认知负荷，因此采用了这种循序渐进、步步为营的策略，确保读者在建立稳固知识体系的同时，不会因为进度过快而产生挫败感。这本书的价值在于它不仅教你如何解方程，更教你如何像一位成熟的数学家那样去思考和组织这些方法。

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这本关于常微分方程的经典著作，虽然名字听起来非常专业，但它确实为那些希望深入理解这门学科的读者提供了一个坚实的起点。我首先想强调的是，作者在构建理论框架时所展现出的严谨性，这一点对于初学者来说至关重要。书中对基本概念的阐述深入浅出，即便是对于那些首次接触微分方程理论的读者，也能感受到其逻辑的连贯性。特别是对于线性代数在求解微分方程中的应用，书中给出了非常清晰的几何解释，这极大地帮助我理解了为什么矩阵方法如此有效。我记得有一章专门讨论了常系数线性系统的解的结构，作者通过引入特征值和特征向量，将复杂的偏微分方程转化为易于处理的代数问题，这种方法的优雅性让人印象深刻。书中对基本理论的讲解非常扎实，为后续更高级的主题打下了坚实的基础。尽管内容偏重理论，但作者在引入新概念时总会不失时机地给出具体的例子来佐证，使得抽象的数学概念变得具体可感，这种教学方式无疑大大降低了学习的门槛。

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对于那些追求数学美感的读者来说，这本书无疑是一场盛宴。它的语言非常精确，几乎每一个定义和定理的表述都力求达到最高的清晰度。在处理对称性和不变量这些更深层次的结构时，作者采用了一种非常几何化的视角。我特别喜欢书中关于李群（Lie Groups）在微分方程中的应用的讨论，尽管这部分内容可能不是最核心的，但它揭示了隐藏在常微分方程解结构背后的深刻对称性。通过这种视角，原本枯燥的求解过程变得富有洞察力。作者似乎在暗示，求解微分方程不仅仅是代数运算，更是一种对系统内在对称性的挖掘。此外，书中对解的唯一性和存在性定理的证明，采用了经典且易于理解的皮卡迭代（Picard Iteration）方法，其清晰的收敛性论证过程，让人对这些基本数学结论的可靠性深信不疑。

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我个人的阅读体验告诉我，这本书的叙事节奏非常独特，它不像一些教科书那样急于展示最高深的结论，而是耐心地铺陈细节。特别是对于数值方法的讨论，虽然书中侧重于解析方法，但对于解析解在某些复杂情况下失效时的替代方案，作者也给出了相当详尽的讨论。例如，在引入算子理论时，书中对于算子的谱分解进行了细致的阐述，这对于理解偏微分方程的长期行为至关重要。我记得有一部分内容专门分析了无穷维空间中的线性算子，这在泛函分析的背景下是标准操作，但能在一个主要面向ODE的书籍中看到如此深入的探讨，确实令人惊喜。作者似乎并不满足于仅仅停留在有限维的向量空间，而是将读者的视野引向了更广阔的函数空间。这种“不满足于现状”的学术态度贯穿全书，使得读者在完成基础知识的学习后，仍能感受到继续探索的动力和方向。

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另一位读者可能会从应用的角度来审视这本书，而这本书恰恰在这方面也展现出了不俗的功力。尽管核心内容是“一般线性方法”，但作者非常巧妙地将这些理论工具与实际物理、工程问题紧密结合起来。我尤其欣赏书中对边值问题（Boundary Value Problems）的处理方式，它不仅仅停留在理论推导，而是深入探讨了如何利用格林函数（Green's Functions）等工具来构造解。在处理一些非齐次方程时，作者展示了如何通过叠加原理来简化问题的复杂性，这在实际的工程模拟中是非常有价值的。书中对稳定性和渐进行为的分析也相当到位，比如对庞加莱映射（Poincaré Maps）的初步介绍，虽然没有深入到混沌理论的复杂性中，但已经为读者打开了一扇窗，让他们看到了线性系统如何演化出复杂行为的端倪。总的来说，这本书在理论的严谨性和实际应用的可操作性之间找到了一个很好的平衡点，让人感觉所学的知识不仅仅是纸面上的公式推导，而是具有实际解决问题能力的利器。

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