Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Wazwaz, Abdul-Majid

出品人:

页数:741

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价格:$ 360.47

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isbn号码:9783642002502

丛书系列:Nonlinear Physical Science

图书标签:

• 偏微分方程
• 孤波理论
• 数学物理
• 非线性分析
• 数值分析
• 应用数学
• 波动现象
• 动力系统
• 常微分方程
• 理论物理

《微分几何中的黎曼流形与测地线》 本书深入探讨了现代微分几何的核心概念，聚焦于黎曼流形及其上的测地线。我们从向量丛和微分形式等基础工具出发，逐步构建起理解曲率、联络和测地线所需的严谨数学框架。 第一部分：黎曼流形的基础 流形的拓扑与微分结构： 本部分首先回顾了拓扑空间、开集、紧集等基本概念，然后介绍了光滑流形的定义，包括局部坐标卡、光滑映射以及切空间的概念。我们强调了切向量场和微分形式作为流形上基本对象的结构。 张量分析： 深入讲解了张量的概念，包括张量积、张量缩并以及张量场的运算。这为后续理解度量张量和曲率张量奠定了基础。 度量张量与黎曼流形： 详细阐述了度量张量的作用，它赋予了流形长度、角度和体积的概念，从而定义了黎曼流形。我们将讨论度量张量的性质，如正定性。 联络与协变导数： 引入了线性联络的概念，并特别关注 Levi-Civita 联络，它是由度量张量唯一确定的无挠率联络。协变导数是张量场在流形上“平行移动”的关键工具，我们将其性质和运算进行了详细分析。 第二部分：测地线与曲率 测地线的定义与性质： 测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广。我们从欧拉-拉格朗日方程出发，推导出测地线的运动方程，并讨论了测地线的存在性、唯一性以及其局部最短性。 指数映射： 指数映射是连接切空间与流形上点的重要工具，它将切向量映射到以该点为起点的测地线。我们将分析指数映射的性质，包括其在流形上的作用范围。 曲率： 曲率是衡量流形弯曲程度的内在量。本书将深入介绍黎曼曲率张量，包括其定义、代数和微分性质。我们将区分截曲率、Ricci 曲率和数量曲率，并分析它们在几何中的意义。 高斯-博内定理（二维情况）： 作为曲率的一个重要应用，我们将介绍二维黎曼曲面上的高斯-博内定理，它将曲面的积分曲率与其拓扑不变量（欧拉示性数）联系起来，展示了深刻的几何与拓扑联系。 第三部分：黎曼流形上的重要构造 黎曼流形上的向量分析： 讨论了黎曼流形上的梯度、散度和旋度等向量分析算子，它们是度量张量和 Levi-Civita 联络的直接结果。 调和微分形式： 引入了 Laplace-Beltrami 算子，并基于该算子定义了调和微分形式。我们将探讨 Hodge 分解定理，它将微分形式空间分解为调和形式、边界形式和协边界形式，揭示了流形的拓扑结构。 测地线方程的解的性质： 进一步深入研究测地线方程的解，包括它们在不同曲率下的行为。我们将讨论共轭点和聚焦集，它们标志着测地线局部最短性的终结。 第四部分：一些特殊流形及其性质 欧几里得空间： 作为最简单的黎曼流形，我们将回顾欧几里得空间的度量、联络和曲率，并将其作为参照，帮助理解更一般的黎曼流形。 球面和环面： 探讨了具有常数截曲率的球面以及零截曲率的环面等简单但重要的黎曼流形，分析它们在测地线和曲率方面的特点。 卡拉比-丘流形（简介）： 简要介绍具有特殊 Ricci 几何性质的卡拉比-丘流形，它们在弦理论和几何分析中有重要应用，为读者提供进一步探索的方向。 本书适合对微分几何、拓扑学和理论物理学感兴趣的研究生和高年级本科生。通过对黎曼流形和测地线的深入研究，读者将能够掌握理解现代几何理论和相关应用所需的核心数学工具和思想。本书旨在提供严谨的理论推导和清晰的几何解释，帮助读者建立扎实的数学基础。

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我购买这本书的主要目的是想了解如何将这些成熟的孤立波理论应用于更复杂的、具有空间维度耦合的系统。例如，在某些光学晶格或生物物理模型中，方程组不再是单一维度的KdV或Sine-Gordon，而是耦合的二维或三维系统。这本书在基础理论部分的构建上，为我们提供了所有必要的“零件”——例如如何构造哈密顿量、如何找到守恒量、如何应用谱方法。然而，当涉及到如何将这些解析工具从“理想化”的一维可积系统推广到“现实中”的非完全可积、多维度的系统时，书中的指导性内容就显得有些不足了。它详细展示了如何“完美求解”KdV，但对于“求解那些接近KdV的系统”时，解析方法失效后，如何系统性地过渡到变分近似或微扰论，这部分论述相对薄弱。它仿佛停留在理论的黄金时代，那里所有的方程都恰好是可积的。这并非说这本书不好，而是说它的适用范围集中在解析可积系统的深度挖掘上，而不是现代计算数学和近似理论在非完全可积系统中的应用。对于想从解析走向数值或半解析方法的读者来说，这本书更像是“起点”而非“终点”。

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我对这本书的期待，其实是基于它书名中“孤立波理论”这个极具吸引力的部分。在许多非线性物理现象中，例如光纤中的光孤子、水波中的驻波，孤立波扮演着至关重要的角色，理解它们是如何在耗散和色散中保持形状不变，是理解系统稳定性的关键。这本书在这方面的深度是毋庸置疑的。它花了大量篇幅去讲解反散射变换（IST）这一强大的工具，从 Lax 对的构造到谱理论的联系，每一步的逻辑都构建得极其紧密。我尤其欣赏作者在讲解如何从原初的非线性偏微分方程推导出谱问题，再通过谱演化来重构时空解的细节。这些推导过程，没有丝毫的含糊带过，即便是像我这样对解析方法相对熟悉的读者，也能从中获得许多新的理解角度。但需要坦诚，这种解析方法的深度也带来了阅读上的门槛。它要求读者对泛函分析、算子理论有非常牢固的背景知识。书中大量使用狄拉克符号和希尔伯特空间的概念，如果读者只是带着高等数学的知识储备来接触，很可能会在第三章或第四章就感到力不从心，步履维艰。它更像是为那些已经具备坚实数学物理基础的研究生或研究人员量身定制的“进阶秘籍”，而不是一本面向广泛工科背景读者的入门教材。它的价值在于揭示了完美“守恒”背后的深刻数学结构，而非停留在现象的表面描述。

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从阅读体验的角度来说，这本书的章节之间的衔接非常流畅，体现了作者深厚的教学功底。每一章的内容都建立在前面章节的基础上，使得整个理论体系像一座精心搭建的数学金字塔，结构稳固，逻辑递进自然。作者在引入新的数学工具时，总是会先给出该工具在简单方程（如热方程、波动方程）上的应用作为铺垫，然后再将其提升到非线性孤立波的语境中。这种“由浅入深”的教学策略，极大地降低了跨学科知识吸收的难度。例如，作者在讲解如何使用Wronskian行列式来判断线性系统的线性无关性时，其铺垫工作做得非常到位，使得后续在处理Lax对的零曲率条件时，读者可以更容易地接受其抽象性。不过，这本书的参考文献列表，虽然涵盖了许多奠基性的经典文献，但明显缺乏对近十年（特别是2010年以后）在相关领域涌现出的新方法、新发现的引用。这使得这本书虽然在理论深度上无可指摘，但在时效性上略显保守。它是一份关于“如何理解孤立波的经典理论”的百科全书，而非一份“孤立波理论的最新研究综述”。因此，读者需要认识到，这本书提供了坚实的理论基石，但要站在当前研究的最前沿，还需要结合最新的期刊论文进行补充阅读。

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这本书的排版和装帧，坦白地说，有一种时代感。它不是那种近年来流行的、色彩丰富、配有大量图表的现代教材风格，而更接近于二十世纪末期严谨学术著作的风格——黑白分明，文字为主。这种风格的好处在于，它迫使读者完全专注于数学表达式和逻辑推导本身，没有多余的视觉干扰。我发现，在处理像非线性薛定谔方程（NLS）的能量泛函最小化路径时，作者的文字描述配合着精确的数学符号，构建了一个非常清晰的理论框架。它强调了变分法在孤立波存在性证明中的核心作用，这一点是很多只关注动力学演化的书籍所忽视的。不过，这种风格的弊端也显而易见：对于那些需要直观几何解释的读者来说，书中缺乏高质量的插图来辅助理解。例如，在描述多孤子解的碰撞过程时，一个精心制作的动态图胜过千言万语，而这本书更多地依赖于复杂的三角函数和双曲函数组合来描述这种交互，这对非专业的读者来说，理解起来相当吃力。因此，如果你是视觉学习者，或者你希望快速建立对这些波现象的直观感知，这本书可能需要搭配其他辅导资料一起使用。它更偏向于“证明的艺术”而非“现象的可视化”。

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这本书，拿到手的时候就感觉沉甸甸的，封面设计得非常经典，深蓝色调，配上烫金的标题，一看就是那种能沉下心来啃很久的“硬骨头”。我一开始是冲着“偏微分方程”这块招牌去的，因为我的研究方向涉及到一些复杂的流体力学模型，而这些模型的核心数学工具往往就是PDE。我对这本书的期望是，它能提供一个从基础到前沿的、系统化的梳理。初翻目录，发现它对基础理论的覆盖确实很扎实，从基础的椭圆型、抛物型到双曲型方程的经典解法，都有详尽的阐述。特别是对于傅里叶变换和拉普拉斯变换在求解定解问题中的应用，讲解得非常清晰，公式推导一丝不苟，让人能够真正理解每一步背后的物理意义和数学逻辑。然而，阅读过程中，我注意到作者在引入“孤立波理论”时，其侧重点似乎略微偏向于特定的可积系统，比如KdV方程和Sine-Gordon方程的Bäcklund变换和反散射方法。对于更现代的、涉及高维或非线性随机性的PDE研究前沿，涉及的内容相对有限，更像是一部深入理解经典可积系统的权威指南，而不是一本涵盖所有现代PDE研究热点的教科书。对于初学者来说，它的严谨性无疑是巨大的财富，但对于资深研究人员而言，可能会觉得在某些最新的数值方法或计算几何角度的PDE处理上，略显保守。总的来说，这是一本适合作为核心参考书，用来巩固数学物理基础的经典著作。

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