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出版者:American Mathematical Society

作者:Bonahon, Francis

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2009

价格:417.00

装帧:

isbn号码:9780821848166

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

• 数学
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• 【科普杂文】
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《低维几何》：探索空间内在结构的视觉与思想之旅 本书《低维几何》并非一本枯燥的数学教科书，而是一次深入探索我们赖以生存的空间内在结构的迷人旅程。它将带领读者穿越二维平面和三维空间的复杂织锦，揭示隐藏在平凡之下的精妙规律和令人惊叹的对称性。我们不以纯粹抽象的代数符号为起点，而是通过直观的视觉化和富有启发性的几何构建，逐步揭开低维空间的奥秘。 二维的优雅：平面上的无限可能 在开始这段探索时，我们将从最熟悉但又最容易被忽视的二维平面开始。在这里，我们不仅会重温欧几里得几何的基础，如点、线、圆的性质，还会深入探究那些构成平面世界骨架的关键概念。多边形的内角和、外角和，以及它们如何通过连续的变形（同伦）连接起来，将是我们的早期研究对象。我们会发现，即使是简单的多边形，其内在结构也蕴含着丰富的组合信息。 接着，我们将目光投向更广阔的平面几何领域。共形映射（Conformal Mapping）将是其中一个令人着迷的主题。我们将理解如何将一个形状通过保持角度不变的方式变换到另一个形状，例如将一个圆盘映射到一个正方形，或者将一个无限的平面压缩到一个有限的区域。这个过程不仅在理论上具有深刻的意义，在物理学和工程学中也扮演着至关重要的角色。 此外，我们还会审视平面上的各种几何结构，例如镶嵌（Tessellations）和周期性结构。从自然的蜂窝到艺术家的马赛克，这些结构展示了如何在平面上无缝地重复图案，并探讨了不同类型的对称性如何影响这些镶嵌的构成。我们还将触及黎曼几何的入门概念，理解在弯曲的平面上，欧几里得几何的直觉是否仍然适用，以及曲率的概念如何改变我们对距离和角度的感知。 三维的深度：体块与边界的交织 从二维的平面跃升至三维空间，我们的探索将变得更加立体和丰富。多面体（Polyhedra）将是三维世界的基石。我们将不仅仅是描述正多面体（如立方体、四面体），还会深入研究它们之间的对偶关系，以及欧拉示性数（Euler Characteristic）如何在不同类型的多面体之间建立起联系。从球面上的顶点、边、面到三维空间中的体积，欧拉示性数始终保持不变，这揭示了三维物体的一种基本拓扑性质。 我们还将探索三维空间中的曲面（Surfaces）。从简单的球面、圆环面（Torus），到更复杂的双曲抛物面（Hyperbolic Paraboloid），我们将理解如何描述曲面的形状，例如高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。这些曲率的概念不仅仅是数学上的度量，它们还直接影响着物体在空间中的行为，例如如何滚动、如何折叠。 穿越三维空间，我们还将遇到一些经典且极具挑战性的问题，例如惠更斯原理（Huygens' Principle）在光传播中的体现，以及表面张力如何塑造液滴的形状。我们将探讨拓扑学（Topology）在理解三维物体上的应用，例如如何通过“橡皮膜几何”来研究物体的基本性质，无论其形状如何扭曲，只要不撕裂或粘合，某些特性（如孔洞的数量）就会保持不变。 连接与转化：低维空间的内在联系 本书的精髓不仅在于分别研究二维和三维空间，更在于揭示它们之间的深刻联系和转化。我们将看到，许多二维的概念，如流形（Manifolds），是如何在三维空间中找到具象化的实现的。例如，一个光滑的三维曲面本身就是一个二维流形。 我们还将探讨几何变换（Geometric Transformations）在低维空间中的应用。平移、旋转、缩放、剪切等基本变换，以及更复杂的仿射变换（Affine Transformations）和射影变换（Projective Transformations），如何改变物体的形状和位置，并理解这些变换背后所遵循的群论（Group Theory）结构。 《低维几何》将是一次智识上的冒险，一次对我们所处世界基本结构的好奇探索。它将培养读者敏锐的几何直觉，锻炼他们分析和解决问题的能力，并最终帮助他们理解，即使在最基本的维度中，也蕴藏着无限的精妙与深邃。我们相信，通过本书的学习，读者将以全新的视角审视周围的世界，发现那些曾经被忽略的美丽与秩序。

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《Low-Dimensional Geometry》这本书，从它的名字我就感受到了它所蕴含的深刻和直观。我一直对我们所处的空间——三维空间，以及二维平面有着天然的亲近感，并对它们内在的几何规律充满了好奇。我希望这本书能够系统地阐述低维度几何的精髓，为我揭示那些肉眼可见的形状背后隐藏的数学奥秘。我特别期待书中能够清晰地定义“维度”的概念，以及“几何”在不同语境下的含义，并重点讲解低维度空间在这些定义下的独特性。书中是否会深入介绍描述空间弯曲的核心概念——曲率？我希望能够理解高斯曲率和平均曲率的精确定义，以及它们如何刻画一个曲面的局部形状。更令我兴奋的是，我希望了解这些局部性质如何与曲面的整体拓扑结构联系起来。我非常关注书中是否会介绍一些关于嵌入（embedding）和浸入（immersion）的重要定理，例如，是否所有低维流形都可以被嵌入到欧几里得空间中，以及存在的条件和限制。我期待书中能够对一些经典的低维度几何对象，如球面、环面、双曲抛物面等进行深入分析，包括它们的度量性质、曲率性质以及一些重要的几何特征。如果书中还能涉及一些关于低维度几何在理论物理，例如广义相对论中的应用，那将是非常有启发性的。我希望这本书能够配以精美的插图，用直观的方式帮助我理解那些抽象的数学概念。

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这本书，哦，说实话，我拿到《Low-Dimensional Geometry》时，内心是带着一丝忐忑和满怀期待的。我之前涉猎过一些拓扑学和微分几何的入门材料，对那些光滑的流形、嵌入和同胚之类的概念有了一些粗浅的认识，但总觉得它们离我所理解的“几何”还有点距离。我总是对那些低维度的、更直观的空间结构充满了好奇。比如，我们日常生活中熟悉的二维平面和三维空间，它们到底有着怎样的内在联系？是否存在一些我们肉眼无法直接观察到的“曲率”或者“扭曲”？这本书的名字，恰恰点燃了我对这些问题的求知欲。它承诺要深入探索低维度的几何世界，这让我联想到那些关于球体、环面、莫比乌斯带等经典几何对象的奇妙性质。我特别期待书中能清晰地阐述一些基本概念，比如曲线的曲率、挠率，以及它们如何定义一个曲线在空间中的局部形状。同时，对于曲面的定义，如高斯曲率、平均曲率，以及它们与曲面的整体形状（是凸的、凹的还是鞍形的）之间的关系，我也希望能有更深入的理解。书中是否会介绍一些重要的定理，比如高斯-博内定理，它如何将曲面的曲率与其拓扑性质联系起来？我对这些理论性的东西非常感兴趣，希望作者能用一种既严谨又易于理解的方式来呈现。此外，作为一本关于“几何”的书，我期望它能辅以大量的插图和具体的例子，这样我才能更好地将抽象的概念可视化，从而更深刻地体会低维度几何的精妙之处。我尤其想知道，书中是否会讨论一些现代几何学中的前沿课题，比如黎曼几何的基础，或者一些在理论物理（如弦论）中应用的低维度几何模型？这些都是我作为一名对数学充满热情的读者，所渴望从这本书中获得的知识。

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老实说，当我看到《Low-Dimensional Geometry》这本书的书名时，我的兴趣就被点燃了。我一直觉得，虽然高维空间在许多理论领域都有着举足轻重的地位，但我们最熟悉、最能产生直观理解的，仍然是低维度空间。我希望这本书能为我揭示低维度几何的奥秘，让我更深入地理解我们所处的现实世界的空间属性。我非常期待书中能详细解释“低维度”到底意味着什么，以及在数学上如何精确地定义一个几何空间的维度。是代数意义上的维度，还是拓扑意义上的维度，亦或是度量意义上的维度？我希望书中能对这些不同的概念进行区分和阐述。书中是否会深入探讨黎曼几何的基础，尤其是曲率的概念？我了解到，曲率是描述空间弯曲程度的关键，而黎曼几何是研究弯曲空间几何的强大理论框架。我特别希望书中能够清晰地解释高斯曲率和里奇曲率在低维度空间中的意义，以及它们如何影响空间的几何结构。此外，我非常关注书中是否会介绍一些低维度流形（如球面、环面、克莱因瓶）的几何性质。例如，它们是否具有常曲率？它们的测地线是如何运动的？我期待书中能提供一些关于这些经典几何对象的深入分析，包括它们的拓扑不变量和几何度量。如果书中还能涉及一些关于测度论在低维度几何中的应用，比如计算体积、表面积，那将非常有价值。我尤其希望书中能够配以丰富的图示和例子，帮助我将抽象的数学概念形象化，从而更深刻地理解低维度几何的精妙之处。

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《Low-Dimensional Geometry》这本书，在我眼中，它不仅仅是一本关于数学的书，更是一扇通往理解我们所处空间本质的窗户。我一直对“维度”这个概念感到着迷，而低维度，尤其是那些我们能够感知和描绘的二维和三维空间，更是隐藏着无数数学的精妙。我希望这本书能为我揭示这些精妙之处。我非常期待书中能够从最基础的定义出发，清晰地阐述“维度”在几何学中的含义，以及“几何”本身的范畴。书中是否会深入探讨描述空间弯曲的核心——曲率？我热切地希望能够理解高斯曲率和平均曲率的精确数学定义，以及它们如何精妙地刻画一个曲面的局部几何性质。更令我兴奋的是，我希望知道这些局部信息如何汇聚，最终决定一个曲面的整体形态和拓扑属性。我非常关注书中是否会介绍一些关于嵌入（embedding）和浸入（immersion）的重要定理，例如，是否所有低维流形都可以被嵌入到欧几里得空间中，以及存在的条件和限制。我期待书中能够对一些经典的低维度几何对象，如球面、环面、克莱因瓶等进行深入分析，包括它们的度量性质、曲率性质以及一些重要的几何特征。如果书中还能触及一些关于低维度几何在理论物理，例如广义相对论中的应用，那将是非常有启发性的。我希望这本书能够配以精美的插图，用直观的方式帮助我理解那些抽象的数学概念。

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拿到《Low-Dimensional Geometry》这本书，我的内心是充满期待的。我一直对我们日常所处的空间——三维欧几里得空间，以及更广义的低维度几何世界有着强烈的好奇心。我希望这本书能够系统地解答我心中的一些疑问，例如，低维度空间有哪些独特的几何性质？它们与高维度空间又有什么本质的区别？我非常期待书中能对“几何”的定义进行更深入的探讨，是在度量意义上，还是在拓扑意义上，或者两者兼而有之？书中是否会详细介绍微分几何中的核心概念，比如流形、切空间、张量，以及它们在低维度几何中的具体应用？我特别希望能看到关于曲率的概念被清晰地阐述，特别是高斯曲率和平均曲率，它们是如何描述一个曲面局部形状的，以及它们与曲面的整体拓扑结构（比如亏格）之间存在怎样的联系？我非常好奇书中是否会涉及一些关于嵌入定理的内容，比如是否可以将任意一个低维流形嵌入到欧几里得空间中，是否存在一些重要的嵌入限制？我希望书中能够提供一些关于黎曼几何基础的介绍，即使是概念性的，也能让我理解度量张量在定义几何性质中的作用。我期待书中能包含一些经典的低维度几何对象，如球面、环面、双曲面等的详细分析，包括它们的度量张量、曲率性质以及一些重要的几何特性。如果书中还能稍稍提及一些关于低维度几何在理论物理（如广义相对论）中的应用，那将是我的一大收获。

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拿到《Low-Dimensional Geometry》这本书，我立刻被它的书名所吸引。我一直觉得，相较于抽象的高维空间，低维度几何，尤其是我们日常接触到的二维和三维空间，更具有一种直观的魅力和深刻的数学美感。我希望这本书能够带我深入探索这些空间内部的几何规则。我非常期待书中能清晰地界定“维度”这一概念，并阐述“几何”在低维度语境下的具体含义。书中是否会详细讲解描述空间弯曲的工具，比如曲率？我渴望理解高斯曲率和平均曲率的精确定义，以及它们如何刻画一个曲面的局部形状。更重要的是，我希望了解这些局部性质如何累积，最终决定一个曲面的整体拓扑特征。我非常关注书中是否会介绍一些关于嵌入（embedding）和浸入（immersion）的重要定理，例如，是否所有低维流形都可以被嵌入到欧几里得空间中，以及存在的条件和限制。我期待书中能够对一些经典的低维度几何对象，如球面、环面、莫比乌斯带等进行深入分析，包括它们的度量性质、曲率性质以及一些重要的几何特征。如果书中还能触及一些关于低维度几何在拓扑学中的应用，比如结理论或曲面分类，那将是令我非常惊喜的部分。我真心希望这本书能够图文并茂，用清晰的语言和恰当的例子，带领我走进低维度几何的奇妙世界。

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当我拿到《Low-Dimensional Geometry》这本书时，我内心是充满期待的。我一直觉得，虽然数学的疆界不断拓展到高维空间，但低维度几何，特别是我们所熟悉的三维空间，以及二维平面，它们本身就蕴含着丰富的数学结构和深刻的几何直觉。我希望这本书能够系统地梳理这些低维度的几何特性。我期待书中能够从基础出发，清晰地定义“维度”以及“几何”在不同数学分支中的含义，并重点阐述低维度空间在这些定义下的独特性。书中是否会深入介绍微分几何中的基本工具，例如曲率？我非常希望能够理解高斯曲率和平均曲率的精确定义，以及它们如何描述一个曲面局部的形状。更重要的是，我希望理解这些局部性质如何累积起来，影响到曲面的整体拓扑特征。我特别关注书中是否会探讨一些重要的几何概念，比如等距嵌入（isometric embedding），它允许我们在保持距离不变的情况下，将一个几何结构从一个空间“重现”到另一个空间。我期待书中能提供一些关于低维度黎曼流形（如球面、环面、莫比乌斯带）的详细分析，包括它们的度量性质、曲率分布以及一些特殊的几何现象。如果书中还能触及一些关于低维度几何在拓扑学中的应用，比如结理论或曲面分类，那将是令我非常惊喜的部分。我真心希望这本书能够图文并茂，用清晰的语言和恰当的例子，带领我走进低维度几何的奇妙世界。

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《Low-Dimensional Geometry》这本书，在拿到手中时，我就对它寄予了厚望。我一直对“维度”这个概念本身非常着迷，而低维度，尤其是二维和三维，更是我们最熟悉也最容易产生直观感受的空间。我希望这本书能够系统地阐述，在这些低维度空间中，几何对象是如何被定义、被分类，以及它们之间存在着怎样的内在联系。我非常关注书中是否会涉及微分几何的一些基本工具，例如向量场、切空间、协变微分等，以及这些工具如何在低维度几何的语境下得到应用。具体来说，我期待书中能够清晰地解释，如何用数学语言描述“弯曲”的概念，比如通过曲率张量来刻画空间的几何性质。高斯曲率和平均曲率这两个概念，在描述曲面局部形状方面至关重要，我希望书中能给出它们精确的定义，并展示它们如何与曲面的整体结构联系起来。书中是否会深入探讨等距嵌入（isometric embedding）的问题？即，能否在保持距离不变的前提下，将一个几何结构从一个空间“复制”到另一个空间。这在低维度几何中，例如将一个弯曲的曲面“展开”到平面上，是一个非常重要的话题。我希望书中能包含一些关于黎曼几何基础的介绍，即使是简要的，也能让我对度量如何定义空间结构有一个初步的认识。同时，我非常期待书中能有一些关于拓扑学概念（如同胚、同伦）的引入，以及它们如何与低维度几何性质相辅相成。我希望作者能够提供一些具体的例子，比如在二维球面、三维球体上的几何例子，来帮助理解这些抽象概念。如果书中还能稍微涉及一些关于曲率流（curvature flow）的讨论，那将是锦上添花，因为这涉及到几何形状如何随着时间演化的问题。

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《Low-Dimensional Geometry》这本书，自从看到书名之后，我就对它充满了好奇。我一直觉得，相较于抽象的高维空间，低维度几何，尤其是二维和三维的几何，更能引起我们直观的感受，也蕴含着更直接的数学美学。我希望这本书能够带我深入探索这些熟悉的、却又充满深邃意义的空间。我非常期待书中能够清晰地定义“低维度”以及“几何”这两个核心概念，并阐述它们在数学上的严谨含义。书中是否会详细讲解一些描述空间弯曲的工具，比如曲率？我非常想了解高斯曲率和平均曲率是如何精确计算的，以及它们与一个曲面形状之间的内在联系。比如，一个具有常正曲率的曲面（如球面）和具有常负曲率的曲面（如双曲面）在几何和拓扑上有何本质区别？我非常关注书中是否会介绍一些重要的几何定理，例如高斯-博内定理，它如何将曲面的内蕴曲率与其拓扑性质（如亏格）联系起来？我期待书中能提供一些关于低维度流形（如球面、环面、射影平面）的详细分析，包括它们的定义、拓扑分类以及一些特殊的几何性质。如果书中还能涉及一些关于测度几何（metric geometry）的基础知识，例如如何在弯曲空间中定义距离、长度和面积，那将非常有帮助。我尤其希望书中能够配备丰富的图示和实例，以便我能够更好地理解这些抽象的几何概念，并体会低维度几何的独特魅力。

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拿到《Low-Dimensional Geometry》之后，我几乎是迫不及待地翻阅起来。我一直觉得，虽然高维空间在理论物理和现代数学中有其不可替代的地位，但低维度的几何世界，尤其是三维空间内的几何，有着一种独特的魅力和直观性。它更加贴近我们的直觉，也更容易让我们理解几何学的基本思想。这本书的名字恰好抓住了这一点。我特别关注书中对“几何”的定义，是侧重于度量几何（比如欧几里得几何、黎曼几何），还是侧重于拓扑几何，或者是两者的结合？我期待书中能够清晰地区分这些不同的几何学分支，并重点阐述低维度空间在这种划分下的独特性。比如，在三维空间中，我们可以对物体进行各种“扭曲”而不改变其拓扑性质，这与二维平面上的情况又有什么不同？书中是否会深入探讨三维空间中一些经典的嵌入问题，比如如何将一个抽象的流形嵌入到三维欧几里得空间中，以及存在的限制条件？我很好奇书中会如何讲解曲线的分类，比如简单曲线、闭合曲线，以及它们在三维空间中的行为。此外，关于曲面的分类，我希望书中能涵盖一些重要的概念，如可定向性、 genus（亏格），以及这些性质如何影响曲面在低维度空间中的展现。这本书能否提供一些关于李群和李代数在低维度几何中的应用的视角？我听说这些抽象的代数结构在描述几何对称性和运动方面起着至关重要的作用。如果书中能包含一些关于黎曼流形及其度量张量的介绍，并解释它们如何定义空间中的距离和角度，那将是极大的惊喜。我也很期待书中是否有关于一些特殊的低维度几何对象（如球形、环形、双曲面）的详细分析，包括它们的度量性质和拓扑不变量。

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An introduction to geometric topology. Plain words with sufficient figures.// 'The remote control' is the key feature, guiding one skip some long detailed proof of theorems at first reading.// Tessellation and figure-eight knot parts are really interesting.// A subject in math that I can accept, but still found it hard to learn.(orz

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