Hyperbolic Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Alinhac, Serge

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:2009-6

价格:$ 67.74

装帧:

isbn号码:9780387878225

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 双曲型方程
• 数值方法
• 有限差分
• 有限元
• 计算数学
• 应用数学
• 科学计算
• 偏微分方程数值解
• 数学物理方程

探索数学的深邃之美：从基本原理到尖端应用 本书并非为您所熟知的“双曲型偏微分方程”的专著，而是着眼于数学学科本身，追溯其核心概念的起源，洞察其发展脉络，并展现其在广阔科学技术领域中的深刻印记。我们将一同踏上一段旅程，从最基础的数学思想出发，逐步构建起理解抽象数学工具的坚实基础，并最终触及那些驱动现代科学进步的前沿应用。 第一部分：数学的基石——概念与逻辑的孕育 我们的探索始于数学最本源之处：概念的诞生与形式化的力量。在古代文明的智慧之光中，数学的种子便已悄然播下。从对数量的直观认识，如数数、测量，到对图形形状的几何探索，如欧几里得的《几何原本》，我们看到了人类如何从经验世界中提炼出抽象的、普适的规律。这一阶段，我们并非孤立地研究某个数学分支，而是要理解数学家们如何赋予这些直观概念以严谨的定义，如何建立起一套自洽的公理系统。例如，集合论的出现，为数学提供了一个统一的语言和框架，使得研究者能够清晰地界定对象、描述关系，并在此基础上构建更为复杂的理论。 接着，我们将深入探究逻辑推理的艺术。数学的美丽，很大程度上体现在其严密的证明过程。从演绎推理的经典范例，到归纳法的巧妙运用，我们将剖析数学家们如何通过一系列逻辑步骤，将已知的真理推导至未知。理解逻辑的构建，有助于我们欣赏数学证明的精妙之处，更能培养我们独立思考和解决问题的能力。我们将接触到命题逻辑、谓词逻辑等基本工具，并理解它们在数学研究中的关键作用。 在概念与逻辑交织的土壤上，代数思维的萌芽得以生长。我们不再仅仅满足于具体的数值计算，而是开始关注量与量之间的关系，以及抽象的符号运算。从基本算术运算的推广，到变量、方程、函数等核心概念的引入，代数思维为我们打开了理解变量之间相互作用的大门。多项式、方程组、矩阵等代数结构，为描述和解决各类问题提供了强大的工具。我们将学习如何运用代数方法来建模现实世界中的现象，例如人口增长、经济模型等，从而体会代数在量化分析中的不可或缺性。 第二部分：数学的扩展——结构的构建与分析 随着对基本概念的深入理解，我们将进入结构的构建与分析的广阔天地。这一阶段，数学开始展现其构建宏大体系的能力。函数作为核心工具，将贯穿我们整个旅程。我们不仅要理解函数的基本定义和性质，更要探索不同类型的函数，如线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等，以及它们所描述的运动和变化。 微积分的诞生无疑是数学史上的一座里程碑，它为我们提供了描述连续变化和无限过程的强大语言。我们将从直观的极限概念出发，逐步理解导数所代表的瞬时变化率，以及积分所代表的累积效应。微积分的应用之广泛，几乎渗透到科学技术的每一个角落：物理学中描述运动、力、能量，工程学中分析应力、流体，经济学中预测趋势、优化决策，甚至生物学中模拟生长、扩散，无不依赖于微积分的强大分析能力。本书将着重于微积分的基本思想及其在解决实际问题中的普适性，而非局限于特定方程的求解技巧。 微分方程，作为描述物理世界和自然现象的基本数学语言，自然是本部分的重要组成部分。我们将探索不同类型的微分方程，理解它们如何精确地刻画了变量之间随时间或空间的变化关系。从简单的常微分方程，它描述的是一个因变量仅随一个自变量变化的动态过程，例如单摆的摆动、放射性物质的衰减，到更为复杂的偏微分方程，它描述的是因变量随多个自变量（如时间与空间）共同变化的复杂现象，例如热量的传导、波的传播、流体的运动。本书将引导读者理解微分方程的内在含义，认识到它们是连接数学模型与现实世界的重要桥梁。我们将关注微分方程的定性分析，如平衡点、稳定性等，以及其在构建科学模型中的普遍应用。 线性代数是另一门极其重要的数学分支，它提供了处理多变量系统和高维空间的强大工具。我们将学习向量、矩阵、线性变换等基本概念，并理解它们如何用于描述和解决一系列问题，例如求解线性方程组、数据分析、计算机图形学、机器学习等。线性代数不仅是现代科学计算的基石，也是理解许多高级数学理论的必经之路。 第三部分：数学的深化——抽象与应用的多维度视角 在打下坚实的理论基础后，我们将进入数学的深化阶段，从更抽象的层面理解数学的本质，并进一步拓展其应用的可能性。 拓扑学为我们提供了一种研究空间性质的全新视角，它关注的是在连续变形下保持不变的性质，例如连通性、孔洞的数量等。虽然看似抽象，但拓扑学在理解复杂形状、网络结构、甚至在凝聚态物理和生物信息学等领域有着越来越重要的应用。 概率论与数理统计是处理不确定性和随机性的数学工具。在信息爆炸的时代，理解数据、分析风险、进行预测，都离不开概率论和统计学的支持。我们将学习随机变量、概率分布、假设检验、回归分析等基本概念，并认识到它们在金融、医学、社会科学等领域的关键作用。 数值分析是将抽象的数学理论转化为实际可计算方法的桥梁。许多复杂的数学问题，特别是微分方程的求解，往往难以获得精确的解析解，这时就需要依赖数值方法来近似求解。我们将了解插值、逼近、数值积分、数值微分、以及求解常微分方程和偏微分方程的常用数值算法，并理解它们在工程仿真、数据科学、科学计算等领域中的重要性。 集合论与数学基础的探讨将为我们提供一个更宏观的视角，理解数学的公理化体系是如何构建的，以及不同数学分支之间的内在联系。这有助于培养我们对数学整体的深刻认识，并为更高级的数学研究打下基础。 最后，本书将目光投向数学在各领域的前沿应用。我们将探讨数学如何成为物理学的语言，从牛顿力学到量子力学，再到相对论，数学模型无不扮演着核心角色。我们还将审视数学在工程学中的重要性，例如控制理论、信号处理、优化设计等，以及在计算机科学中的应用，如算法设计、数据结构、人工智能、密码学等。 总而言之，本书并非聚焦于某个狭窄的数学分支，而是旨在构建一个理解数学本质的宏观框架。通过追溯基本概念的起源，展现抽象结构的构建，并探索其在广泛领域的应用，我们希望引导读者领略数学的深邃之美，培养对数学的深刻理解和应用能力。这是一场智力的冒险，一场对知识边界的不断探索，一场对我们理解世界方式的根本性革新。

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