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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Akio Kawauchi

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:1996-11-08

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764351243

丛书系列:

图书标签:

• Knot Theory
• Topology
• Mathematics
• Geometric Topology
• Low-Dimensional Topology
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• Combinatorics
• Algebraic Topology

结理论研究综述 引言 结理论，作为数学的一个分支，研究的是嵌入三维欧几里得空间（$mathbb{R}^3$）中的闭合一维曲线（即“结”）的拓扑性质。它最初源于物理学和化学中的一些实际问题，例如原子和分子的结构，但很快就发展成为一个深刻而活跃的纯粹数学研究领域。结理论的核心在于理解在不撕裂或粘合的情况下，一个结如何可以通过连续变形（称为“居间变形”或“未缝合变形”）转化为另一个结。这种“等价”关系将无限多的结划分成有限的若干类，这些类就是我们所研究的“结”。 本书《结理论研究综述》旨在为读者提供一个全面而深入的结理论景观概览。我们并非一本教科书，而是试图提炼出结理论研究中的一些关键概念、重要工具、核心成果以及活跃的研究前沿。本书的结构设计旨在帮助对结理论有初步了解的读者，或者那些希望了解这一领域全貌的数学家、物理学家或化学家，快速掌握其精髓，并能进一步探索其广阔的研究领域。我们将避免陷入繁杂的证明细节，而是专注于清晰地阐述思想的逻辑和方法的有效性。 第一章：结与链环的基本概念 本章将奠定结理论研究的基础，介绍结的基本定义以及与之相关的核心概念。 什么是结？ 我们将正式定义一个结为 $mathbb{R}^3$ 中的一个闭合一维光滑嵌入。这意味着一个结可以被视为一个圆周的连续变形，它在三维空间中没有自交。我们将区分“平凡结”（也称为“未打结”）与非平凡结。 链环： 结可以被看作是只有一个分量的链环。本章还将引入链环的概念，即 $mathbb{R}^3$ 中一组不相交的闭合曲线的集合。链环的研究比结本身更为复杂，但许多结理论中的方法和思想也适用于链环。 居间变形（Ambient Isotopy）： 这是结理论中定义“等价”的关键概念。我们将详细解释居间变形如何允许我们在不破坏自身的情况下，在三维空间中自由地移动和改变结的形状。两个结若可以通过居间变形相互转化，则被认为是等价的。 等价类与结的分类： 居间变形定义了一种等价关系，它将所有的结划分成互不相交的等价类。本书关注的重点是理解这些等价类。最简单的非平凡结，如三叶结，也将在此介绍。 投影图与交叉表示： 在研究结的拓扑性质时，通常将其投影到平面上，得到一个带交叉的图。本章将介绍如何从一个结（或链环）得到其投影图，以及如何从投影图重构出结。交叉表示是研究结的一个重要工具，尽管投影图不唯一，但不同的投影图描述的结是等价的。 交叉数： 投影图中的交叉点数量是研究结的一个初步指标。我们将定义交叉数，并解释其在区分某些结时的局限性。 第二章：不变量：区分结的工具 结理论的许多核心在于寻找“不变量”。不变量是那些在居间变形下保持不变的量，它们可以用来区分不同的结。如果两个结的不变量值不同，那么它们一定是不同的结。本章将介绍一些最基本和最有影响力的结不变量。 结多项式： 这是结理论中最成功的工具之一。我们将介绍几种重要的结多项式： 亚历山大多项式（Alexander Polynomial）： 这是最早发现的结不变量之一，它基于线性代数方法，通过构建一个称为“结的覆盖空间”的代数结构来计算。我们将介绍其定义以及如何计算。 琼斯多项式（Jones Polynomial）： 在20世纪80年代中期由 Vaughan Jones 发现，琼斯多项式引发了结理论研究的复兴，并揭示了结理论与量子场论之间的深刻联系。我们将概述其递归定义以及一些基本的性质。 其他结多项式： 简要介绍其他重要的结多项式，如HOMFLYPT多项式（它统一了亚历山大和琼斯多项式），以及它们在区分结方面的不同能力。 扭结数（Knot Group）： 结的扭结数是一个拓扑不变量，它是一个群，由结的生成元和关系式定义。我们将介绍扭结群的概念，以及它如何编码结的信息。扭结群的同构性是一个困难的问题，但它仍然是区分结的重要工具。 链环数（Link Group）： 类似于扭结数，链环数也是一个群不变量，用于区分链环。 基本不变量的局限性： 尽管这些不变量非常强大，但它们并非总能区分所有结。我们将讨论何时需要更强大的不变量，以及它们在研究某些复杂结时的不足之处。 第三章：代数与几何方法 本章将深入探讨结理论中使用的代数和几何工具。 代数拓扑与同调论： 结理论与代数拓扑有着深厚的联系。我们将介绍同调论在研究结的拓扑性质中的应用，以及如何利用同调群来构造不变量。 格罗滕迪克–黎曼–罗赫定理（Grothendieck–Riemann–Roch Theorem）与代数几何： 尽管听起来很抽象，但一些现代的结不变量（如 Khovanov 同调）与代数几何中的概念有着密切的联系。本章将简要探讨这种联系，尤其是在黎曼曲面上的结理论研究。 量子不变量： 琼斯多项式以及更广泛的量子不变量（如基于量子群的体积不变量）是现代结理论的重要组成部分。我们将介绍量子不变量的基本思想，以及它们与统计力学模型和量子场论的联系。 高维结理论（Higher-Dimensional Knot Theory）： 结理论最初研究的是嵌入 $mathbb{R}^3$ 的曲线。然而，它也可以推广到研究嵌入高维欧几里得空间或光滑流形中的低维球面（例如，嵌入 $mathbb{R}^n$ 中的 $S^k$）。本章将简要介绍高维结理论的基本概念和一些有趣的结论，例如高维结的分类比三维结更为复杂。 第四章：物理学中的结理论 结理论在物理学的许多分支中都有着重要的应用，包括统计力学、凝聚态物理、粒子物理以及量子引力等。本章将重点介绍这些联系。 统计力学模型： 琼斯多项式最初是在研究统计力学模型（如 Potts 模型）时发现的。我们将介绍如何通过建立物理模型与数学结之间的对应关系来计算结多项式，以及这种对应关系如何揭示物理系统的相变行为。 凝聚态物理： 拓扑序（Topological Order）是凝聚态物理中的一个重要概念，它描述的是系统在宏观尺度上表现出的拓扑鲁棒性，而这种鲁棒性常常与结理论中的概念相关联。例如，分数量子霍尔效应中的准粒子激发可以被看作是具有拓扑性质的“链环”。 量子场论： 物理学家发现，许多结不变量可以通过量子场论的计算得到。特别是，二维共形场论（CFT）和三个维度上的拓扑量子场论（TQFT）在结理论的研究中扮演着至关重要的角色。我们将概述这些联系，以及它们如何为结理论提供新的计算工具和深刻的见解。 DNA 拓扑学： DNA 分子在细胞核中高度缠绕和折叠，其拓扑结构对生物体的正常功能至关重要。酶（如拓扑异构酶）可以改变 DNA 的拓扑状态，而结理论正是研究这种拓扑变化和其生物学意义的有力工具。 弦论与量子引力： 在弦论和量子引力的研究中，结理论的概念也出现了一些有趣的联系，尤其是在描述黑洞熵和引力子相互作用的某些模型中。 第五章：研究前沿与开放问题 结理论是一个充满活力的研究领域，并且不断有新的方向涌现。本章将概述一些当前的研究前沿和仍然存在的开放问题。 Khovanov 同调与 Floer 同调： Khovanov 同调是一种更强大的结不变量，它将琼斯多项式提升到一个同调理论的范畴。与此相关的还有 Seiberg–Witten–Floer 同调，它们在理解和区分结方面提供了更精细的信息。 量子拓扑不变量的推广： 研究更广泛的量子不变量，以及它们与不同类型的数学对象（如代数簇、函数域等）的联系，是当前研究的热点。 高维流形上的结理论： 将结理论的思想推广到更一般的拓扑流形上，研究嵌入流形中的球面，是高维结理论的一个重要方向。 计算复杂性： 确定一个结是否是平凡结（平凡性问题）是结理论中的一个基本问题，其计算复杂性仍然是一个活跃的研究领域。 与其他数学分支的交叉： 探索结理论与组合学、图论、概率论、博弈论等其他数学分支的新的交叉点。 实验验证与应用： 尽管结理论起源于纯粹的数学，但其在 DNA 拓扑学、材料科学等领域的应用也日益受到关注，并可能催生新的理论研究方向。 结论 《结理论研究综述》希望能够点燃读者对结理论的兴趣，并提供一个清晰的路线图，以探索这个迷人而深刻的数学领域。结理论不仅为理解三维空间的几何和拓扑结构提供了强大的工具，更与物理学的多个领域有着深刻的联系。随着研究的不断深入，我们有理由相信，结理论将在未来继续为科学和数学带来令人兴奋的发现。本书的目的是作为一个起点，鼓励读者深入研究那些触动您思维的特定领域，并可能在不久的将来为结理论的发展贡献自己的力量。

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