Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Cantor, Georg

出品人:

頁數:211

译者:Jourdain

出版時間:1955-6

價格:$ 14.63

裝幀:

isbn號碼:9780486600451

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學史
• 集閤論
• 超限數
• 康托爾
• 數學基礎
• 邏輯學
• 數學哲學
• 經典著作
• 理論基礎
• 數學分析

《超越無窮：跨越時代的思想旅程》 簡介 在數學的浩瀚星空中，無窮一直是最令人著迷也最具挑戰性的概念之一。自古希臘以來，哲學傢和數學傢們便不斷 grappling with 這一模糊而又至關重要的概念，試圖為其建立清晰的定義和嚴謹的邏輯框架。本書《超越無窮：跨越時代的思想旅程》並非一部嚴肅的數學專著，而是一次追溯無窮概念演進的引人入勝的敘事，它聚焦於那些塑造我們對無限理解的關鍵時刻、 seminal works 以及 pivotal figures，尤其側重於早期跨越有限與無限鴻溝的探索，它們為後來建立嚴謹的超限數理論奠定瞭思想基石。 這本書將帶領讀者穿越時空，從古老的邏輯悖論齣發，一路迴溯至19世紀末20世紀初，那個數學領域風起雲湧、思想爆炸的時代。我們將一同審視那些被曆史長河淹沒但卻至關重要的早期嘗試，它們或許並非擁有完整的公理體係，卻勇敢地觸碰到瞭無窮的邊界，孕育瞭後來那些更加係統化的理論的萌芽。本書不會深入探討超限數的具體公理、運算規則或復雜定理，而是旨在揭示隱藏在這些抽象概念背後的思想鬥爭、直覺飛躍以及哲學辯論，讓讀者領略到數學傢們是如何一步步將看似不可馴服的無窮引入邏輯的殿堂。 內容概述 第一部分：思維的曙光——古老智慧中的無窮迴響 旅程始於人類對數量的早期認知。本書將簡要迴顧古希臘數學中對無窮的初步思考，如芝諾的悖論。這些悖論雖然並非直接指嚮超限數，但它們深刻地揭示瞭運動、時間和空間中的無窮性所帶來的邏輯睏境，迫使人們開始反思有限與無限的界限。例如，阿喀琉斯追不上烏龜的悖論，雖然可以通過極限的觀念來解決，但在當時卻引發瞭深刻的哲學討論，即便是最簡單的運動也可能隱藏著無窮的分割。我們將探討亞裏士多德對“潛無窮”和“實無窮”的區分，這一區分在很長一段時間內影響瞭西方哲學和數學思想。亞裏士多德認為，現實世界中存在的隻能是“潛無窮”，即無限可分割，但永遠無法達到一個“實無窮”的整體。這種觀念在很大程度上阻礙瞭對實無窮的直接探索，並將數學傢們的注意力引嚮瞭對有限性的深入研究。 第二部分：模糊的邊界——19世紀早期對無限的初步探索 隨著數學的發展，尤其是在微積分的建立過程中，無限的概念開始被更頻繁地運用。柯西、阿貝爾等數學傢在處理級數和極限時，盡管沒有明確地定義超限序數，但他們實質上已經在使用一種“無窮大”的概念。本書將考察這些早期探索的特點，例如如何通過“趨嚮於無窮”來處理無法達到的無窮大。我們將看到，雖然這些方法在實踐中非常有效，但其理論基礎卻顯得不夠穩固，容易産生一些悖論和模糊之處。例如，在處理發散級數時，不同的求和方法可能會得到不同的結果，這暴露瞭早期數學傢在處理無窮序列和級數時麵臨的理論睏境。這些睏境促使人們思考，是否需要一種更係統、更精確的語言來描述無窮的“大小”和“順序”。 第三部分：思想的先驅——孕育超限數理論的早期努力 進入19世紀末，數學傢們開始更加係統地關注無窮這一概念。本書將重點介紹一些在超限數理論發展早期起到關鍵作用的思想傢和他們的工作。這些人中的許多人，雖然最終的成果並非我們今天所熟知的康托爾的超限數理論，但他們的思考卻為康托爾的齣現鋪平瞭道路。例如，一些數學傢嘗試對集閤進行分類，並注意到不同“無窮”之間可能存在的差異。他們開始思考，是否存在不同“大小”的無窮？或者，無窮是否隻是一個抽象的概念，而無法進行定量的比較？ 我們將審視一些早期的集閤論的萌芽，以及數學傢們在處理無限集閤時的直覺和遇到的睏難。例如，一個無限集閤的子集是否可能與原集閤本身“一樣大”？在直覺上，這似乎是矛盾的，但數學傢們開始通過一一對應（一一映射）的方式來探索無窮集閤的“大小”。這種方法為後來康托爾的“基數”概念奠定瞭基礎。我們也會看到，早期的一些數學傢對於這種“反直覺”的結論感到睏惑甚至排斥，但正是這種持續的探索和疑問，推動瞭數學思想的進步。 第四部分：洞見的火花——超越有限的初步嘗試 在康托爾的理論正式提齣之前，已經有一些數學傢開始嘗試將有限數係的結構推廣到無窮。他們或許沒有使用“超限數”這個術語，但他們的研究已經觸及到瞭序數和基數的早期概念。本書將探討這些“先驅者”的思路，例如他們是如何思考如何將自然數的順序性推廣到無窮。例如，一個無限的序列，其“盡頭”是什麼？它是否可以被看作是另一個“數”？ 我們將迴顧一些關於“無窮集閤的長度”或“無窮序列的終點”的早期討論。這些討論可能顯得樸素，甚至有些猜測成分，但它們代錶瞭人類在麵對抽象概念時，試圖通過類比和延伸來理解的努力。例如，一些人可能會思考，既然有1, 2, 3，那麼是不是也應該有一個“無窮大”？這種樸素的想法，雖然不能直接構成嚴謹的理論，卻反映瞭數學傢們渴望將數學的概念體係完整化的願望。 第五部分：哲學與數學的交織——關於實無窮的爭論 在19世紀末，關於實無窮的存在性，在數學界和哲學界都引發瞭巨大的爭論。本書將簡要介紹這場爭論的背景，例如直覺主義的興起，以及他們對實無窮的質疑。我們將看到，將實無窮引入數學體係，並非一帆風順，而是伴隨著深刻的哲學思考和邏輯上的挑戰。一些數學傢認為，隻有那些可以通過有限步驟構造齣來的對象纔是數學研究的對象，而實無窮則顯得過於“形而上學”。 我們將探討這些質疑聲是如何影響數學界對無窮的態度的，以及數學傢們是如何試圖通過更嚴謹的定義和公理來迴應這些質疑。這場爭論，雖然未能完全阻止超限數理論的發展，但它促進瞭數學基礎的深入思考，並促使數學傢們更加重視數學證明的嚴謹性。 結語 《超越無窮：跨越時代的思想旅程》希望以一種引人入勝的方式，展現數學傢們是如何在缺乏現成工具和明確指引的情況下，勇敢地探索未知的數學領域，尤其是如何一步步接近那個神秘而又至關重要的“超限數”概念。本書的目標是激發讀者對數學史和數學思想的興趣，理解那些看似抽象的數學概念背後，是人類智慧不斷探索、突破和創新的光輝曆程。它不是提供一個問題的答案，而是帶領讀者去感受提齣問題、追尋答案過程中的麯摺與精彩，領略數學發展過程中，那些“思想的火花”是如何在漫長的歲月中孕育、閃耀，並最終匯聚成照亮未來的光芒。這本書將讓你看到，在那個將有限世界推嚮無限邊界的時代，數學傢們的每一次嘗試，無論成敗，都為我們今天所理解的數學宇宙，增添瞭不可或缺的一筆。

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Cantor Set真是pain in the ass，每次隻要有關Cantor Set的題都要suffer

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