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《技术微积分与解析几何》 目录 第一部分：微积分基础 第一章：函数与极限 1.1 函数的初步概念 变量、常数、表达式 函数的定义与表示法：公式法、列表法、图象法、语言描述法 定义域与值域 奇函数与偶函数 单调性与周期性 函数的图象变换：平移、伸缩、翻转 1.2 几种基本初等函数 一次函数与二次函数 幂函数 指数函数与对数函数 三角函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）及其性质 反三角函数 1.3 极限的直观概念 无穷小量与无穷大量 数列的极限 函数的极限：左极限与右极限 函数在一点处的极限存在条件 1.4 极限的性质与运算法则 极限的唯一性 常数函数、恒等函数的极限 四则运算的极限性质 夹逼定理 单调有界定理 1.5 重要的极限 $ lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1 $ $ lim_{x o 0} (1+x)^{frac{1}{x}} = e $ $ lim_{x o infty} (1+frac{1}{x})^{x} = e $ 1.6 无穷小量的比较 高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小 利用等价无穷小求极限 第二章：导数及其应用 2.1 导数的概念 平均变化率与瞬时变化率 导数的定义：$f'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{f(x+Delta x) - f(x)}{Delta x}$ 几何意义：切线的斜率 物理意义：瞬时速度、加速度 可导性与连续性的关系 2.2 导数的计算 基本初等函数的导数公式 四则运算的求导法则 复合函数的求导法则（链式法则） 隐函数求导法 参数方程求导法 2.3 导数在研究函数中的应用 单调性判断 极值（极大值与极小值）的求法 凹凸性判断 拐点的求法 函数的描绘（图像绘制） 2.4 洛必达法则 $0/0$ 型未定式的求法 $ infty / infty $ 型未定式的求法 其他未定式的转化 2.5 导数的几何应用 切线与法线的方程 曲线的曲率（可选内容） 2.6 导数的物理与经济应用 速度与加速度 边际成本、边际收益、边际利润 弹性 第三章：微分 3.1 微分的定义 微分的定义：$dy = f'(x)dx$ 微分的几何意义 微分的近似计算 3.2 高阶微分 二阶及更高阶微分的定义与计算 第四章：积分 4.1 不定积分 原函数与不定积分的概念 不定积分的性质 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 4.2 定积分 定积分的定义（黎曼和） 定积分的性质 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理） 4.3 定积分的应用 曲线下面积的计算 两曲线围成图形面积的计算 旋转体体积的计算（圆盘法、壳层法） 弧长的计算 平面图形的质心（可选内容） 第二部分：解析几何 第五章：向量 5.1 向量的概念 向量的定义、表示法（坐标表示、基向量表示） 零向量、单位向量、平行向量、反平行向量 相等向量 5.2 向量的运算 加法与减法（三角形法则、平行四边形法则） 数乘运算 向量的模（长度） 向量的坐标运算 5.3 点积（数量积） 点积的定义与性质 点积的几何意义：向量夹角、向量投影 利用点积判断向量垂直 5.4 向量的模与距离 向量模的性质 两点间的距离公式 5.5 向量在几何中的应用 判断两向量平行与垂直 求向量夹角 第六章：直线与平面 6.1 直线方程 直线的方向向量 点斜式、斜截式、两点式、截距式方程 一般式方程：$Ax + By + C = 0$ 点到直线的距离公式 两条直线的位置关系：平行、相交、重合 两条直线的夹角 6.2 平面方程 平面的法向量 点法式方程 一般式方程：$Ax + By + Cz + D = 0$ 点到平面的距离公式 6.3 直线与平面之间的关系 直线与平面平行 直线与平面垂直 直线在平面内 直线与平面相交（求交点） 6.4 两个平面之间的关系 两个平面平行 两个平面垂直 两个平面相交（求交线） 两个平面的夹角（二面角） 第七章：二次曲线与二次曲面 7.1 圆 圆的标准方程 圆的一般方程 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 7.2 椭圆 椭圆的定义 椭圆的标准方程 椭圆的几何性质：焦点、长轴、短轴、离心率 切线方程 7.3 双曲线 双曲线的定义 双曲线的标准方程 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率 切线方程 7.4 抛物线 抛物线的定义 抛物线的标准方程 抛物线的几何性质：焦点、准线、对称轴 切线方程 7.5 二次曲面初步（选讲） 球面 椭球面 抛物面 圆柱面 附录： 常用积分公式表 常用导数公式表 常用数学常数 --- 图书简介： 《技术微积分与解析几何》是一本为需要深入理解和应用数学工具的学生与专业人士精心设计的教材。本书旨在系统地阐述微积分的核心概念，并将其与解析几何的强大几何表述能力相结合，为读者在科学、工程、经济及其他技术领域的研究与实践奠定坚实的数学基础。 本书分为两大核心部分：微积分基础和解析几何。在微积分部分，我们从函数这一基本概念出发，逐步引入极限的严谨定义及其丰富的应用。通过对数列极限和函数极限的深入剖析，读者将掌握理解连续性、无穷小量与无穷大量等关键概念的工具。随后，本书将重点讲解导数，包括其直观的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率），以及详尽的求导法则，如链式法则、隐函数求导等。在此基础上，我们将导数在分析函数性质（单调性、极值、凹凸性、拐点）和绘制函数图像方面的强大应用进行了系统梳理。洛必达法则作为处理未定式极限的利器，也得到了充分的阐释。微分的概念及其作为线性近似的价值被清晰地呈现。 进入积分部分，我们从不定积分的计算方法入手，包括换元积分法和分部积分法，为求解各种积分奠定基础。紧接着，本书将重点介绍定积分，不仅阐述其作为极限的定义，更突出微积分基本定理——联系导数与积分的桥梁——在求解定积分方面的核心作用。定积分的应用部分将是本书的一大亮点，我们将详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积、两曲线围成图形的面积，以及旋转体的体积和曲线的长度，这些都是工程设计与物理建模中不可或缺的数学工具。 解析几何部分则为抽象的代数表达式赋予了生动的几何形态。本部分首先介绍向量的概念及其代数运算，包括向量加减、数乘以及点积（数量积）。通过点积，我们将深入探讨向量的长度、方向以及它们之间的夹角，这为后续的直线、平面方程的学习打下了坚实的基础。 接着，本书将详细介绍直线与平面的方程表示法，包括点斜式、斜截式、一般式等，并深入讲解点到直线/平面的距离公式、直线与直线/平面之间的位置关系、夹角计算等。这些内容对于理解空间几何、解决三维空间中的定位与路径问题至关重要。 最后，本书将聚焦于解析几何中的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。我们将从它们的几何定义出发，推导出它们各自的标准方程，并深入分析它们的几何性质，如焦点、长短轴、渐近线、离心率等。同时，本书还将介绍这些二次曲线的切线方程，为进一步的数学分析和应用（如光学、天文学等领域）提供基础。 《技术微积分与解析几何》力求语言清晰、例题丰富、习题典型，既强调理论的严谨性，又注重实际应用的导向性。本书的结构严谨，内容循序渐进，旨在帮助读者建立起对微积分和解析几何的深刻理解，并能灵活地将这些数学工具应用于解决各种技术挑战。无论是初次接触微积分和解析几何的学生，还是希望巩固和深化相关知识的工程师、研究人员，本书都将是他们宝贵的参考资料。
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