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出版者:

作者:Nuruzzaman, Mohammad

出品人:

页数:508

译者:

出版时间:2003-4

价格:$ 32.71

装帧:

isbn号码:9781403396174

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• MATLAB
• 教程
• 数值计算
• 算法
• 工程数学
• 科学计算
• 编程
• 高等数学
• 应用数学

深入探索数值计算与工程应用的基石：高级数学方法与现代编程实践 本书旨在为读者提供一套全面而深入的数学原理与现代计算工具相结合的教程，重点关注那些在科学研究、工程设计以及数据分析等领域具有核心地位的高级数学方法。我们期望通过严谨的理论阐述与直观的实例演示，帮助读者构建坚实的数学基础，并掌握将这些理论转化为高效计算解决方案的能力。本书内容涵盖了从经典分析到现代数值方法的广泛领域，力求实现理论深度与实用性的完美平衡。 第一部分：复变函数与积分变换的理论深度 本部分将带领读者进入复变函数论的迷人世界。我们将首先系统回顾柯西-黎曼方程、全纯函数以及共形映射的深刻几何意义。重点讨论柯西积分定理和积分公式，这些是构建复变函数分析框架的基石。通过对泰勒级数和洛朗级数的深入剖析，读者将能熟练处理函数在奇点附近的局部行为。 随后，我们将详细探讨留数定理及其在计算实定积分、无穷级数求和以及处理涉及分支点的积分时的强大应用。本章的难点在于培养读者对复平面上路径选择的直觉，以及如何利用留数理论将看似复杂的积分问题转化为有限个点的函数值计算。 紧接着，本书将引入傅里叶分析的广阔领域，奠定信号处理和偏微分方程求解的基础。傅里叶级数和傅里叶变换不仅是周期信号分析的利器，更是连接连续域和频率域的桥梁。我们将细致讲解狄拉克$delta$函数和单位阶跃函数在傅里叶变换中的角色，以及卷积定理在简化复杂运算中的核心价值。 最后，我们将深入探讨拉普拉斯变换。拉氏变换作为一种强大的单边积分变换，在解决线性常系数微分方程和初始值问题方面展现出无与伦比的效率。本书将详细阐述如何利用拉普拉斯逆变换和微分方程的拉氏变换求解技巧，处理复杂的系统响应问题，特别是那些涉及不连续输入函数或脉冲激励的工程场景。 第二部分：高级线性代数与矩阵分析的计算视角 线性代数是现代科学计算的语言。本部分不再停留在基础概念的复习，而是着眼于矩阵的结构、性质及其在计算科学中的应用。我们将着重讨论矩阵分解的强大技术。 首先是特征值问题的深入探讨。我们不仅要理解特征值和特征向量的几何意义，更要关注如何稳定、高效地计算它们，包括幂法、反幂法以及QR算法的原理。理解这些算法的收敛性和数值稳定性至关重要。 矩阵分解技术是本部分的核心。我们将详细分析LU分解（用于线性方程组求解的效率优化）、Cholesky分解（针对对称正定矩阵的快速方法）以及奇异值分解 (SVD)。SVD的重要性不言而喻，它不仅在矩阵秩的确定、伪逆的计算中扮演关键角色，更是图像压缩、主成分分析（PCA）等数据科学核心技术的理论支柱。我们将通过大量的矩阵运算实例，展示如何利用这些分解来解决大规模系统的稳定性和可解性问题。 此外，本书还将探讨矩阵范数在衡量误差和评估算法稳定性中的作用，以及如何利用这些工具来分析迭代求解方法的收敛速度和精度界限。 第三部分：数值方法与误差分析的严谨性 理论数学往往需要精确解，但实际问题几乎总是要求数值逼近解。本部分专注于数值分析的基石，强调理解误差的来源、传播机制以及选择适当算法的必要性。 非线性方程求解是起点。我们将比较和对比诸如二分法、割线法和牛顿法等方法的收敛速度和鲁棒性。对于牛顿法，我们将探讨其局限性，并引入欠驱动系统中的多维根的求解策略。 插值与近似是数据拟合的核心。本书将区分插值（如拉格朗日插值和牛顿前向差分）与最佳逼近（如最小二乘法）。我们将特别关注样条插值，特别是三次样条，阐述其在保证局部光滑性方面的优越性，这在工程曲线拟合中至关重要。 数值微分与积分是衔接连续与离散的桥梁。对于微分，我们将分析有限差分法（前向、后向和中心差分）的精度阶数，并讨论如何通过更高阶的差分公式来提升局部截断误差的控制。对于积分，本书将系统介绍牛顿-柯特斯公式（如梯形法则和辛普森法则），并引入高斯求积，强调其在保证低阶节点数下获得高精度结果的优势。 最后，我们将引入常微分方程 (ODE) 的数值解法。从最基础的欧拉法开始，循序渐进地探讨龙格-库塔（Runge-Kutta）系列方法，特别是RK4的结构与应用。对于刚性 ODE 系统，我们将简要介绍隐式方法（如后向欧拉法）及其在处理快慢时间尺度问题时的必要性。误差分析将贯穿始终，帮助读者理解步长选择对全局误差的影响。 第四部分：优化理论与约束条件下的决策制定 优化是数学应用于资源分配和系统性能提升的集中体现。本部分将聚焦于最优化问题的理论框架和实用算法。 我们将从无约束优化入手，深入探讨梯度下降法的原理，并引入更高效的一阶和二阶方法，如牛顿法和拟牛顿法（BFGS、DFP）。理解Hessian矩阵的性质和对优化路径的影响是本节的关键。 核心内容将转向约束优化。我们将详细阐述拉格朗日乘子法及其在等式约束问题中的应用。更进一步，本书将全面介绍KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是处理不等式约束优化问题的核心判据。我们将解释互补松弛性、对偶可行性和影子价格的概念，这些是理解经济模型和工程设计中约束敏感度的关键。 此外，本书还将介绍线性规划（Linear Programming）的基本思想，包括单纯形法（Simplex Method）的迭代步骤和对偶理论，展示如何将复杂的决策问题转化为标准的数学模型进行求解。 通过这四个核心部分的学习，读者将不仅掌握处理复杂数学问题的理论工具，更能理解这些工具背后的数值稳定性、计算效率和误差控制原则，从而为未来在专业领域中利用数学解决实际问题打下坚实的基础。本书强调的是“如何用数学思维去构建和验证计算模型”，而非仅仅是公式的堆砌。

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从资源整合和配套支持的角度来看，这本书的设计也相当人性化。它似乎预设了读者可能需要一个不断迭代的、活跃的学习环境。虽然我是在阅读纸质版，但书中对于代码库和数据文件的引用和说明，暗示了其配套资源的丰富性。更重要的是，全书贯穿始终的数学建模思想，是这本书最核心的竞争力之一。它教会的不是孤立的公式应用，而是一套完整的、从现实问题抽象到数学模型，再通过MATLAB求解验证，最后解释结果的过程。这种结构使得读者在学习完所有章节后，能够形成一套系统性的问题解决框架。例如，在处理时间序列预测的问题时，作者会引导读者思考，到底是应该选择ARIMA模型（更侧重统计学和时间序列分析）还是基于微分方程的动力学模型（更侧重物理/工程背景），并展示在MATLAB中实现这两种模型的不同路径和优劣对比。这种对方法论的重视，远超了一般技术手册的范畴，它赋予了读者将数学思维迁移到任何相关工程领域的通用能力。

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这本书在内容组织上的细致程度，令人印象深刻，特别是对于那些在学习过程中容易“卡壳”的关键节点，作者提供了非常详尽的“故障排除”指导。举个例子，在处理涉及复数运算或高维空间可视化时，MATLAB有时会出现一些容易被初学者忽略的维度不匹配或者函数调用顺序错误的问题。这本书在这些“陷阱”出现之前，就进行了预警，并且不仅仅是告诉你“这样做是错的”，更重要的是，它会用清晰的逻辑链条解释为什么会出错，以及正确的数学逻辑应该如何指导编程实现。这体现了作者对读者学习曲线的深刻洞察。再者，书中对一些常用数学函数的底层实现逻辑也做了适度的剖析，这对于希望未来进行算法优化的读者是极其宝贵的。比如，对于快速傅里叶变换（FFT），它没有止步于调用`fft()`函数，而是解释了这种算法相比直接离散傅里叶变换（DFT）的效率提升所在，并展示了相应的性能对比图。这种深度和广度兼顾的叙述，使得这本书不仅仅是一本“如何使用”的工具书，更像是一本“为何如此”的原理辅导书。

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与其他偏重于理论深度挖掘的专业书籍相比，这本书的叙述风格显得格外亲切和务实，少了些许学院派的严肃和高不可攀，多了几分资深导师循循善诱的耐心。作者在行文过程中，常常会穿插一些基于现实世界观察的例子，这些例子并非那种脱离实际的“教科书式”场景，而是与信号处理、图像识别乃至金融建模等前沿领域有着千丝万缕的联系。这种“贴地气”的讲解方式，极大地降低了读者对某些高深概念的畏惧感。比如，在讲解线性代数中特征值和特征向量的几何意义时，作者没有停留在矩阵对向量的线性变换这个抽象层面，而是巧妙地将其与主成分分析（PCA）的降维思想联系起来，让读者立刻明白了为什么要费力去求解这些看似玄奥的数值。阅读过程中，我感觉作者不是在“教”我知识，而是在“引导”我探索和发现。对于那些希望通过自学掌握这门技能的人来说，这种鼓励探索而非被动接受的语调，是维持长期学习兴趣的关键因素。

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这本书的封面设计相当吸引眼球，色彩搭配和字体选择都透露着一种既专业又不失活泼的气息。初次翻阅时，我就被其中清晰的逻辑结构和循序渐进的讲解方式所折服。作者似乎深谙初学者在面对复杂数学概念时的困惑，因此在讲解每一个知识点时，都力求用最直观、最贴近实际应用的方式来阐述。比如，在介绍矩阵运算的那一章，书中不仅详细解释了理论基础，还紧密结合了MATLAB的实际编程环境，通过大量的代码示例和运行结果对比，让抽象的数学概念立刻变得“可视化”和“可操作”。我尤其欣赏作者在处理复杂推导过程时所展现出的耐心，他们没有简单地跳过中间步骤，而是将每一步的数学逻辑都交代得一清二楚，这对于那些希望深入理解原理而非仅仅会调包的读者来说，无疑是一笔宝贵的财富。整本书的排版布局也十分考究，关键公式和重要结论都用醒目的方式标注出来，使得在复习和查找资料时能够高效定位。总而言之，这本书的装帧和内部设计都达到了很高水准，极大地提升了阅读体验，让人在学习枯燥的数学知识时也能保持愉快的心情。

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这本书的真正价值，我认为在于它搭建起了一座坚实的桥梁，将纯粹的数学理论与工程实践中的数据处理工具——MATLAB——完美地连接了起来。市面上很多数学教材，往往止步于理论的推导和公式的展示，读完后依然会感到“学而不精，用而不畅”，但这本书显然避免了这种窠臼。它似乎是为那些肩负实际项目压力的工程师和研究生量身定制的。我发现，每当书中引入一个新的数学工具，比如傅里叶变换或者微分方程求解时，作者总能立即展示出MATLAB中对应的函数库是如何高效地完成这些任务的。这种即时反馈的学习机制极大地增强了我的学习动力。它不是让你先啃完厚厚的数学书，再去找工具书学习编程，而是将两者融为一体，在解决问题的过程中自然而然地掌握了两者。特别是关于数值分析的部分，书中对误差分析和收敛性的讨论非常深入，这在实际的模拟和仿真工作中至关重要，能够帮助我们判断计算结果的可靠性，避免因盲目信任计算机输出而导致的严重错误。这种强调实用性的教学方法，使得书中的内容具有极高的即战力。

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