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出版者:

作者:Smith, Karl J.

出品人:

页数:512

译者:

出版时间:2005-10

价格:$ 221.42

装帧:

isbn号码:9780534494230

丛书系列:

图书标签:

• Trigonometry
• Mathematics
• Precalculus
• High School
• College
• STEM
• Education
• Textbook
• Functions
• Angles

精选数学经典：探索代数与几何的奥秘 (A Selection of Mathematical Classics: Exploring the Mysteries of Algebra and Geometry) 本书旨在为广大学生、教师以及对数学有浓厚兴趣的读者提供一套系统、深入且富有启发性的数学读物，内容涵盖了自初级代数向高等数学迈进的关键桥梁知识，重点聚焦于线性代数的基础、微积分的直觉构建，以及离散数学的入门概念。我们精选了那些在数学发展史上具有里程碑意义的理论体系，并以一种注重理解而非纯粹计算的方式进行阐述。 --- 第一部分：线性代数的基石——向量空间与矩阵运算 (Foundations of Linear Algebra: Vector Spaces and Matrix Operations) 本部分旨在为读者构建关于高维空间和变换的直观理解，这是现代科学和工程学不可或缺的工具。 第一章：从向量到空间：维度的几何意义 (Vectors to Spaces: The Geometric Meaning of Dimension) 本章从欧几里得空间中的基本向量操作（加法、标量乘法）出发，逐步引入线性组合、跨越（Span）的概念。我们深入探讨了线性无关性的判断标准，并明确了基（Basis）和维数（Dimension）在定义向量空间结构中的核心作用。 核心主题： 几何直觉在二维和三维空间中的体现，如何将这种直觉推广到 $n$ 维空间。线性方程组的几何解释——解集的空间结构。 重点关注： 理解为什么某些向量集可以“生成”整个空间，而另一些则不能。探讨子空间（Subspaces）的类型，特别是列空间（Column Space）、零空间（Null Space）和行空间（Row Space）之间的内在联系。 第二章：矩阵：线性变换的代数表示 (Matrices: Algebraic Representations of Linear Transformations) 本章将矩阵视为一种函数或变换，而非仅仅是数字的排列。我们将探讨矩阵乘法如何对应于连续的线性变换。 核心主题： 矩阵的秩（Rank）与零度（Nullity）的几何意义，以及它们如何通过秩-零化定理（Rank-Nullity Theorem）联系起来。 深入探讨： 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的意义——它们代表了在线性变换下方向保持不变的特定向量。我们将使用迭代法来直观理解这些概念，而不是仅仅依赖于解特征方程。 第三章：正交性与投影 (Orthogonality and Projection) 本章是处理数据和优化问题的关键。我们将定义内积（Inner Product）和范数（Norm），并构建正交基的概念。 核心主题： 最小二乘法（Least Squares）的几何推导，理解它如何在过定系统中找到“最佳拟合”解。格拉姆-施密特过程（Gram-Schmidt Process）如何系统地从任意基构建出正交基。 --- 第二部分：微积分的先声——极限、连续性与变化率 (Prelude to Calculus: Limits, Continuity, and Rates of Change) 本部分旨在为读者建立起对变化率的精确数学描述，理解无穷小的概念，并培养对函数行为的深刻洞察力。 第四章：极限的严格定义与直觉 (The Rigorous Definition and Intuition of Limits) 本章从直觉化的“趋近”概念过渡到 $varepsilon-delta$ 语言的严格性。我们强调极限作为描述函数长期行为和局部行为的关键工具。 核心主题： 单侧极限、无穷大处的极限。连续性（Continuity）的 $varepsilon-delta$ 定义，以及它在保证函数“不跳跃”方面的作用。 应用示例： 分析分段函数的交汇点，以及为什么某些看似连续的函数在特定点上会失效。 第五章：瞬时变化率的构建 (Constructing the Instantaneous Rate of Change) 本章不直接引入导数公式，而是专注于导数（Derivative）作为极限的本质——割线斜率趋于切线斜率的过程。 核心主题： 平均变化率与瞬时变化率的对比。理解导数在物理学中的意义（速度、加速度）。 关键概念： 对导数几何意义的强调——曲线的局部线性化。我们将通过实际问题（如曲线上的某一点的瞬时膨胀率）来巩固这一概念。 第六章：不定积分与累积效应 (Indefinite Integrals and Cumulative Effects) 本章探讨积分的对偶性，即它作为导数的逆运算。我们将侧重于定积分（Definite Integral）作为“累加”过程的几何解释。 核心主题： 黎曼和（Riemann Sums）的构造，理解定积分是如何通过无限细分区间并求和来计算曲线下的面积。 衔接点： 微积分基本定理的初步介绍，揭示微分和积分之间的深刻、优雅的联系。 --- 第三部分：离散世界的基础——逻辑与计数 (Fundamentals of the Discrete World: Logic and Counting) 本部分将读者的注意力从连续变化转向离散结构和结构化推理，为算法分析和组合学打下基础。 第七章：命题逻辑与证明的艺术 (Propositional Logic and the Art of Proof) 本章是培养严谨数学思维的起点。我们引入命题、连接词（AND, OR, NOT, IMPLIES），并探讨如何构建有效的论证。 核心主题： 真值表、逻辑等价性。直接证明、反证法（Proof by Contradiction）和数学归纳法（Mathematical Induction）的基本框架。 侧重点： 强调理解“如果P则Q”的结构，以及如何系统地驳斥一个陈述（即寻找反例）。 第八章：组合数学的计数原理 (Counting Principles in Combinatorics) 本章专注于在不同约束条件下对事件进行系统计数的方法。 核心主题： 加法原理与乘法原理。排列（Permutations）和组合（Combinations）的精确界限和适用场景。 进阶概念： 介绍帕斯卡三角形（Pascal's Triangle）的结构及其与二项式定理（Binomial Theorem）的联系，展示这些离散工具在概率论中的基础作用。 --- 总结展望： 本套丛书的设计理念是，将数学视为一套相互关联的语言和解决问题的工具箱。通过本卷的学习，读者将获得超越单一技能（如三角函数计算）的宏观视野，掌握理解现代科学所需的核心代数结构、变化率的精确描述，以及结构化逻辑推理的能力。这不仅是为下一阶段的数学学习做准备，更是为了培养一种精确、有条理的思维习惯。

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读完这本书的某一章节后，我有一个强烈的感受，那就是作者仿佛是一个经验老道的建筑师，而不是一个纯粹的数学家。他深知学习者在面对新知识时的思维定势和潜在的认知障碍。比如在讲解三角函数的图象性质时，我注意到他并没有满足于仅仅画出正弦波和余弦波，而是反复通过平移、伸缩、翻转等几何变换来解释“相位差”和“振幅变化”是如何体现在函数表达式上的。这种“形变”的视角，比起单纯背诵公式 $Asin(Bx+C)+D$ 要深刻得多。更让我惊喜的是，书中穿插的那些小测验和“挑战思维”的习题，它们的难度梯度设计得堪称完美。它们并非那种为了刁难而设置的难题，而是恰到好处地将本章知识点进行组合和升华，迫使你去思考不同概念之间的内在联系。每一次成功解答这些习题，带来的成就感远超完成基础练习题。它成功地把三角学从一门孤立的计算科学，提升到了一个可以用来描述和建模自然现象的实用工具层面，这对于我这种渴望将所学知识应用于工程领域的学习者来说，价值非凡。

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这本《Essentials of Trigonometry》的标题着实吸引人，对于一个正处于高等数学入门阶段，对三角函数这块内容感到如履薄冰的学生来说，简直像是沙漠中的绿洲。我原本对这些周期性函数、单位圆的几何意义以及繁复的三角恒等式感到无从下手，感觉它们就像是空中楼阁，缺乏坚实的落地支撑。然而，这本书的编排思路却非常注重基础的构建。它没有一上来就堆砌复杂的公式和定理，而是巧妙地从最基本的直角三角形的边角关系入手，用清晰的图示逐步过渡到对任意角和弧度的理解。尤其是对射影几何中三角函数如何应用于实际问题的阐述，那部分讲解得极其细致，仿佛作者手把手地在教导读者如何用数学的语言去“测量”世界。我特别欣赏它在处理“反三角函数”时的态度，那部分常常是教材中的难点，但这里通过几何直观和函数图像的对比分析，让抽象的概念变得触手可及，极大地增强了我的学习信心。可以说，它在“Essentials”（精要）这个词上做得非常到位，没有被不必要的深奥理论所拖累，而是将最核心、最实用的知识点提炼出来，打磨得光彩照人。

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当我需要快速回顾某个知识点，比如特定角度的正切值或者如何应用和差化积公式时，这本书的检索效率极高。它并非厚重的砖头书，拿在手上感觉很舒适，并且其目录设计极其精良。每一节的标题都准确地概括了该部分的核心内容，没有使用晦涩难懂的专业术语来故弄玄虚。拿一个具体的例子来说，关于“正弦定理和余弦定理”的应用部分，作者给出了多个不同类型的三角形实例，有的已知两边夹角，有的已知三边，通过对比这些案例，读者能非常清晰地辨别出在不同情境下应该优先使用哪个定理，避免了盲目套用公式的低级错误。我发现自己不再需要一遍遍地翻阅厚厚的参考书，只需要在需要的时候，精确地定位到相关章节，就能迅速找到清晰的解释和恰当的范例。这种以用户体验为中心的排版和结构设计，对于时间宝贵的学习者来说，是衡量一本优秀参考书的重要标准。

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要评价一本数学书，不能不提它的“视觉语言”。在这方面，《Essentials of Trigonometry》的表现尤为出色，它成功地将抽象的数学概念与具象的几何图像紧密结合起来，极大地降低了理解门槛。书中所有插图和图表的质量都达到了极高的专业水准——线条清晰、色彩运用得当且富有逻辑性。特别是在讲解极坐标和直角坐标转换的部分，它利用三维视图和动态过程的暗示，让原本容易混淆的视角转换变得一目了然。更重要的是，那些复杂的计算步骤，无论是化简表达式还是求解三角方程，书中的每一步都留下了清晰的“脚印”，绝不含糊其辞。我特别喜欢它在最后给出的“三角学在现实世界中的角色”的总结性章节，它用简洁的语言描绘了傅里叶分析、信号处理等领域如何建立在三角函数基础之上，这种宏观视野的构建，让原本枯燥的代数运算获得了更深远的意义和驱动力，激发了我继续深究的兴趣。

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坦白说，我翻阅过好几本三角函数教材，它们大多要么过于偏重理论推导，让初学者望而却步；要么就是过于简略，像一本公式速查手册，缺乏深入的讲解和语境的铺垫。而这本《Essentials of Trigonometry》在平衡性上做得近乎教科书级别的典范。我尤其赞赏它对于三角恒等式的处理方式。许多书直接给出了一长串令人眼花缭乱的公式，然后要求你“证明之”。这本书则不然，它采用了“分组讲解”的策略，先从最基本的平方关系入手，然后过渡到和差角公式，最后才引入倍角和半角公式。每一步推导都配有清晰的逻辑链条，让你能顺着作者的思路自然而然地“发明”出这些恒等式，而不是被动地接受它们。此外，书中关于球面三角学的简要介绍，虽然篇幅不大，却像一道开胃菜，适当地拓宽了读者的视野，让人意识到三角学远不止于平面几何，它在天文学和导航学中的应用潜力。这种对知识的尊重和审慎的组织，使得学习过程变成了一种享受而非折磨。

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