Methods and Applications of Singular Perturbations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Verhulst, Ferdinand

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:2005-6

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9780387229669

丛书系列:

图书标签:

• 奇异摄动
• 渐近分析
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 边界层
• 数学建模
• 应用数学
• 数值分析
• 工程数学
• 扰动法

边界层理论与渐近分析在工程科学中的应用 本书深入探讨了边界层理论和渐近分析在处理涉及多尺度现象的工程与物理问题中的核心方法与实际应用。全书结构严谨，从理论基础的构建到复杂模型的求解，层层递进，旨在为科研人员和高级工程专业学生提供一个全面而深刻的视角。 第一部分：基础理论与数学工具 本部分奠定了理解奇异摄动问题的数学框架。我们首先回顾了常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的经典解法，随后引入了奇异摄动问题的本质特征——解的剧烈变化与尺度分离。 1.1 奇异性的本质与尺度分离 奇异摄动理论的核心在于识别和处理小参数 $epsilon$ 影响下的解的非光滑性。本章详细分析了当 $epsilon o 0$ 时，系统行为的突变点。我们通过分析特征根的分布，区分了代数奇点和几何奇点，并引入了“快尺度”和“慢尺度”的概念。对于线性问题，我们使用特征值分析来量化尺度分离的程度。 1.2 匹配的渐近展开法（Composite Asymptotic Expansions） 这是处理边界层问题的核心技术。我们系统地介绍了如何构造“外解”（Outer Solution）和“内解”（Inner Solution）。外解通常通过令 $epsilon = 0$ 获得，描述了系统的宏观行为。然而，外解在特定区域（边界层）失效。内解则通过对自变量进行适当的拉伸变换（Scaling Transformation）来捕捉局部的高梯度变化。 关键在于“匹配条件”（Matching Condition），即内解的渐近行为必须与外解在过渡区域的行为相吻合。本章详细阐述了定性和定量的匹配技术，包括： 重叠区域法（Method of Overlapping Regions）： 确定内域和外域的重叠区域，并利用匹配规则建立联系。 均匀化法（Uniformization Method）： 介绍了一种更强大的技术，通过引入一个“过渡变量”，使得解在整个域内具有一致的渐近表示，从而避免了显式的分区域处理。 1.3 奇异摄动ODE的系统化处理 我们专注于解决一阶和二阶常微分方程。对于二阶方程，例如经典的李昂纳-里奇（Liénard-Lippmann）方程或简化后的流体力学方程，我们讨论了如何确定边界层的存在性、唯一性和稳定性。特别关注了多重（或复数）边界层的出现，这通常要求对变量进行更精细的拉伸。 第二部分：偏微分方程中的奇异摄动 本部分将理论扩展到涉及空间导数的偏微分方程（PDE），这在流体力学、传热学和反应扩散系统中至关重要。 2.1 椭圆型PDE中的薄层问题 我们分析了泊松方程和拉普拉斯方程中，小参数出现在扩散项或对流项中的情况。这通常导致薄边界层或内部层。 对流占优问题（Convection-Dominated Problems）： 在高雷诺数或高佩克莱数下，扩散项（涉及 $epsilon abla^2 u$）变得次要。我们展示了如何通过正则摄动法在不包含边界层的情况下得到外解，并使用有限层（Interior Layer）理论来描述溶液在梯度突然变化的区域。 奇点扰动椭圆方程的数值处理： 由于传统有限差分法在解析边界层附近容易产生数值振荡，本章介绍了适合处理这类问题的数值技术，例如迎风格式（Upwind Schemes）和适应性网格加密（Adaptive Mesh Refinement, AMR）技术，确保在小尺度区域内保持精度。 2.2 抛物型PDE：过渡过程与层流 抛物型方程描述了随时间演化的过程，奇异摄动在此常用于分析快速瞬态过程（如启动、熄火）。 时间尺度分离： 我们研究了系统在快速弛豫（Fast Relaxation）到稳定状态之前，经历的初始过渡阶段。这需要对时间变量进行拉伸。 反应-扩散系统中的激活与抑制层： 借鉴了费希格-普雷斯曼（Fick-Prinsman）模型，我们分析了当反应速率常数与扩散系数存在巨大差异时，系统如何自发形成激发层（Excitation Layers）或熄灭层（Quenching Layers），这在化学反应工程和生物物理学中具有重要意义。 2.3 自由边界问题与挑战 本章探讨了摄动参数影响自由边界位置的问题，例如相变或材料烧蚀问题。在这些情况下，边界本身的位置依赖于小参数 $epsilon$。我们使用斯通斯顿（Stefan-Stowinson）型方法，将自由边界的移动规律通过渐近展开进行描述，并推导出边界移动速度的修正公式。 第三部分：工程应用案例分析 理论知识的有效性最终体现在其解决实际工程问题的能力上。本部分通过具体的物理模型展示了奇异摄动方法的威力。 3.1 边界层流体力学 我们聚焦于普兰特（Prandtl）边界层理论的严格推导。在描述物体表面附近流体运动时，粘性项的系数 $epsilon$（通常与逆雷诺数的倒数相关）非常小。 平板上的粘性流： 详细推导了平板上粘性流动的速度剖面，严格证明了普兰特假设的渐近有效性。我们展示了如何通过匹配外流场的欧拉方程解和内层的黏性流解，得到著名的普兰特方程解。 分离现象（Separation）： 分析了流体从曲面分离的条件。当压力梯度从外流场向边界层传递，导致壁面切应力趋于零时，边界层会发生分离。我们利用奇异摄动方法，精确预测了分离点的位置，这对于空气动力学设计至关重要。 3.2 传热与复合材料 在处理具有显著不同热扩散率的复合结构时，奇异摄动是不可或缺的工具。 薄层中的热传导： 分析了包含极薄绝缘层或高导热层结构的温度场。小参数 $epsilon$ 体现了该层相对于整个结构的厚度比例。我们展示了如何利用内层解来计算该薄层上的显著温降，这对于电子设备散热设计至关重要。 多孔介质中的对流与扩散： 考虑了在毛细管或多孔介质中，渗透率（渗透性）与流体粘度比值很小的情况。这导致了所谓的“毛细边界层”效应，其分析需要用到高度非线性的奇异摄动技术。 3.3 燃烧理论中的火焰传播 在描述火焰传播速度和结构时，涉及化学反应的活化能与热扩散速度存在巨大差异。 泽尔多维奇-诺伊曼（Zeldovich-von Neumann, ZVNM）模型： 我们应用奇异摄动处理高活化能假设下的火焰传播问题。通过将反应项视为高度非线性的源项，我们利用渐近分析确定了火焰的厚度和传播速度的准确表达式，验证了火焰面理论的基础。 本书旨在提供一个工具箱，使读者能够系统地识别工程系统中的多尺度效应，并应用匹配的渐近方法，获得比传统简化模型更为精确和普适的解析或半解析解。内容聚焦于方法的严格性与应用的实用性之间的平衡。

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在内容详实程度上，这本书的表现堪称教科书级别的典范。每一章节的知识点覆盖面都极其广博，但令人称奇的是，其深度也丝毫没有被稀释。作者似乎穷尽了所有相关的历史背景、主流观点和最新的研究进展，并将其有机地融合在论述之中。特别是在对一些经典方法的解析部分，作者不仅给出了标准的解法，还常常会探讨一些“灰色地带”或“潜在陷阱”，这种对细节的极致追求，让这本书的参考价值大大提升。对于那些希望通过一本书就能建立起完整知识体系的读者来说，这本书无疑是一个宝库，它提供了足够的广度以建立全局观，又具备足够的深度来支撑高阶的学习和研究，几乎可以作为多年案头的常备工具书。

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我特别关注书中引用的案例和参考文献的质量。在我翻阅的几个关键章节中，作者所引用的文献来源无一不指向该领域的顶级期刊和权威著作，这为书中论述的可靠性和前沿性提供了强有力的背书。更令人欣赏的是，作者在引用时并非简单地堆砌文献列表，而是将这些前人成果巧妙地融入到自己的论证逻辑中，清晰地标示出哪些是经典范式，哪些是近年来出现的修正或突破。这种对学术谱系的清晰梳理，对于希望追溯理论源头和理解学术争鸣的读者来说，是极其宝贵的导航。它不仅教会了我们“如何解决问题”，更重要的是教会了我们“如何思考问题”，如何站在巨人的肩膀上，以批判性的眼光看待既有知识体系。

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初次翻阅这本书的目录时，我立刻被其严谨的逻辑结构所吸引。它似乎并非简单地罗列知识点，而更像是一张精心绘制的知识地图，将各个分支领域的概念以一种层层递进的方式串联起来。从基础理论的构建，到核心方法的深入探讨，再到实际应用的拓展，每一步都衔接得自然流畅，几乎不需要读者进行大量的自我组织和梳理。这种结构化的编排方式，极大地降低了初学者的入门难度，同时也为资深研究者提供了一个系统回顾和深入钻研的框架。我尤其欣赏作者在介绍每一个新概念时所采取的循序渐进的论证过程，总能先从一个易于理解的直观情境入手，再逐步过渡到严密的数学推导，这种“先知其然，后知其所以然”的教学路径，体现了作者深厚的教学功底和对读者学习心理的深刻洞察。

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这本书的装帧设计着实让我眼前一亮，封面采用了沉稳的深蓝色调，辅以烫金的标题字体，散发着一种专业而又不失典雅的气息。纸张的质感也十分考究，触感细腻，厚度适中，即便是长时间翻阅也不会感到疲惫。内页的排版布局清晰明了，行距和字间距都拿捏得恰到好处，阅读起来非常舒适。作者在章节标题的设计上也颇具匠心，不仅概括了该部分的核心内容，而且用词精准，让人能迅速把握阅读重点。尤其值得称赞的是，书中穿插的一些示意图和流程图，线条流畅，色彩搭配协调，极大地辅助了抽象概念的理解。整体而言，这本书在物理层面的制作工艺上，无疑达到了教科书或专业著作的顶尖水准，这对于任何一位希望沉浸在学术阅读体验中的读者来说，都是一种视觉和触觉上的享受，也体现了出版方对知识传播的尊重。

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这本书的叙述风格非常具有个人特色，它不像某些技术手册那样冷硬刻板，反而带着一种温和而坚定的引导力。作者似乎坐在我的对面，用一种耐心的口吻，将复杂的数学原理娓娓道来，不急不躁，处处体现出对读者困惑的预判和解答。语言选择上，作者巧妙地平衡了学术的精确性与表达的流畅性，避免了过度使用晦涩难懂的行话，即便是在处理高度抽象的数学概念时，也总能找到一个恰当的比喻或类比来支撑，使得阅读过程充满了发现的乐趣而非挫败感。这种富有温度的写作方式，让冰冷的公式和定理仿佛拥有了生命力，极大地提升了阅读的持久性和代入感，让人感觉这不是在啃一本教材，而是在聆听一位智者的教诲。

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