具体描述
Advanced Real Analysis systematically develops those concepts and tools in real analysis that are vital to every mathematician, whether pure or applied, aspiring or established. Along with a companion volume Basic Real Analysis (available separately or together as a Set via the Related Links nearby), these works present a comprehensive treatment with a global view of the subject, emphasizing the connections between real analysis and other branches of mathematics.
Key topics and features of Advanced Real Analysis:
* Develops Fourier analysis and functional analysis with an eye toward partial differential equations
* Includes chapters on Sturm–Liouville theory, compact self-adjoint operators, Euclidean Fourier analysis, topological vector spaces and distributions, compact and locally compact groups, and aspects of partial differential equations
* Contains chapters about analysis on manifolds and foundations of probability
* Proceeds from the particular to the general, often introducing examples well before a theory that incorporates them
* Includes many examples and nearly two hundred problems, and a separate 45-page section gives hints or complete solutions for most of the problems
* Incorporates, in the text and especially in the problems, material in which real analysis is used in algebra, in topology, in complex analysis, in probability, in differential geometry, and in applied mathematics of various kinds
Advanced Real Analysis requires of the reader a first course in measure theory, including an introduction to the Fourier transform and to Hilbert and Banach spaces. Some familiarity with complex analysis is helpful for certain chapters. The book is suitable as a text in graduate courses such as Fourier and functional analysis, modern analysis, and partial differential equations. Because it focuses on what every young mathematician needs to know about real analysis, the book is ideal both as a course text and for self-study, especially for graduate students preparing for qualifying examinations. Its scope and approach will appeal to instructors and professors in nearly all areas of pure mathematics, as well as applied mathematicians working in analytic areas such as statistics, mathematical physics, and differential equations. Indeed, the clarity and breadth of Advanced Real Analysis make it a welcome addition to the personal library of every mathematician.
作者简介
目录信息
读后感
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用户评价
我购买《Advanced Real Analysis》这本书，是出于对数学严谨性以及从基础到高深知识体系构建的追求。我希望这本书能够帮助我建立起一套扎实的实数分析理论框架，并且能够掌握处理复杂数学问题的分析方法。我特别关注书中关于序列、级数以及函数的收敛性问题。例如，我希望它能详细阐述各种收敛判别法，比如比值判别法、根值判别法，以及阿贝尔判别法等，并且解释它们各自的适用范围和局限性。对于函数序列和函数级数的逐点收敛、一致收敛等概念，我希望书中能提供清晰的定义和区分，并且通过实例来展示它们之间的差异和联系。我非常期待书中关于幂级数和泰勒级数的性质及其应用，比如如何利用泰勒级数来逼近函数以及解决微分方程。如果书中能提供一些关于傅里叶级数的初步介绍，那就更完美了。
评分作为一个对数学的抽象性和普遍性深感兴趣的读者，《Advanced Real Analysis》这个书名立刻吸引了我。我希望这本书能够不仅仅是罗列定理和证明，而是能够展现出实数分析背后深刻的数学思想和逻辑结构。我非常期待书中关于实数系的完备性以及由此衍生出的各种性质的详细讨论。例如，我希望它能深入解释完备性是如何保证了数列收敛、函数连续性等重要概念的。对于度量空间和拓扑空间的引入，我希望书中能提供清晰的定义和直观的例子，并且展示它们在实数分析中的重要性，比如收敛性的概念在度量空间中的推广。我尤其对书中关于紧致性、完备性和连通性的讨论感兴趣，希望它能阐释这些拓扑性质如何深刻地影响着函数的行为和分析结果。如果书中还能涉及一些非欧几何或者分形几何与实数分析的联系，那将是一次令人兴奋的探索。
评分我选择《Advanced Real Analysis》这本书，是希望能够提升我对数学证明的理解和构建能力。我知道实数分析的核心在于严谨的证明，而这本书的名字暗示了它将提供高质量的数学论证。我希望书中能够清晰地阐述各种证明技巧，比如反证法、数学归纳法、构造性证明等，并且在定理证明中得到充分的体现。我非常期待书中关于上确界和下确界原理的讨论，以及如何利用它们来证明重要的收敛性定理。对于序列的收敛性，我希望它能详细介绍柯西序列的概念，以及柯西序列与收敛序列的等价性。我同样关注书中关于函数的一致收敛性，以及它与逐点收敛的区别和联系，比如一致收敛如何保证了极限函数的可微性或可积性。
评分我选择阅读《Advanced Real Analysis》这本书，很大程度上是因为我对集合论在实数分析中的基础作用感到好奇。这本书的书名暗示了它将深入探讨超越基础分析的内容，而我一直对那些能够将看似孤立的概念联系起来的深刻洞见非常着迷。例如，我非常期待书中关于测度空间、可测函数以及勒贝格积分的阐述。我希望它能从测度的定义出发，逐步构建起完整的积分理论，并且能够清晰地解释为何勒贝格积分相比黎曼积分在理论和应用上都更具优势。对于像单调收敛定理、控制收敛定理等核心定理，我希望书中能够提供详细的证明，并且能够辅以一些具体的例子来帮助理解。我特别关注书中是否会涉及一些更高级的主题，比如巴拿赫空间、希尔伯特空间中的分析，以及泛函分析的一些基本概念。如果书中能够将实数分析与泛函分析中的工具和思想巧妙地结合起来，那将是我非常乐于看到的。
评分我选择《Advanced Real Analysis》这本书，是希望能深入理解数学分析中“连续性”和“可微性”的本质。我一直觉得，理解一个函数在一点的连续性，就是理解它在那个点附近的行为是多么“平滑”，而可微性更是对这种平滑性的进一步量化。我希望书中能够从ε-δ语言出发，清晰地阐释函数在一点的连续性定义，以及如何将这个概念推广到区间上的连续性。我特别期待书中关于初等函数的连续性和可微性的证明，比如多项式、指数函数、三角函数等。对于函数的导数，我希望它能提供多角度的解释，比如切线的斜率，瞬时变化率，以及作为函数的一种局部线性逼近。我同样关注书中关于微分中值定理及其各种形式的证明，比如罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，以及它们在不等式证明中的应用。
评分对于《Advanced Real Analysis》这本书，我最大的期待是它能够引领我进入一个更加抽象和普适的数学世界。我一直认为，真正的数学之美在于其高度的概括性和深刻的逻辑联系，而实数分析是通往这些境界的重要桥梁。我希望书中能深入探讨勒贝格测度理论，从基本概念到其在积分中的应用，能够给予我深刻的理解。我非常期待书中对可测集的定义和性质的详细阐述，以及可测函数集合的代数结构。对于勒贝格积分的定义和基本性质，我希望它能清晰地展示其如何克服黎曼积分的局限性，并且能够详细阐述单调收敛定理、 Fatou 引理、控制收敛定理等核心定理的证明。如果书中能涉及一些更高级的主题，比如Radon-Nikodym定理，那将是非常有价值的。
评分我选择《Advanced Real Analysis》这本书，是因为我一直对数学中的“极限”这个概念充满着浓厚的兴趣。我认为极限是理解所有连续性和收敛性的基础，而这本书的名字预示着它将深入挖掘这个概念的本质。我希望书中能够从不同的角度来阐释极限的定义，比如ε-δ定义，以及在序列和函数中的应用。我特别期待书中关于极限的性质，比如和、差、积、商的极限运算，以及夹逼定理等。对于单调有界定理在序列收敛性中的应用，我希望它能提供详细的证明。我同样关注书中关于函数极限和连续性的讨论，特别是对于不连续点的分类以及连续函数的性质，比如介值定理和最值定理。如果书中能涉及一些关于无穷小量和无穷大量的高级概念，那就更棒了。
评分《Advanced Real Analysis》这本书的名字让我对它在数学分析领域中的地位充满了期待。我希望它能够成为我通往更高级数学分支的坚实基础，并且能够教会我如何用分析的语言来描述和理解数学对象。我特别关注书中关于测度论的内容，希望它能从一个全新的角度来理解“长度”、“面积”和“体积”，并且理解勒贝格测度和勒贝格积分的普适性。我期待书中能够详细阐述测度的性质，比如可列可加性，以及可测集和非可测集的存在性。对于勒贝格积分的定义，我希望它能清晰地解释如何从有限可加测度推广到σ-可加测度，以及它在处理“病态”函数时的优势。如果书中能涉及一些关于不同测度理论之间的关系，比如概率测度、哈尔测度等，那将极大地拓宽我的数学视野。
评分《Advanced Real Analysis》这个书名传递出的信息是其内容将具有相当的深度和广度，这正是我所追求的。我希望这本书能够帮助我系统地理解实数分析的整个体系，并且能够培养我独立解决复杂数学问题的能力。我特别期待书中关于实数系的公理化结构，以及这些公理如何支撑起整个分析理论。我希望书中能够详细解释戴德金分割和柯西序列如何构造实数，以及完备性公理的重要性。对于集合论的基本概念，比如可数集和不可数集，我希望它能提供清晰的定义和有趣的例子。我同样关注书中关于实数域上的各种基本运算的性质，以及它们如何与拓扑结构相结合。如果书中能渗透一些数学史的视角，介绍某些重要概念的发现过程，那将使阅读过程更加生动有趣。
评分这本书的名字是《Advanced Real Analysis》，听起来就充满了挑战与吸引力，作为一个对数学充满好奇心的读者，我一直渴望能深入理解实数分析的精髓，而这本书的名字无疑点燃了我探索的欲望。拿到这本书的时候，首先映入眼帘的是它严谨而又不失美感的排版，纸张的质感也相当不错，让人有种想要立刻翻开的冲动。我尤其期待它在一些经典难题上的处理方式，比如勒贝格积分的理论基础，以及在那之上的各种深刻结果。我希望作者能够用一种既严密又不失清晰的语言来阐述这些内容，能够引导读者一步步理解那些看似高深的证明。例如，关于可测函数和可测集的定义，我希望它能提供一些直观的解释，而不仅仅是形式化的定义。另外，对于像法诺莱姆不等式这样的重要结果，我希望能看到其证明的详细过程，并且最好能有一些关于它在其他数学分支中的应用的介绍，这会极大地拓展我的视野。我一直对数学的内在逻辑和优雅的结构着迷，希望这本书能够满足我这份对知识的渴求。
评分任意常偏微分方程可以等价于作用在初始条件的算子。关于解微分方程三个基本问题：特解，所有解，符合边界值和初值的解，常微分方程三个问题紧密关联而偏微分方程没有关系。常微分方程的存在和唯一性问题的解法给偏微分方程作为铺垫。测度-泛函-积分
评分任意常偏微分方程可以等价于作用在初始条件的算子。关于解微分方程三个基本问题：特解，所有解，符合边界值和初值的解，常微分方程三个问题紧密关联而偏微分方程没有关系。常微分方程的存在和唯一性问题的解法给偏微分方程作为铺垫。测度-泛函-积分
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