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出版者:Chapman and Hall/CRC

作者:Andrei D. Polyanin

出品人:

页数:1144

译者:

出版时间:2008-2-12

价格:GBP 122.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781584885078

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 积分方程
• 积分算子
• 泛函分析
• 数值分析
• 数学物理
• 偏微分方程
• 边界元法
• 近似解
• 特殊函数
• 应用数学

泛函分析与应用：从经典理论到现代前沿 本书旨在为读者提供一个全面而深入的泛函分析基础及其在数学、物理和工程学中广泛应用的概览。 本书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的度量空间和拓扑结构出发，逐步构建起希尔伯特空间、巴拿赫空间等核心概念，并深入探讨了线性算子、谱理论以及变分原理等关键理论。本书的目标读者是数学、理论物理、应用数学、计算科学以及相关工程领域的高年级本科生、研究生以及希望系统梳理和拓展知识的研究人员。 第一部分：度量空间与拓扑基础 本书的开篇部分致力于奠定坚实的分析基础。我们首先回顾了实分析中的收敛性、完备性等概念，随后引入拓扑空间的严格定义，包括开集、闭集、邻域、连续性等基本拓扑概念。重点分析了各种常用拓扑结构，如离散拓扑、有限补拓扑等。 紧接着，我们详细阐述了度量空间。这不仅包括经典的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，更扩展到抽象的度量空间，如函数空间上的各种范数（如 $L^p$ 范数、最大范数）。我们详细讨论了度量空间中的拓扑性质，特别是完备性——巴拿赫空间的基石。柯西序列、压缩映射原理（巴拿赫不动点定理）在这一部分得到了详尽的阐述，并给出了其在微分方程迭代求解中的经典应用。 第二部分：赋范空间与巴拿赫代数 在奠定了度量和拓扑基础后，本书将焦点转向赋范线性空间，即范数完备时的巴拿赫空间。我们深入分析了有限维空间与无限维空间在拓扑结构上的本质区别，如“开映射定理”、“闭图像定理”和“均匀有界原理”（Banach-Steinhaus 定理）。这些定理是理解线性算子有界性和连续性的核心工具。 本章的另一重要分支是强对偶空间和Hahn-Banach 分离定理。Hahn-Banach 定理，尤其是其几何形式，是泛函分析中构造线性泛函和证明存在性的强大武器。我们通过大量例子说明了如何利用对偶空间来分析约束优化问题以及建立弱收敛的概念。 随后，我们引入了算子代数的概念，特别是巴拿赫代数。这为后续讨论量子力学中的可观测量和微分算子的谱理论做了铺垫。我们讨论了代数中的乘法结构、单位元、拓扑的兼容性，以及连续求逆元的存在性条件。 第三部分：希尔伯特空间与内积结构 希尔伯特空间作为内积完备的巴拿赫空间，因其丰富的几何结构而占据核心地位。本书专门辟出一章来深入研究希尔伯特空间。我们定义了内积、范数诱导的内积，并证明了帕塞瓦尔恒等式。 核心内容包括： 1. 正交性与投影定理： 利用投影定理解决了在闭凸子空间上寻找最近点的问题，这是变分法和最小二乘法的理论基础。 2. Riesz 表示定理： 阐明了希尔伯特空间与其对偶空间的同构性，极大地简化了对偶空间的分析。 3. 正交分解： 深入探讨了子空间的正交分解理论，特别是对于闭子空间。 本部分内容随后扩展到有界线性算子在希尔伯特空间上的性质，重点讨论了算子的范数、自伴算子（Self-Adjoint Operators）的定义及其在物理学中的重要意义。 第四部分：紧算子与谱理论基础 谱理论是泛函分析中最精妙和应用最广泛的部分之一。本书首先引入紧算子（Compact Operators）的概念，它们可以看作是无限维空间到有限维空间的“近似”。我们探讨了 Riesz-Schauder 定理及其对紧算子的意义，特别是在紧算子的特征值问题中的应用。 随后，我们转向一般有界线性算子的谱理论。这部分将严格定义谱（Spectrum） $sigma(T)$，并分析了谱集的拓扑性质和代数性质。 1. 谱半径公式： 明确给出谱半径与迭代幂次范数之间的关系。 2. 解析函数演算（Functional Calculus）： 这是理论的高峰之一。我们首先构建了有理函数演算，随后通过 Cauchy 积分公式和谱映射定理，推广到解析函数演算，即 $f(T)$ 的定义，其中 $f$ 是在 $sigma(T)$ 上全纯的函数。这为量子力学的可观测量运算提供了严谨的数学框架。 3. 谱定理（Spectral Theorem）： 本书详述了自伴算子谱定理的完整形式，这不仅包括离散谱情况，还涵盖了连续谱情况下的积分形式的谱测度表示，强调了其在半群理论和微分方程解的长期行为分析中的作用。 第五部分：无界算子与微分方程的背景 许多重要的算子，尤其是在偏微分方程（PDEs）中出现的微分算子，通常是无界的。本章将泛函分析的工具扩展到这一更一般的、更具挑战性的领域。 我们详细讨论了闭算子（Closed Operators）的概念及其完备性条件（闭图像定理的推广）。对于无界线性算子 $A$，其定义域 $D(A)$ 不再是整个空间，这要求我们使用闭包和稠密性的概念。 重点分析了稠密定义域的自伴算子的谱理论。我们阐述了如何通过生成半群理论（Semigroup Theory）来研究常微分方程的解，例如利用 Hille-Yosida 定理来构造一类无穷小生成元，这直接连接到热传导方程和波动方程的解的演化分析。 第六部分：变分方法与应用基础 最后，本书将理论应用于实际问题，特别关注变分原理。我们复习了变分法中的基本概念，如泛函的微分（Fréchet 导数和 Gâteaux 导数）。 本书展示了如何利用泛函分析工具解决定性问题： 变分法与能量最小化： 利用极小化原理将椭圆型 PDE 的弱解形式转化为寻找函数空间中的最小范数解，并利用 Lax-Milgram 定理证明弱解的存在性和唯一性。 拓扑度理论的初步介绍： 简要介绍了度理论在证明非线性算子方程解的存在性中的作用，特别是对于某些强制性（coercive）的非线性问题。 本书通过贯穿始终的严格证明、丰富的例题和恰当的习题，力求使读者不仅掌握泛函分析的抽象概念，更能熟练运用这些工具解决真实的数学物理问题。全书的叙述风格旨在保持学术的严谨性，同时兼顾清晰度和可读性。

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从一位偏向应用数学和物理建模的读者的角度看，这本书的实用价值毋庸置疑，但它的叙述风格略显“古典”。书中对许多经典问题的处理，比如电磁散射或势能理论中的积分方程形式，描述得非常透彻。我特别喜欢它将物理背景与数学形式紧密结合的处理方式。然而，对于近年来在机器学习和深度学习领域新兴的一些积分方程应用（比如基于核函数的方法或图积分方程），这本书的覆盖相对较少，这或许是其“手册”定位决定了它更侧重于基础和经典理论的体系构建。尽管如此，书中对特征值问题的处理，尤其是讨论了如何利用谱方法来求解，为我后续探索非经典应用提供了坚实的理论基石。它教会了我如何“识别”一个问题本质上是一个积分方程，并指导我应该运用哪一类工具去处理它，而不是被问题的物理表象所迷惑。

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我最初购买这本书是希望能够快速掌握解二维拉普拉斯方程的边界积分方程法（BEM）的理论基础。这本书在BEM相关的章节处理得非常细致，从格林函数的使用到奇异积分的数值处理都有详尽的论述。然而，令我惊喜的是，它在更基础的傅里叶变换和拉普拉斯变换在积分方程求解中的应用部分，提供了远超预期的深度。它不仅仅是展示了如何应用变换，而是深入探讨了在何种条件下这些变换能保证解的唯一性和稳定性。这本书的视角是宏大的，它将积分方程置于整个数学物理方程的体系中进行考察，而不是孤立地看待某一个方程类型。这种全景式的视野，使得即便是那些看似简单的Volterra方程，也能被赋予更深层次的数学意义。它是一本需要耐心去“品读”的书，而不是一本可以快速浏览的书。

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这本书的装帧和排版是另一个让我印象深刻的地方。作为一本参考书，它的索引做得极为出色，几乎可以让你快速定位到某个特定定理或某个特定类型的方程。字体清晰，公式的排布错落有致，尽管公式量巨大，但整体阅读下来并不觉得拥挤。这对于需要频繁查阅特定公式或证明的读者来说，极大地提高了工作效率。从编辑角度来看，它的专业性毋庸置疑，几乎没有看到任何印刷错误或符号不一致的情况，这在如此复杂的数学著作中是难能可贵的。它给我的感觉是，出版方和作者团队对这本书的期望不仅仅是作为一本教材，而是作为一套可以经受时间考验的、长久服务的学术工具。这种对细节的关注，间接提升了读者在阅读和使用过程中的体验。

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这本厚重的《积分方程手册》一拿到手里，首先给我的感觉就是专业、扎实。光是翻阅目录，就能感受到编纂者在内容广度与深度上的用心。它不像一些泛泛而谈的教材，更像是一个成熟研究人员的工具箱，里面详尽地罗列了从经典到现代的各种积分方程的求解技巧和理论框架。对于我们这些需要处理实际工程问题的研究者来说，书中对各种奇异积分方程、Fredholm方程和Volterra方程的系统分类与分析方法简直是救星。我尤其欣赏它在理论推导上的严谨性，每一个定理的证明都力求清晰无冗余，这对于理解积分方程背后的数学本质至关重要。书中对算子理论在积分方程中的应用也有相当深入的探讨，这使得读者可以从更抽象、更统一的视角去审视不同类型的方程。虽然部分涉及高维泛函分析的部分对我来说阅读起来需要花费更多精力去消化，但正是这种深度，保证了它作为“手册”的权威地位，绝非短期内可以被替代的。它不是那种读完就能立刻上手的速成读物，更像是一本需要经常翻阅、随时查阅的案头工具书，每次重温都能带来新的领悟。

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我以一个刚刚接触微分方程数值解的研究生的视角来审视这本书，坦率地说，初期我被它庞大的理论体系稍微震慑了一下。它似乎预设了读者已经对泛函分析和勒贝格积分有着相当的掌握。然而，当我尝试用它来指导我的数值模拟工作时，我开始体会到它的价值。它在处理边界条件复杂、解析解几乎不存在的实际问题时，提供了极其丰富的启发。例如，书中对于迭代法和近似解的收敛性分析部分，简直是教科书级别的详尽，远超我上过的大部分数值分析课程。我发现书中对特定核函数（如希尔伯特核或塞格尔核）的分析非常有针对性，这在一般的数值方法综述中是很少见的。尽管我个人更偏爱直接的算法步骤，但这本书强迫我去思考为什么某个数值方法有效，而不是简单地调用一个库函数，这种思维上的提升是无价的。它更像是一位严苛的导师，不断地挑战你对数学基础的理解深度。

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