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出版者:

作者:Larson, Ron

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页数:0

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价格:153.95

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isbn号码:9780618794416

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• College Algebra
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• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

好的，这是一本名为《进阶微积分与应用》的图书简介，其内容完全独立于《大学代数》（College Algebra）一书： --- 《进阶微积分与应用》：跨越界限的数学探索 作者： [虚构作者姓名，例如：亚历山大·科尔文] 出版社： [虚构出版社名称，例如：环球科学出版社] 导言：从离散到连续的飞跃 高等数学的学习，其核心任务之一便是理解“变化”的本质。如果说初级的代数工具为我们搭建了理解静态结构和离散过程的基石，那么《进阶微积分与应用》则将带领读者深入到连续世界的河流之中，探究事物如何随时间、空间而平滑地演变、积累和优化。 本书并非对基础代数概念的简单重复或拓展，而是一次面向未来的思维重塑。我们假设读者已经熟练掌握了函数的基本操作、多项式、指数和对数函数的性质，并对几何直觉有清晰的认知。在此坚实的基础上，《进阶微积分与应用》将聚焦于两大核心领域——微分学（Differential Calculus）与积分学（Integral Calculus），并辅以必要的极限理论作为严谨的逻辑支柱。 我们旨在培养读者在面对复杂系统、非线性现象以及优化问题时，能够运用微积分这一最强大的分析工具，构建精确的数学模型并得出可靠的结论。 --- 第一部分：极限与连续性——微积分的根基 微积分的严谨性来源于对“无限接近”的精确把握。在本书的开篇，我们将深入探讨极限的概念，这不仅是区分高中数学与大学数学的关键分水岭，也是理解导数和定积分本质的先决条件。 1.1 极限的正式定义与直观理解： 我们将从直观的图形和数列逼近出发，逐步过渡到 $epsilon-delta$ 语言的正式构建。这种严谨性确保了我们在后续所有推导中的逻辑无懈可击。 1.2 连续性与不连续点： 函数在何处表现平滑，何处发生“断裂”？我们将分类讨论可去间断点、跳跃间断点和渐近线，并探讨连续函数在闭区间上的重要性质（如介值定理和极值定理），这些性质是后续优化理论的基石。 1.3 无穷大与无穷小： 理解函数在趋近于无穷远或某个特定点附近的行为，这对分析物理系统的长期稳定性和瞬时响应至关重要。 --- 第二部分：微分学——瞬时变化的度量 微分学是关于“变化率”的科学。它使我们能够从宏观的平均变化趋势中剥离出最精微的、瞬间的运动状态。 2.1 导数的定义与几何意义： 导数被清晰地定义为割线极限的结果，即瞬时变化率。我们将通过切线斜率的视角，建立导数与速度、加速度、边际变化的深刻联系。 2.2 基本求导法则与链式法则的精妙： 本章详细梳理了多项式、三角函数、指数和对数函数的求导规则。重点讲解链式法则——一个处理复合函数变化率的强大工具。本书将结合实际工程案例，展示链式法则在多变量关系转换中的不可替代性。 2.3 隐函数求导与相关变化率： 当变量之间关系复杂、无法直接写成 $y=f(x)$ 的形式时，隐函数求导技术成为必需。我们将通过考察容器内液体体积变化或物体重心移动等实例，展示“相关变化率”问题的解题框架。 2.4 微分中值定理的深度剖析： 罗尔定理、均值定理和泰勒定理是微积分理论体系的支柱。我们将不仅仅停留在定理的陈述层面，而是深入探讨这些定理在误差分析和函数近似中的实际应用。特别是泰勒展开式，它将复杂的函数重构为易于处理的多项式形式，是数值分析和工程计算的基石。 2.5 微分学的应用：优化、曲线分析与相关应用： 最优化问题： 利用一阶和二阶导数确定函数的极大值、极小值，解决资源分配、成本最小化和利润最大化等实际问题。 图形描绘： 利用导数分析函数的单调区间、凹凸性以及拐点，实现对函数图像的精确“素描”。 物理与经济应用： 深入探讨洛必达法则在极限计算中的应用，以及导数在经济学中边际成本、边际收益概念的数学本质。 --- 第三部分：积分学——积累与总量的计算 如果微分学关注“局部”，那么积分学则关注“整体”。它是对微小变化量的无限求和，用以计算面积、体积、功、流量乃至总变化量。 3.1 定积分的黎曼和构建： 我们将从直观的矩形累加开始，严格定义定积分的黎曼和。这帮助读者理解积分操作并非凭空出现的公式，而是对“无限细分后求和”过程的精确表达。 3.2 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）： 这是连接微分与积分的桥梁，是整个微积分体系中最伟大的洞察。本章将详细论证定积分的导数与不定积分的关系，展示如何通过反导数（原函数）来计算复杂的定积分。 3.3 不定积分与积分技巧： 掌握计算原函数的方法论至关重要。本书系统地介绍了： 换元积分法（Substitution Rule）： 积分的链式法则逆运算。 分部积分法（Integration by Parts）： 积分的乘积法则逆运算，尤其适用于指数与三角函数的乘积。 有理函数积分： 运用部分分式分解将复杂有理函数拆解为易于积分的形式。 三角代换与三角恒等式： 解决涉及 $sqrt{a^2-x^2}$ 等形式的积分。 3.4 定积分的应用： 积分工具箱的应用远超计算面积： 几何应用： 计算平面区域的面积、旋转体的体积（圆盘法、薄壳法）。 物理应用： 计算变力所做的功、液体的压力、质心和转动惯量。 弧长计算： 利用导数和积分，精确测量曲线的实际长度。 3.5 广义积分（Improper Integrals）： 当积分区间延伸至无穷大，或被积函数在区间内存在奇点时，我们需要广义积分的概念来判断累积量的收敛性或发散性，这在概率论和物理学（如势能计算）中极为常见。 --- 本书特色与教学理念 《进阶微积分与应用》的设计理念是严谨性与应用性的完美结合。 1. 清晰的逻辑推导： 我们坚持在每一个关键概念后提供完整的证明或论证过程，确保读者不仅知道“如何做”，更明白“为什么能这样做”。 2. 丰富的实例驱动： 每一个新的方法论都伴随着来自物理学、工程学、经济学或生物学中的具体案例进行阐释，展示微积分在解决真实世界问题时的强大威力。 3. 强调概念整合： 本书的练习题和案例研究被精心设计，要求读者能够灵活运用微分和积分的知识，而不是孤立地看待它们。例如，通过优化问题引入导数，再通过优化问题的迭代过程引入数值逼近，最终引向积分误差的分析。 本书面向所有希望在理工科、经济学或数据科学领域打下坚实数学基础的学生。它将是您从代数思维迈向分析思维，掌握现代科学语言的不可或缺的指南。掌握了微积分，您就掌握了理解动态世界的钥匙。 ---

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深沉的蓝色调配上简洁的几何图形，立刻就给我一种“正经学术”的感觉。我是在为社区大学的预科课程做准备时，经由一位资深教授的推荐拿到的。说实话，我对代数一直抱有复杂的感情，它既是通往高等数学的必经之路，又常常因为概念的抽象而让人望而却步。这本书的开篇部分，尤其是关于函数和图像的介绍，简直是为我这种“有基础但不太牢固”的读者量身定制的。它没有直接抛出那些令人头疼的定理，而是通过一系列贴近生活的例子，比如房产投资的增长模型，或者抛物线在工程中的应用，来引出代数原理。我特别欣赏作者在讲解二次方程求解时所采用的逐步分解法，每一步的逻辑推导都清晰可见，就像有人在你旁边耐心帮你整理思路。那些辅助性的“概念回顾”小栏目，虽然看起来不起眼，但对于快速巩固前一章知识点真是太有用了，我甚至不需要频繁翻回目录去查找，直接在当前页就能找到缺失的知识块。总体而言，这本书的叙事方式非常平易近人，它成功地将一门原本可能枯燥的学科，变成了一场充满探索乐趣的旅程。

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对于自学者来说，教材的参考价值和可读性是决定成败的关键因素。这本书在这方面做得非常出色，它不仅仅是一本练习手册，更像是一位耐心的、博学的导师。它的排版设计非常讲究，大段的文字描述被清晰的图表和醒目的定义框所打断，视觉上并不拥挤。特别是那些重要的定义和定理，都被一个统一的、有阴影的边框框起来，一眼就能抓住重点，这对于我在快速翻阅复习时，效率得到了极大的提升。我尤其喜欢它对一些历史背景的穿插介绍。比如在讲解复数（Complex Numbers）的起源时，书中提到了历史上数学家们如何一步步接受这些“非真实”的数字，这种人文色彩的注入，让冰冷的数字背后似乎有了灵魂和故事，极大地激发了我对这门学科的好奇心。它没有强迫你接受，而是引导你理解为什么这些概念会诞生，这种哲学层面的思考，对于构建稳固的数学认知结构至关重要。

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这本书的辅助资源配套也令人印象深刻，虽然我主要依赖纸质书，但附带的网络资源访问权限简直是雪中送炭。我特意去试用了一下配套的在线学习系统，发现它提供了一些交互式的模拟练习。举个例子，在学习矩阵运算的部分，系统允许你输入一个矩阵，然后实时地展示行简化或列简化过程，每一步的变动都会被高亮显示。这对于那些需要大量视觉反馈才能掌握复杂流程的学生来说，无疑是巨大的帮助。我不再需要担心自己算错了一步导致后续所有结果都错掉而感到沮丧。这种即时反馈机制，极大地缩短了试错的周期，让概念的学习曲线变得更加平滑。而且，书本的装帧质量也值得称赞，厚实的纸张和耐用的胶装，即便是被我频繁地翻阅、折角和在上面做笔记，它依然保持着良好的形态，证明了出版商在产品质量上的投入是值得肯定的。这本书完全对得起它在书店里的价格标签。

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坦白讲，我过去对“高等代数”的印象就是一系列枯燥的符号和逻辑链条，很容易让人在学习过程中感到疲倦和麻木。然而，这本书在处理一些更深层次的概念时，展现出了一种令人耳目一新的教学策略。比如在涉及对数和指数函数关系时，它没有仅仅停留在公式的推导上，而是花了大量的篇幅来讨论“自然常数e”的非凡意义，以及它如何自然地出现在自然界和金融增长模型中。作者甚至引入了“比率的极限”这一更微积分导向的概念，虽然没有深入讲解微积分的细节，但却为我们未来的学习埋下了高质量的伏笔。这种超越了当前课程要求的“前瞻性视野”，让我在学习代数时，能更宏观地理解数学各分支之间的内在联系，这对于建立一个全面的知识体系非常有益。它不仅仅是在教你“怎么做”，更是在教你“为什么是这样”，这种深度思考的引导，是很多同类教材所缺乏的。

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我必须得说，这本书的习题设计简直是教科书级别的典范，这也是我给它如此高评价的主要原因之一。很多代数教材的习题要么过于简单，流于表面，要么就是突然出现那种需要绕好几个弯才能解出来的“怪题”，让人挫败感倍增。但《College Algebra》的作者似乎深谙平衡之道。基础练习题部分，数量充足，确保你对基本运算和公式的掌握已经烂熟于心，甚至可以说是肌肉记忆的形成过程。更妙的是，在每一章的末尾，设置了一个“应用与探索”板块。我记得有一道题，是关于如何优化一个曲棍球运动员的射门轨迹，需要用到抛物线顶点公式，但题目给出的初始条件非常隐晦，需要读者先进行物理建模。这种将纯粹的数学工具应用到真实世界场景中的设计，极大地提升了我学习的内在驱动力。我不再是为了考试而解题，而是为了解决那个“曲棍球问题”而学习代数。而且，书后提供的答案和详细解题步骤（虽然不总是完整展示，但关键步骤都有提示），为我独立学习提供了坚实的支持。

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