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This workbook provides 150 pages of additional exercises suitable for homework assignments.
《高级抽象代数：结构与证明的基石》 书籍简介 一、 核心定位与读者对象 《高级抽象代数：结构与证明的基石》是一部旨在为数学专业本科高年级学生和研究生提供深入、严谨的抽象代数理论基础的教材。本书超越了初级代数课程对群、环、域基本概念的初步介绍，致力于构建一个全面、深入且富有洞察力的代数结构理论框架。 本书特别适用于那些已经掌握了基础线性代数和初等数论知识，并准备进入纯数学研究领域的学生。它不仅是课堂教学的有力补充，更是自学和备考研究生资格考试（Qualifying Exams）的理想参考资料。我们假设读者具备一定的数学成熟度，能够理解和欣赏抽象结构在解决具体数学问题中的强大威力。 二、 内容结构与理论深度 全书共分为六个主要部分，逻辑上层层递进，从基础概念的严格化到尖端理论的初步探索： 第一部分：群论的深度剖析（深化与拓展） 本部分将群论提升到一个新的理论高度。我们不再仅仅停留在循环群、二面体群的计算层面，而是将重点放在群的作用（Group Actions）和其深远影响上。 群作用的全面解析： 详细阐述轨道-稳定化子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）的证明及其在计数问题中的应用，特别是Burnside引理的严谨推导和实际案例分析。 Sylow定理的优雅证明： 采用现代代数方法，对Sylow $p$-子群的存在性、共轭类数量进行完整且清晰的证明。深入探讨Sylow子群在有限群结构分解中的关键作用。 群的可解性与幂零性： 引入换位子子群（Commutator Subgroups）、导群（Derived Series）的概念，精确刻画可解群（Solvable Groups）的内部结构。对幂零群（Nilpotent Groups）的定义、性质及其与中心列（Central Series）的关系进行了详尽的论述。 第二部分：环论的代数几何视角 本部分致力于将环的概念从单纯的算术运算提升到结构研究的高度，为后续的代数几何和代数拓扑打下基础。 理想与商环的深入结构： 强调理想的分解和结构定理，特别是关于主理想环（PID）、唯一因子化域（UFD）和诺特环（Noetherian Rings）的深刻性质。 同态与分解定理： 详细阐述第三同构定理、第五同构定理，并严格证明了任意环都可以分解为其素理想的（局部化）结构。 Noetherian性与Artinian性： 深入探讨链条件（Chain Conditions）的意义，证明Hilbert基定理及其在代数几何中的基础地位。阐述Artinian环与半简单环之间的深刻联系。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的精髓 这是本书最具原创性和应用价值的部分，它将域扩张与群论完美地结合起来，是代数思想的集大成者。 域扩张的构造： 详细介绍代数扩张、超越扩张，并引入极小多项式的唯一性和性质。对分裂域（Splitting Fields）和代数闭包（Algebraic Closures）的存在性给出构造性证明。 伽罗瓦群的定义与性质： 建立域扩张与自同构群之间的双射关系。着重分析正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）的性质。 伽罗瓦理论的核心定理： 严格证明基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory），展示了如何通过研究有限群来解决经典的域扩张问题（如中位数构造问题）。 不可解性与根式解： 利用伽罗瓦理论的工具，给出五次及以上方程不可用根式求解的严谨论证，这是对经典数学难题的完美回应。 第四部分：模块论的泛化与统一 模块论被视为群论和线性代数在更一般结构下的统一。本书将模块论置于一个独立且关键的地位。 模块的基本概念： 将向量空间的概念推广到任意环上的模，区分左模和右模。深入探讨子模、商模、模同态和同构定理。 自由模与投射模： 探讨自由模（Free Modules）作为“最简单”模的性质，并引入投射模（Projective Modules）和内射模（Injective Modules）作为研究的工具。 结构理论的萌芽： 对有限生成阿贝尔群的结构定理进行推广到更一般的环上，为理解半简单环和表示论打下基础。 第五部分：经典代数结构的深入研究 本部分聚焦于那些在数论、几何和拓扑学中扮演关键角色的特定代数结构。 整环的因子分解理论： 重新审视唯一因子化域（UFD）和主理想整环（PID），并引入戴德金环（Dedekind Domains）的概念，这是理解代数数论中理想理论的关键。 交换代数的基础： 引入素理想（Prime Ideals）和极小理想（Maximal Ideals）在交换环中的作用，展示它们如何定义环的拓扑结构。 张量积的构造与性质： 详细讲解张量积（Tensor Products）的唯一性构造，并阐述其在构造双模和在不同代数结构之间建立联系方面的强大作用。 第六部分：高级主题的引介 最后一部分旨在拓宽读者的视野，为他们未来进一步深入学习提供路线图。 半简单环与Artin-Wedderburn定理： 介绍半简单环的结构，并给出Artin-Wedderburn定理的完整证明，揭示了半简单环同构于矩阵环的直接积这一惊人结论。 表示论的开端： 简要介绍群表示（Group Representations）的概念，将其视为将抽象群映射到线性代数空间的桥梁，为后续学习表示论提供必要的代数前置知识。 三、 本书的教学特色 1. 证明的严谨性与清晰度： 本书的所有重要定理都提供了完整、细节丰富的证明。证明步骤清晰，逻辑链条完整，旨在培养读者独立进行严格数学论证的能力。 2. 例题与反例的平衡： 除了经典的构造性例子外，本书特别设计了大量的反例（Counterexamples），用以澄清概念的界限，帮助读者理解为什么某些性质只在特定代数结构中成立。 3. 结构化的习题集： 每章末尾的习题被精心设计，分为三类：计算与应用型（巩固基础）、理论证明型（深化理解）以及探索与研究型（引导学生接触前沿问题）。 4. 历史背景与应用连接： 在关键概念的引入处，穿插了简短的历史背景介绍，并将抽象代数理论与其在数论、密码学（如有限域的应用）、拓扑学中的实际应用进行了必要的连接。 《高级抽象代数：结构与证明的基石》不仅是一本教科书，更是一次对数学美学和逻辑严谨性的深度探索之旅。通过对这些基本结构的深入钻研，读者将建立起坚不可摧的数学思维体系，为未来在任何数学领域取得突破打下坚实的基础。
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