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出版者:

作者:Lial, Margaret L./ Greenwell, Raymond N./ Ritchey, Nathan P.

出品人:

页数:744

译者:

出版时间:2007-10

价格:1338.00元

装帧:

isbn号码:9780321428295

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 有限数学
• 离散数学
• 集合论
• 逻辑
• 计数原理
• 图论
• 线性规划
• 矩阵
• 概率论

好的，这是一本名为《无限的几何与代数：高等数学原理精要》的图书简介。 --- 图书名称：《无限的几何与代数：高等数学原理精要》 作者： [此处可填写真实作者姓名] 出版社： [此处可填写真实出版社名称] 出版年份： [此处可填写真实出版年份] --- 导言：跨越有限的边界，探索无尽的结构 在数学的宏伟殿堂中，总有一些基石性的理论，它们构筑了我们理解世界运行规律的框架。如果说初级的数学工具教导我们如何处理可数的、有限的量，那么《无限的几何与代数：高等数学原理精要》则是一次向更高维度、更抽象空间的深刻进军。本书并非对离散、有限数学的简单复述或延伸，而是着眼于连续性、极限、无穷大以及由这些概念所定义的深刻结构。 本书旨在为那些已经掌握了基础代数、微积分入门知识的学习者提供一条清晰而严谨的路径，深入探索高等数学的核心领域：拓扑学、泛函分析的萌芽、以及在现代物理学和工程学中不可或缺的微分几何。我们相信，理解“无限”的本质，是掌握现代科学语言的关键。 第一部分：连续性的严密基础——拓扑学的几何语言 本部分从最基础的“邻近”概念出发，逐步建立起一套描述空间形状和连续形变的严密框架，这便是拓扑学。我们摒弃了欧几里得几何中对距离的依赖，转而关注集合的内部结构和极限行为。 第一章：点集拓扑的基石 本章首先复习了实数轴上的极限和收敛性，但立即将其推广到更一般的度量空间。我们详细探讨了开集、闭集、紧致性和连通性的定义。这些概念不仅是理论上的抽象，更是我们理解函数连续性行为的工具。例如，我们会深入分析为什么在一个紧致集合上的连续函数必然可以达到其最大值和最小值，这为优化问题的理论分析奠定了基础。 第二章：拓扑空间的构造与分类 超越度量空间，本章引入了拓扑空间的抽象定义，重点讲解了基（Base）和子基（Subbase）的概念，它们是生成复杂拓扑结构的有效手段。我们细致区分了豪斯多夫空间（Hausdorff Space）的意义，以及它在确保点分离性上的重要性。此外，商拓扑（Quotient Topology）的构建被视为理解抽象空间（如圆环、球面）如何由基本空间拉伸或粘合而成的关键。 第三章：映射的连续性与同胚 本章的核心在于“形变”——连续映射的拓扑定义，以及同胚（Homeomorphism）作为拓扑等价的严格标准。我们通过大量的例子，阐明了拓扑学关注的是哪些性质在形变下保持不变（如孔洞的数量），以及哪些性质会被改变。对紧致性和连通性的拓扑不变量性的探讨，是理解这一核心思想的必要步骤。 第二部分：无限维度的张力——泛函分析的初步接触 在处理涉及无限序列和函数的分析问题时，我们被迫进入无限维度的向量空间。本部分将微积分中的线性概念提升到函数空间的高度。 第四章：函数空间的度量与结构 我们不再将向量视为一组有序的数字，而是将其视为元素在一个更大集合——函数空间——中的成员。本章聚焦于几种关键的函数空间，例如连续函数空间 $C[a, b]$ 和 $L^p$ 空间的直观理解。我们将点收敛与一致收敛进行对比，并引入范数（Norm）的概念，为定义这些空间的“距离”打下基础。 第五章：线性算子的性质 算子是作用于函数空间的映射。本章关注线性算子的性质，特别是有界线性算子。我们引入了算子范数的定义，并探讨了如何评估一个线性算子的“大小”。对线性泛函的讨论，将为后续引入对偶空间埋下伏笔，理解如何通过积分等方式对函数进行“测量”。 第六章：收敛性与完备性 在本章中，我们重访“收敛”这一概念，并将其置于函数空间中。巴拿赫空间（Banach Space）——即完备的赋范向量空间——是泛函分析的基石。通过分析柯西序列（Cauchy Sequence）在这些空间中的行为，我们揭示了某些问题（如微分方程的解的存在性）为何需要在完备空间中才能得到保证。 第三部分：弯曲的舞台——微分几何与张量分析入门 本部分将我们从欧几里得平坦的空间带入更广阔的、可弯曲的几何世界，这是现代物理学（如广义相对论）和高级工程计算的语言。 第七章：流形的概念与局部坐标系 我们将流形（Manifold）定义为“在局部看起来像欧几里得空间”的空间。本章详细阐述了图集（Atlas）和坐标变换的数学要求。理解流形的重要性在于，它允许我们将复杂的、整体上弯曲的结构（如球面）分解为许多可以局部应用标准微积分工具的小块。 第八章：切空间与切向量场 在流形上，我们如何定义速度或力的方向？答案在于切空间（Tangent Space）。本章构建了在流形上每一点的切空间，并将其解释为“所有可能方向”的线性空间。我们深入探讨了向量场的概念，即在流形上的每一点指定一个切向量。 第九章：张量的几何解释 张量是描述多线性关系的对象，它们是描述物理量（如应力、电磁场）在坐标变换下如何保持一致性的关键工具。本章从上指标和下指标张量的代数定义入手，并给出其在几何上的直观解释：它们是线性函数作用于切向量和余切向量的组合。对协变导数的初步探讨，预示着如何在弯曲空间中正确地进行“平行移动”和微分。 结语：无尽的探索 《无限的几何与代数：高等数学原理精要》是一本旨在拓宽读者数学视野的著作。我们聚焦于那些关于连续性、极限和抽象结构的深刻洞察力，这些洞察力构建了从数学理论前沿到应用科学核心的桥梁。本书的完成，标志着读者从对有限问题的精确计算，转向对无限结构本质的深刻理解。掌握了这些原理，读者将准备好迎接更复杂的数学分支，如代数拓扑、更深入的泛函分析，以及现代微分几何的更深层应用。 ---

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