Harmonic Analysis on Finite Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ceccherini-Silberstein, Tullio/ Scarabotti, Fabio/ Tolli, Filippo

出品人:

页数:454

译者:

出版时间:2008-3

价格:$ 101.70

装帧:

isbn号码:9780521883368

丛书系列:

图书标签:

• 调和分析
• 有限群
• 群论
• 表示论
• 傅里叶分析
• 代数
• 数学
• 抽象代数
• 数论
• 组合数学

调和分析在有限群上的应用 本书深入探讨了调和分析在有限群上的基本概念、核心理论及其广泛应用。调和分析是数学的一个分支，它研究函数在特定结构空间上的分解与表示，最广为人知的应用是在欧几里得空间（傅里叶分析）和局部紧阿贝尔群上。然而，当我们将视野拓展到离散、非交换的有限群时，调和分析展现出其独特的结构和强大的分析能力。 本书旨在为读者提供一个全面且严谨的框架，从群论的基础出发，逐步过渡到有限群上的傅里叶变换及其相关理论。全书结构清晰，内容涵盖了从基础概念到前沿研究的多个层面，特别强调了理论的构建过程及其在组合学、代数表示论和编码理论中的实际效用。 第一部分：基础奠基与群论背景 本书的第一部分致力于为后续的调和分析讨论奠定坚实的数学基础。我们首先回顾了群论的基本概念，包括群的定义、子群、商群、同态与同构。重点在于理解有限群的结构，特别是拉格朗日定理、西洛夫定理（Sylow Theorems）的应用，这些定理对于理解群的内部结构至关重要。 随后，我们将视角聚焦于群的表示论。表示论是将抽象的群结构映射到线性代数向量空间上的强大工具。我们详细讨论了群的表示、等变性（Equivariancy）、等价表示、不可约表示（Irreducible Representations）以及完全可约性（Reducibility）。在这里，我们引入了 Schur 引理，它是后续讨论特征标理论的基石。特征标（Characters）作为表示的痕迹，提供了一种将群论问题转化为代数问题的有效途径。本书详述了特征标的性质，包括正交性关系（First and Second Orthogonality Relations），这些关系在构造和识别不可约表示中起着核心作用。 第二部分：有限群上的傅里叶变换与对偶性 第二部分是本书的核心，它将调和分析的视角引入有限群的框架。我们首先定义了有限群 $G$ 上的群代数 $mathbb{C}[G]$，并阐述了其与矩阵代数的关系。 有限群上的傅里叶变换的引入是本部分的关键。与连续群上的傅里叶变换（积分形式）不同，有限群上的傅里叶变换是基于群的离散结构和表示的。对于群 $G$ 上的一个函数 $f: G o mathbb{C}$，我们利用其在所有不可约表示下的投影来定义傅里叶系数。 具体地，设 $ ho^i$ 是 $G$ 的第 $i$ 个不可约表示，维度为 $d_i$。傅里叶系数 $hat{f}(i, u, v)$ 定义为： $$ hat{f}(i, u, v) = sum_{g in G} f(g) overline{ ho^i(g)_{uv}} $$ 其中 $ ho^i(g)_{uv}$ 是表示矩阵在 $(u, v)$ 位置的元素。 本书详细推导了泊松求和公式在有限群上的离散版本，并探讨了帕塞瓦尔恒等式（Parseval's Identity）在群代数上的表现形式，这为分析函数的能量和范数提供了基础。 我们随后深入讨论了对偶性理论。对于阿贝尔群 $G$，其对偶群 $hat{G}$（由所有一维表示构成）提供了清晰的傅里叶分析框架。对于非阿贝尔群，虽然没有直接的阿贝尔对偶群概念，但通过其交换子子群和商群的结构，我们可以将调和分析的思想延伸。本书对比了有限群与局部紧阿贝尔群（如 $mathbb{Z}_n$）在傅里叶分析上的异同，突显了非交换性带来的复杂性和丰富性。 第三部分：卷积、扩散与随机游走 调和分析的核心操作之一是卷积。在有限群上，函数之间的群卷积 $ast$ 定义为： $$ (f ast h)(x) = sum_{y in G} f(y) h(y^{-1} x) $$ 我们证明了傅里叶域中的卷积定理：$widehat{f ast h} = hat{f} cdot hat{h}$。这一核心性质极大地简化了群上的复杂线性运算，使得卷积操作可以在表示空间中以乘法形式高效计算。 本部分将理论应用于随机游走（Random Walks）的研究。在有限图或有限群上定义的随机游走，其转移概率可以被视为群代数中的一个概率分布函数。利用傅里叶变换，我们可以分析随机游走的长期行为，例如收敛速度和扩散模式。特征标的模长与扩散速率直接相关：特征标值越小，扩散越快。本书探讨了利用特征值分析（在傅里叶域中即系数的模）来估计图的谱间隙（Spectral Gap）及其对随机游走混合时间的影响。 第四部分：在组合学与编码理论中的应用 本书的最后一部分展示了有限群调和分析的实际威力。 1. 群在组合结构上的作用： 调和分析提供了一种系统性地计数或分类具有对称性的组合对象的方法。例如，在 Pólya 计数定理的背景下，虽然直接的 Burnside 引理可能更常用，但群表示论提供的框架可以帮助理解具有特定对称群作用的结构，并推导出更精细的计数结果。 2. 编码理论与代数几何： 现代编码理论严重依赖于有限域上的代数结构。当我们将编码视为向量空间上的特定子空间时，有限群的结构可以用来描述和构造具有特定解码性能的代数码，如 BCH 码或 Reed-Solomon 码。本书探讨了如何利用群环上的傅里叶分析来研究码的结构、码的重量分布以及快速傅里叶变换（FFT）在编码/解码过程中的优化。 3. 稀疏表示与信号处理： 在有限群上，许多函数（例如图上的信号）在某些基（即不可约表示）下是稀疏的。本书讨论了如何利用有限群傅里叶变换来提取信号的关键特征，并进行高效的压缩或去噪处理，这在处理离散网络数据和加密信号时具有重要意义。 总结 本书不仅是对经典调和分析在离散框架下的简单推广，更是对群结构、表示理论和分析工具深度融合的探索。它要求读者具备扎实的群论和线性代数基础，并引导读者掌握一套强大的数学工具，用于解决从纯粹的代数问题到实际的信号处理和组合优化中的复杂挑战。通过严谨的推导和丰富的应用实例，本书旨在成为该领域研究生和研究人员的权威参考资料。

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