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出版者:Springer

作者:Daniel Perrin

出品人:

页数:275

译者:Catriona Maclean

出版时间:2007-12-19

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781848000551

丛书系列:universitext

图书标签:

• 2007
• 数学
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• 代数几何
• 代数簇
• 射影几何
• 交换代数
• 同调代数
• 代数拓扑
• 数论几何
• 复代数
• Birational Geometry
• Scheme Theory

《代数几何：空间结构与方程之舞》 本书将带您踏上一段探索代数几何迷人世界的旅程。我们并非仅仅罗列枯燥的定义和证明，而是力求揭示代数与几何之间深刻而优美的联系，理解它们如何相互渗透，共同编织出描述空间结构的语言。 核心概念的引入： 我们将从最基础的概念出发，如同搭建一座宏伟建筑的地基。您将接触到“簇”（Varieties）这一核心对象，它们是多项式方程组的零点集合，是我们探索的舞台。从简单的直线、平面，到更高维度的奇妙形状，簇的定义及其基本性质将一一呈现。我们不会止步于实数域，而是将目光投向更广阔的复数域，甚至更抽象的代数闭域，理解域的性质如何影响几何对象的形态。 多项式方程组的语言： 代数几何的精髓在于将几何问题转化为代数问题。本书将深入探讨如何使用多项式方程组来精确地描述和刻画几何对象。您将学习如何通过方程组的性质来理解几何对象的维度、连通性、奇点等关键特征。我们将介绍理想（Ideals）这一代数工具，它精准地捕捉了簇的几何性质，并学习如何利用格勒布纳基（Gröbner Bases）等强大的计算工具来分析和处理这些理想，从而解决复杂的几何问题。 几何结构的洞察： 一旦我们掌握了代数工具，便可以开始深入洞察几何结构的本质。本书将带领您探索簇的各种几何属性，例如： 维数（Dimension）： 簇的“大小”或“自由度”，理解不同维度的簇所展现出的不同复杂性。 奇异点（Singularities）： 簇上的“尖锐”或“不规则”的点，它们隐藏着几何对象的重要信息，我们将学习如何识别和分类这些奇异点。 连通性（Connectivity）： 簇是由多少个“独立”的部分组成的，理解光滑簇的连通性质。 切空间（Tangent Spaces）： 在簇上的每一点，我们如何用线性空间来“局部逼近”它，这是理解几何对象局部性质的关键。 向量丛（Vector Bundles）： 在簇的每一点上赋予一个向量空间，这种“场的概念”在现代数学中扮演着至关重要的角色，尤其是在微分几何和代数几何的交叉领域。 超越经典：更广阔的视野 本书不会局限于经典的射影代数几何，还将为您打开通往更广阔领域的大门。我们将初步介绍： 概形（Schemes）： 这是代数几何的现代语言，它允许我们将代数结构与几何对象更紧密地结合，并且能够处理比经典簇更一般的对象。通过概形，我们可以统一处理不同类型的几何问题。 层论（Sheaf Theory）： 层提供了一种描述和研究几何对象上“局部数据”的强大框架。我们将了解层如何在代数几何中扮演关键角色，例如在定义概形及其性质时。 同调代数（Homological Algebra）初步： 同调方法是研究代数对象（如链复形）的工具，在代数几何中，它被用来研究簇的更深层次的拓扑和几何性质，例如德拉姆同调（de Rham cohomology）。 学习的路径： 本书的学习过程将是循序渐进的。我们首先会建立坚实的代数基础，理解多项式环、理想以及它们与几何的联系。接着，我们会引入簇的概念，并通过具体的例子来加深理解。随着知识的深入，我们将探讨更抽象的概念，如概形和层，并展示它们在解决复杂问题中的强大威力。 本书的独特之处： 我们相信，学习代数几何不应是机械的计算，而应是对数学之美的欣赏。本书力求： 直观与严谨并存： 在提供清晰的几何直观的同时，我们也注重数学的严谨性，确保您能够理解每一个证明背后的逻辑。 丰富的例子： 大量精心挑选的例子将贯穿全书，帮助您理解抽象概念，并展示代数几何在不同领域的应用。 培养解决问题的能力： 通过引导性的练习和思考题，鼓励您主动探索，培养独立解决代数几何问题的能力。 无论您是希望深入理解数学结构的本科生，还是渴望拓展研究视野的研究者，亦或是对数学充满好奇的求知者，《代数几何：空间结构与方程之舞》都将是您探索这一迷人领域的理想指南。让我们一同沉浸在这场代数与几何交织的智慧盛宴中。

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这本书在排版和符号的使用上，透露出一种近乎古典的、对视觉清晰度的执着。页边距很大，文字密度适中，保证了在长时间阅读时眼睛不会过度疲劳。然而，一旦进入到涉及大量希腊字母、上下标以及特殊花体字母的公式矩阵时，这种清晰感会瞬间瓦解。有些关键的定义和定理被置于一个非常长的段落的末尾，用粗体强调，但由于上下文的冗长，常常会导致读者在找到那个“重点”时已经失去了前文的语境。更令我感到困惑的是，习题部分的设计。习题大多是证明题，且难度跨度极大。有些是前文定理的直接应用，还有一些则明显是需要整合书中多个不相关章节知识点才能解决的开放性问题。作者似乎并未打算通过习题来巩固基础，更像是邀请读者参与到更高层次的思考与探索中去。对于我个人而言，我发现我更倾向于跳过那些过于艰深的习题，转而关注那些能帮助我更好地理解核心概念的证明，这反映了这本书对不同学习需求读者的适应性是有限的。

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我必须承认，尽管阅读过程充满了挫折和反复，但每当我成功地跟上作者的思路，推导出书中的一个重要结论时，那种精神上的满足感是无与伦比的。它不是那种“学会一个新工具”的实用性喜悦，而更像是“理解了一种看待世界的全新视角”的哲学震撼。这本书迫使我重新审视我对“空间”、“结构”和“同构”这些基本数学概念的理解，将它们从模糊的直觉提升到了严格的代数框架之下。它的贡献不在于提供了一个简单的操作手册，而在于它系统性地构建了一个理论大厦的蓝图，这个蓝图的每一个细节都经过了精密的计算。如果你已经有了一定的代数基础，并渴望深入到现代几何学的核心领域，那么这本书就像是一把钥匙，它能打开通往更深层次研究的大门。但请做好准备，门后可能是一片广袤而荒凉的未知领域，需要你独自探索。它不是一本用来消遣或快速学习的书，它是一项严肃的智力投资，要求读者付出时间、毅力和对抽象概念的终极敬畏。

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我尝试将这本书推荐给一位同样研究拓扑学的朋友，结果他只看了前三章便束之高阁，抱怨说它“缺乏必要的背景衔接”。他提到，书中对某些重要的预备知识点，如交换代数中的某些高级定理，几乎是直接引用，没有给出任何回顾或上下文解释，仿佛这些知识已经是所有读者都内化于心的常识。这确实是一个观察角度：这本书显然是写给一个特定圈子的读者的，他们共享着一套高度专业化的“行话”和知识体系。它很少使用类比或历史背景来软化其硬核的内容，而是直接切入主题，将读者猛地扔进复杂的结构之中。这使得该书在自学过程中挑战重重，因为一旦遇到一个不熟悉的术语或定理，你就必须暂停当前的阅读，去翻阅另一本或几本参考书来补齐这块缺失的拼图。因此，这本书的价值更多地体现在作为一部“参考手册”或“深度拓展资料”的角色，而非一本面向大众的入门教材。它的力量在于其内容的深度和纯粹性，但这种纯粹性也铸就了它的高墙。

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这本书的封面设计得极为朴素，封面上仅印着几个白色的、略带手写感的英文字母，占据了绝大部分视野，这似乎在暗示着内容本身的严肃与抽象。初次翻开时，我被其密度和晦涩感所震慑。它完全不像我以往接触过的任何数学教科书，更像是一本深埋在历史尘埃中的羊皮卷轴，需要极大的耐心和专注力去解读。开篇章节引入的那些概念，比如“概形”的定义，初看之下简直是天书，那些抽象的结构和层层嵌套的定义仿佛构建了一个完全自洽却又与直觉相悖的世界。我花了整整一周的时间才勉强理清了基础术语之间的关系，期间不得不频繁地查阅其他经典教材的辅助资料。那种感觉就像是站在一座宏伟但结构复杂的哥特式教堂前，每一个飞扶壁、每一处拱券都有其特定的功能，但没有导游的指引，你很难领会其整体的磅礴气势，只能被细节的繁复所淹没。对于入门者来说，这本书的友好度几乎为零，它不打算取悦任何人，它只关心其内部逻辑的严谨与完备，这对于那些期望通过图示或生动比喻来理解代数几何的读者来说，无疑是一场严峻的考验。

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这本书的叙事节奏极其缓慢，仿佛作者在刻意拖延时间，将原本可以通过几页纸概括的内容，铺陈为厚厚的一章。这种“慢工出细活”的写作风格，在某些章节的论证过程中体现得淋漓尽致。比如在讨论某些特定范畴的等价性时，作者似乎对每一个逻辑跳跃点都进行了不厌其烦的铺垫，每一步推导都力求做到无懈可击，这使得该书在严谨性上达到了令人敬佩的程度。然而，代价是阅读的流畅性受到了极大的损害。我时常需要在阅读完一整段证明后，才能意识到作者真正想要构建的核心思想是什么。它更像是一部侦探小说，真相被拆解成无数个微小的碎片，散落在不同的引理和推论中，需要读者自行拼接。对于追求“直觉优先”的读者，这种处理方式会带来极大的挫败感；但对于那些醉心于数学美学，享受严密逻辑链条构建过程的读者而言，这本书无疑是一座精神的殿堂，它提供的不是答案，而是一种对真理的朝圣之路的详尽地图。

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