Practical Problems in Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Sformo, Todd

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2008-10

价格:$ 72.95

装帧:

isbn号码:9781428335240

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《几何的奇思妙想：空间、形状与和谐的探索》 书籍简介 在这本引人入胜的著作《几何的奇思妙想：空间、形状与和谐的探索》中，我们将踏上一段跨越历史、深入直觉的几何学探险之旅。本书并非一本枯燥的教科书，而是一部致力于揭示几何学之美、逻辑之深邃以及其在人类文明中不可或缺作用的深度导览。我们旨在引导读者超越课本中那些刻板的定义和证明，去感受几何学作为一种思维方式、一种艺术语言和一种理解世界的根本工具的强大力量。 第一部分：欧几里得的光辉与“不证自明”的基石 我们的旅程始于古希腊的智慧殿堂，聚焦于欧几里得的《几何原本》。然而，我们不会简单地复述那些公理和定理。相反，我们将深入探讨“公理”本身的概念——它们是如何被构建、被接受，以及在后续历史中又如何受到质疑。 第一章：点、线、面的哲学意涵 本章首先探讨了欧几里得几何体系的根基。我们将细致剖析“点是无部之部”、“线是广延之长”这些看似朴素的定义背后蕴含的深刻哲学思考。我们不仅仅关注如何使用尺规作图，更关注为何尺规作图在当时的数学家眼中具有至高无上的“神圣性”。我们将比较古代不同文化（如古埃及、巴比伦）对空间测量的实用主义方法与古希腊对形式逻辑的追求之间的张力，从而理解几何学从经验科学向演绎科学的艰难蜕变。 第二章：平行线的奥秘与非欧几里得世界的黎明 平行公设（第五公设）是古典几何学中最具争议也最富魅力的部分。本章将详细回顾三百多年来数学家们试图证明或反驳这一公设的史诗般的努力。我们将追溯罗巴切夫斯基、鲍耶以及黎曼的开创性工作，详细描述双曲几何和椭圆几何是如何在逻辑上自洽地构建起来的。这一部分的重点在于展示，数学真理的边界并非一成不变，而是可以通过改变初始假设而被拓展的。我们将解释非欧几何如何为爱因斯坦的广义相对论提供了必要的数学框架，揭示几何学如何从纯粹的抽象思考转变为描述宇宙现实的强大工具。 第二部分：维度的迷宫与拓扑的奇妙联系 离开了固定的长度和角度的束缚，我们将进入一个更加灵活、更注重连接性和连续性的几何世界——拓扑学。 第三章：弯曲空间中的“不变性”原理 拓扑学，常被称为“橡皮膜几何学”，它研究的是在连续变形（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘贴）下保持不变的性质。本章将通过生动的例子，如咖啡杯与甜甜圈的同胚性，来介绍这种“不变性”的概念。我们将探讨莫比乌斯带的单面特性、克莱因瓶的“内”与“外”的模糊边界，并解释这些结构在数学物理和工程设计中的实际意义。读者将学会如何用拓扑视角去审视一个物体，关注其“洞”的数量，而非其精确的尺寸。 第四章：图论与网络世界的结构 图论是拓扑学的一个重要分支，它研究点（顶点）和线（边）的连接关系。我们将从柯尼斯堡七桥问题这一著名的起源故事切入，系统地介绍图的连通性、欧拉路径和哈密顿回路。本章将展示图论如何被应用于现代的交通网络规划、社交媒体关系分析、电路设计乃至生物网络的建模，揭示隐藏在复杂系统背后的简洁几何结构。 第三部分：离散与无限：组合几何与分形之美 几何学的视野并非只局限于光滑的曲线和连续的平面。本部分将探索那些由离散元素构建的、或在尺度变化中展现出无限细节的几何形态。 第五章：凸多面体的和谐与对偶性 我们将回到更具结构性的多面体世界。重点不在于欧拉公式（V-E+F=2）的简单应用，而是深入探究凸多面体的组合性质和对称性。我们将介绍柏拉图多面体（正多面体）的唯一性，并讲解卡塔兰多面体和阿基米德多面体的构造原理。通过对偶多面体的概念，读者将理解几何对象之间深刻的对偶关系，即一个结构的属性如何通过其“对立面”来揭示。 第六章：无限的细节：分形几何的无限循环 自曼德勃罗特将分形概念引入大众视野以来，这种自相似的几何结构彻底改变了我们对自然界复杂性的认知。本章将详细解析分形几何的构造原理，例如如何通过迭代函数系统（IFS）生成科赫雪花、谢尔宾斯基三角形等经典分形。我们将计算这些形状的“分形维数”，理解这一非整数维度的概念如何更精确地描述海岸线、树枝或云朵的复杂性。分形几何不仅是数学分支，更是连接数学与混沌理论、图像压缩和艺术创作的桥梁。 第四部分：应用与未来展望：超越平面与立体 最后，本书将拓展几何学的边界，探讨其在现代科学和技术中的前沿应用。 第七章：代数与几何的联姻：解析几何的威力 虽然本书聚焦于几何概念本身，但我们必须承认笛卡尔坐标系带来的革命性飞跃。本章将简要回顾解析几何如何通过代数方程来描述曲线和曲面，使得那些只能被描绘的概念可以被精确计算和分析。我们将探讨二次曲线（圆锥曲线）的统一描述及其在光学、天文学中的重要性，强调几何直觉与代数工具结合所产生的强大合力。 第八章：高维空间与几何直觉的极限 人类的直觉受限于三维空间，但几何学的真理并非如此。本章将带领读者想象四维甚至更高维度的几何形态。我们将借助“投影”、“截面”和“展开图”等概念，尝试理解超立方体（Tesseract）的结构，并讨论高维空间在现代数据科学、机器学习（例如流形学习）和弦理论中的重要性。我们将探讨如何用纯粹的数学逻辑而非空间想象力来处理这些抽象的几何概念。 结语：几何学作为一种思维范式 《几何的奇思妙想》旨在证明，几何学不仅仅是测量和绘图，它是一种探索结构、逻辑和和谐的普适语言。它塑造了我们的建筑、指导了我们的物理学，并不断激发着新的艺术表达。阅读完本书，您将不再只是一个几何定理的知识拥有者，而是一个能够运用几何思维去审视世界复杂性的探索者。

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