具体描述
This volume is dedicated to the theme “Combinatorial Optimization – Theoretical Computer Science: Interfaces and Perspectives” and has two main objectives: the first is to show that bringing together operational research and theoretical computer science can yield useful results for a range of applications, while the second is to demonstrate the quality and range of research conducted by the LAMSADE in these areas.
《概率论与数理统计：理论、方法与应用》 书籍简介 本书全面深入地探讨了现代概率论与数理统计的基石理论、核心方法及其在各个领域的广泛应用。本书旨在为读者构建扎实的数学基础，并培养其利用统计思维解决实际问题的能力。全书内容涵盖了从基础概率论到高级数理统计的多个层次，逻辑清晰，推导严谨，并辅以大量实例和习题，以期达到理论深度与应用广度的完美结合。 第一部分：概率论基础 本书的开篇部分专注于构建概率论的坚实基础。我们从随机现象和随机变量的概念入手，详细阐述了集合论在概率论中的应用，特别是概率的公理化定义。 随机事件与概率：深入讲解了事件的运算、条件概率以及著名的贝叶斯定理。通过对独立事件的细致分析，为后续随机变量的讨论奠定基础。 随机变量及其分布：本书详细区分了离散型和连续型随机变量。对于离散变量，重点介绍了二项分布、泊松分布等常见分布的性质与应用；对于连续变量，则着重分析了均匀分布、指数分布、正态分布，并对多维随机变量（如联合分布、边际分布）进行了详尽的阐述。特别地，对于高维连续变量，我们推导了概率密度函数的性质，并探讨了随机变量的函数的分布。 随机变量的数字特征：系统介绍了期望、方差、矩等核心概念。期望被视为随机变量的“平均值”，而方差则量度了随机性的分散程度。此外，本书还探讨了协方差和相关系数，用以衡量两个随机变量之间的线性关系。 大数定律与中心极限定理：这是连接有限样本与无限总体、理论与实际的关键桥梁。我们清晰地阐述了切比雪夫不等式，并详细推导了强大数定律和弱大数定律。中心极限定理 (CLT) 的证明和应用是本章的重点，它解释了为何正态分布在统计推断中占据核心地位。 第二部分：数理统计基础 在概率论的基础上，本书转向数理统计，核心在于如何利用样本信息对总体进行推断。 统计量与抽样分布：首先定义了统计量的概念，并介绍了多种常见的抽样分布，包括卡方 ($chi^2$) 分布、$t$ 分布和 $F$ 分布。这些分布的推导过程详尽，并阐明了它们在实际统计检验中的由来和用途。 参数估计：参数估计是数理统计的两大支柱之一。本书分为点估计和区间估计两部分进行讨论。 点估计：详细介绍了矩估计法 (Method of Moments) 和最大似然估计法 (MLE)。对于 MLE，本书不仅展示了其计算步骤，还深入分析了其渐近性质，如一致性、渐近无偏性和渐近正态性。 区间估计：基于估计量的抽样分布，系统讲解了如何构造置信区间，包括基于正态分布和 $chi^2$ 分布的置信区间，以及对总体均值、方差和比例的区间估计。 第三部分：统计推断与模型检验 本书的后半部分聚焦于假设检验这一核心推断工具，并引入了更复杂的模型检验方法。 假设检验的基本原理：清晰界定了原假设 ($H_0$) 与备择假设 ($H_1$)，并解释了第一类错误 ($alpha$) 和第二类错误 ($eta$) 的概念。本书详细讲解了检验统计量、P值的概念和使用方法，强调了统计显著性与实际重要性的区别。 参数假设检验：系统地介绍了针对总体均值、比例和方差的单样本和双样本检验。例如，$t$ 检验（单样本、独立样本、配对样本）和方差比率 $F$ 检验的适用条件和步骤被清晰列出。 拟合优度检验与独立性检验： 卡方检验 (Chi-Square Tests)：重点阐述了拟合优度检验（检验数据是否服从某一特定分布）和独立性检验（检验两个分类变量之间是否存在关联）。对于列联表的分析，本书提供了详细的计算示例。 回归分析基础 本书的最后部分将统计推断应用于模型建立，特别是线性回归。 简单线性回归：从二维数据的散点图入手，推导出最小二乘法 (Least Squares Estimation) 的估计公式。详细分析了回归模型的方差分析 (ANOVA)，包括对模型拟合优度的 $R^2$ 检验。同时，讨论了残差分析在检验模型假设（如残差的正态性、同方差性）中的关键作用。 多元线性回归：将模型扩展到多个自变量的情况，介绍了矩阵表示法来求解回归系数。重点讨论了多重共线性的影响和诊断方法，并介绍了变量选择的初步概念，如逐步回归。 应用与特色 本书特色在于紧密结合实际应用，每章末尾均附有“统计软件应用实例”部分，使用主流统计软件（如 R 或 Python 的统计库）演示如何解决书中所述的理论问题，确保读者不仅掌握理论推导，还能熟练运用现代数据分析工具。 本书适合作为高等院校数学、统计学、经济学、工程学及信息科学等专业本科生和研究生的教材或参考书。它为读者提供了从随机变量的微观结构到宏观统计推断的完整知识体系。
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