Handbook of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Chipot, Michel 编

出品人:

页数:624

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 231.65

装帧:

isbn号码:9780444532411

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数学分析
• 应用数学
• 工程数学
• 数值分析
• 数学建模
• 高等教育
• 教材

现代数学前沿探索：非线性动力学与复杂系统导论 本书概述 《现代数学前沿探索：非线性动力学与复杂系统导论》旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，审视现代数学中两个最为活跃和引人注目的领域：非线性动力学和复杂系统理论。本书并非一本教科书式的知识堆砌，而更像是一次思想的旅程，引导读者从基础概念出发，逐步深入到前沿研究的复杂境地，理解如何运用先进的数学工具来分析和描述自然界与工程领域中普遍存在的非线性现象和涌现行为。 全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从经典混沌理论的几何拓扑基础，到现代复杂网络结构与演化机制的深刻解析。我们强调数学建模的重要性，展示如何将抽象的微分方程转化为可计算、可验证的模型，并着重探讨这些模型在物理学、生物学、经济学乃至社会科学中的实际应用。 第一部分：非线性动力学的核心基础与几何解析 本部分着重于构建读者对非线性系统的直观理解和严格的数学框架。我们摒弃了对线性系统处理方法的过度依赖，直接切入非线性系统的独特性质。 第一章：从线性到非线性：范式的转变 本章首先回顾线性系统的可解性优势，并明确指出其在描述真实世界现象时的局限性。随后，引入非线性的基本概念，如叠加原理的失效、相平面分析的必要性，以及奇点（平衡点）的分类及其稳定性分析。重点讨论了鞍点、结点、中心和霍普夫分岔点等关键拓扑结构。引入李雅普诺夫稳定性理论，并区别于更精细的渐近稳定性和指数稳定性。 第二章：混沌理论的几何结构与度量 混沌，作为非线性动力学的核心特征，在本章中得到深入剖析。我们不仅仅停留在“对初始条件的敏感依赖性”这一描述层面，而是深入探讨其内在的几何结构。详细讲解庞加莱截面（Poincaré Sections）的应用，如何将高维连续流简化为低维离散映射的研究对象。随后，引入拓扑不变量的概念，如庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）指数定理，用于对吸引子的性质进行分类。 第三章：分岔理论：系统行为的定性转变 分岔，即系统参数微小变化导致其相图拓扑结构发生突变的现象，是理解系统“涌现”能力的关键。本章系统梳理了经典分岔类型：鞍结分岔（Saddle-Node Bifurcation）、超临界和次临界Hopf分岔，以及涉及振荡和周期倍增的周期性分岔。利用中心流形理论（Center Manifold Theory）作为核心数学工具，展示如何将高维系统的动力学简化到最低维度的中心流形上进行分析，从而揭示分岔点附近最本质的行为。 第四章：奇异吸引子与度量分析 对于混沌系统，其长期吸引子往往不是简单的点或环，而是具有复杂分形结构的奇异吸引子。本章聚焦于这些吸引子的定量描述。详细介绍勒让德维数（Lyapunov Exponents）的计算方法及其物理意义——正的勒让德维数是混沌的必要条件。此外，引入豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension）和分形维数（Fractal Dimension）的概念，用于量化吸引子的“碎裂”程度，并解释容量维数（Capacity Dimension）与信息维数（Information Dimension）之间的关系。 第二部分：复杂系统的网络化结构与涌现特性 本部分将视角从单个系统的动力学扩展到由大量相互作用单元构成的宏观系统，即复杂系统。重点关注系统结构（网络拓扑）如何决定其整体功能和动态行为。 第五章：网络理论基础：拓扑与度量 复杂系统的核心在于其网络结构。本章首先定义图论的基本元素（节点、边、权重）。随后，系统地介绍描述网络拓扑的关键度量：平均路径长度、集聚系数（Clustering Coefficient）、介数中心性（Betweenness Centrality）和特征路径长度。这些度量是量化复杂性的基础。 第六章：无标度网络与小世界现象 本章深入探讨两种最具代表性的复杂网络模型。详细分析随机图模型（Erdős-Rényi模型）的局限性，并引入“小世界网络”（Small-World Networks）的概念，解释其如何通过少量的长程连接在保持高集聚性的同时实现信息的快速传播。紧接着，深入探讨“无标度网络”（Scale-Free Networks）的生成机制，特别是优先连接（Preferential Attachment）机制，以及无标度网络对鲁棒性（对随机攻击的抵抗力）和脆弱性（对目标性攻击的易感性）的深刻影响。 第七章：耦合振荡器与同步现象 耦合系统是展示“整体大于部分之和”的经典范例。本章以Kuramoto模型为核心，研究大量振荡器如何通过相互作用实现全局同步。分析同步的类型，如完全同步、相位同步和频率同步。探讨耦合强度、网络拓扑结构（例如环形、全连接、随机网络）对同步临界点的影响。引入同步的“多稳态”现象，即在同一参数下可能存在同步与非同步的共存。 第八章：自组织临界性与演化系统 自组织临界性（Self-Organized Criticality, SOC）描述了某些耗散非平衡系统倾向于自发地演化到临界状态，并在该状态下产生全域尺度的功率律分布事件。通过著名的沙堆模型（Sandpile Model）的动态过程，详细阐述SOC的机制和特征。将此概念推广到其他领域，如地震学和森林火灾模型，展示其作为一种普适的复杂系统演化范式的重要性。 结语：跨学科整合与未来展望 本书在最后简要讨论了非线性动力学与复杂系统理论在气候建模、金融市场波动预测、神经科学中的信息编码等前沿交叉领域的最新进展。强调理解这些领域的关键在于掌握数学工具，但更重要的是具备跨学科整合的视野，将抽象的数学结构与具体的物理现实紧密结合。本书旨在为研究生和高年级本科生提供坚实的理论基础和前沿视野，鼓励读者在这些充满挑战和机遇的领域进行深入探索。

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