具体描述
The theory of connections is central not only in pure mathematics (differential and algebraic geometry), but also in mathematical and theoretical physics (general relativity, gauge fields, mechanics of continuum media). The now-standard approach to this subject was proposed by Ch. Ehresmann 60 years ago, attracting first mathematicians and later physicists by its transparent geometrical simplicity. Unfortunately, it does not extend well to a number of recently emerged situations of significant importance (singularities, supermanifolds, infinite jets and secondary calculus, etc.). Moreover, it does not help in understanding the structure of calculus naturally related with a connection.
In this unique book, written in a reasonably self-contained manner, the theory of linear connections is systematically presented as a natural part of differential calculus over commutative algebras. This not only makes easy and natural numerous generalizations of the classical theory and reveals various new aspects of it, but also shows in a clear and transparent manner the intrinsic structure of the associated differential calculus. The notion of a "fat manifold" introduced here then allows the reader to build a well-working analogy of this "connection calculus" with the usual one.
Contents:Elements of Differential Calculus over Commutative Algebras:; Algebraic Tools; Smooth Manifolds; Vector Bundles; Vector Fields; Differential Forms; Lie Derivative; Basic Differential Calculus on Fat Manifolds:; Basic Definitions; The Lie Algebra of Der-operators; Fat Vector Fields; Fat Fields and Vector Fields on the Total Space; Induced Der-operators; Fat Trajectories; Inner Structures; Linear Connections:; Basic Definitions and Examples; Parallel Translation; Curvature; Operations with Linear Connections; Linear Connections and Inner Structures; Covariant Differential:; Fat de Rham Complexes; Covariant Differential; Compatible Linear Connections; Linear Connections Along Fat Maps; Covariant Lie Derivative; Gauge/Fat Structures and Linear Connections; Cohomological Aspects of Linear Connections:; An Introductory Example; Cohomology of Flat Linear Connections; Maxwell's Equations; Homotopy Formula for Linear Connections; Characteristic Classes.
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目录信息
读后感
用户评价
初次翻阅《Fat Manifolds and Linear Connections》，即便只是扫了一眼目录和引言，那种扑面而来的学术气息便让我心生敬畏。书名本身就带有某种令人着迷的神秘感，“Fat Manifolds”绝非大众熟知的概念，它似乎指向一种不那么“精瘦”、可能更为“丰满”或“复杂”的几何对象。这种“肥胖”感，在我看来，可以引申出多种可能性：或许是指流形上具有非零体积的区域，或是某种意义上的“厚度”，亦或是承载了比标准光滑流形更多的拓扑或几何信息。而“Linear Connections”则是微分几何和理论物理中至关重要的概念，它决定了如何进行切向量的平行移动，进而定义了曲率、测地线等一系列关键几何量。这本书的题目将这两者并置，无疑是在暗示一种全新的研究范式。作者是否在探索能够作用于这些“肥胖”流形的、更为普适或具有新颖特性的联络？又或者，这些特殊的流形自身就蕴含着一套不同于传统联络的内在“连接”方式？这种看似超前的构思，让我期待着它能够为我们揭示一些不为人知的数学结构，或许能为理解某些高维物理模型、量子场论中的非微扰效应，甚至是宇宙学的某些前沿问题提供新的视角和工具。我深信，这本书将是一次对数学边界的勇敢探索。
评分《Fat Manifolds and Linear Connections》——仅仅是这个书名，就足以引发我无穷的好奇心和探索欲。对我而言，“Fat Manifolds”这个词组，并非只是一个简单的数学标签，它更像是一种隐喻，一种对传统几何概念的突破性延伸。它暗示着我们可能正在探讨的，并非是那些通常意义上“瘦削”或“光滑”的流形，而是那些在某种维度上更为“饱满”、信息量更丰富的空间结构，或许它们具有非零体积、某种程度的“厚度”，或者承载了比标准流形更复杂的拓扑特征。而“Linear Connections”作为微分几何的基石，是定义曲率、测地线等核心概念的工具，当它与“Fat Manifolds”并置时，便立刻打开了想象的大门。我迫不及待地想知道，作者将如何为这些“肥胖”的流形赋予“连接”的属性？这是否意味着一种全新的联络理论的诞生，一种能够捕捉到这些特殊空间更深层几何本质的数学框架？这本书的题目，预示着一次大胆的数学创新，或许它将为我们揭示理解某些复杂物理现象，例如在量子场论或宇宙学中出现的非平凡几何结构，提供一种全新的视角和强大的分析工具。
评分这本《Fat Manifolds and Linear Connections》光是书名就足以勾起我的好奇心，虽然我尚未深入阅读，但单从书名本身所蕴含的深意，我便已能预感到它可能是一部极具挑战性又不乏启发性的著作。 “Fat Manifolds”这个词汇组合，在我看来，绝非寻常数学术语的堆砌，它似乎暗示着对传统流形概念的某种扩展或颠覆，也许是指那些在拓扑学或几何学意义上具有“厚度”、“体积”或某种非凡丰富性的空间结构，这种“肥胖”或许象征着比标准光滑流形更复杂的几何属性，亦或是承载了某种特殊信息或性质的载体。而“Linear Connections”作为数学物理中的核心概念，通常用来描述切空间之间的“平行移动”，是微分几何和广义相对论的基石。当这两个似乎有些出入的词汇被并列，便引发了无限的联想：作者是否在探索一种新的、更一般化的联络概念，它能够作用于这些“肥胖”的流形之上？或者，这些特殊的流形本身是否拥有某种内禀的、与传统联络截然不同的连接机制？这种跨越性的思考，让我觉得这本书可能不仅仅是提供一套技术工具，更是在重塑我们对几何空间本质的理解。或许，它隐藏着通往更深层物理规律的钥匙，或者是在纯粹数学领域开辟了一个崭新的研究方向。我期待着在这本书中，能看到作者如何巧妙地将这些看似不搭的元素编织在一起，构建出严谨而又充满想象力的数学图景。
评分这本书的题目，"Fat Manifolds and Linear Connections"，着实让我眼前一亮，并在脑海中激起了不少涟漪。标题中的“Fat Manifolds”几个字，对我而言，绝非是简单的数学术语组合，它似乎在有意无意地暗示着一种对传统“流形”概念的拓展，一种更加“饱满”、更具“物质性”或“信息量”的空间结构的描绘。这种“肥胖”感，可能会意味着那些具有非零体积的区域，或者是某种意义上的“厚度”，又或者是指那些承载了比标准光滑流形更为丰富拓扑或几何特征的载体。而“Linear Connections”，作为数学和物理学中描述切空间如何“连接”的关键工具，一旦与这种“肥胖”的流形概念结合，便立即引发了我的无限猜想。作者是否正在构建一套全新的数学语言，来描述在这些特殊的、更“厚实”的空间上，如何定义和理解“平行移动”？这些“Fat Manifolds”是否拥有其自身的、独一无二的“连接”机制，而这种机制又将如何影响我们对曲率、测地线乃至更深层几何性质的理解？这让我期待，这本书能够提供一个更广阔的数学视野，从而帮助我们深入探索那些隐藏在复杂几何结构背后的物理规律。
评分《Fat Manifolds and Linear Connections》这个书名，一开始便以一种颇为大胆且引人入胜的方式抓住了我的注意力。在我看来，“Fat Manifolds”本身就带有一种强烈的象征意义，它似乎在挑战我们对流形概念的固有认知，摆脱了传统上对光滑、低维度的“瘦削”描绘，转而描绘一种可能更加“厚实”、信息量更大、结构更丰富的几何实体。这种“肥胖”的意象，不免让我联想到在某些物理模型中，粒子或场并非仅仅存在于点上，而是具有某种空间延展性，或者是在高维空间中以某种“宽广”的方式存在。而“Linear Connections”作为研究曲率、测地线等几何特性的核心工具，在此与“Fat Manifolds”的结合，则让我好奇作者究竟将如何构建这种新的几何框架。是拓展了联络的定义域，使其能作用于这些非标准的流形？还是在这些“肥胖”的流形上，自然地涌现出一种不同于传统意义上的“连接”方式？这种组合充满了数学上的张力，预示着这本书可能不仅仅是对现有理论的梳理，而是在尝试构建一种全新的数学语言，用以描述那些更复杂、更具现实意义的物理或几何现象。我想，这是一本需要深入钻研、细心品味的书，它或许会开启我理解某些深奥数学概念的新维度。
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