Fourier Transforms (Cambridge Tracts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Richard R. Goldberg

出品人:

页数:88

译者:

出版时间:2009-01-11

价格:USD 29.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521095556

丛书系列:Cambridge Tracts in Mathematics

图书标签:

Fourier analysis
Harmonic analysis
Mathematical physics
Signal processing
Partial differential equations
Complex analysis
Mathematics
Cambridge Tracts in Mathematics
Engineering mathematics
Applied mathematics

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具体描述

This tract gives a clear exposition of the elementary theory of Fourier transforms, so arranged as to give easy access to the recently developed abstract theory of Fourier transforms on a locally compact group. (This latter subject has important applications to the general treatment of unitary representations of the rotation group, the Lorentz group and other classical groups that is of value in quantum field theory and other branches of mathematical physics.) A knowledge of Lebesgue integration and, in one chapter, of Riemann-Stieltjes integration is assumed; the results needed are all stated in the introductory chapter.

傅里叶变换：理解宇宙万物的语言想象一下，你正置身于一个由无数声音交织而成的交响乐厅。你听到的不仅仅是乐器发出的各种音符，更是它们在时间和空间中如何微妙地组合，最终形成我们所感知的美妙旋律。傅里叶变换，就好比一位技艺精湛的“声音分析师”，能够将这复杂的声音洪流分解成构成它的最基本的“纯音”——也就是不同频率的正弦波和余弦波。它揭示了隐藏在看似杂乱无章的表面之下的内在结构，让我们能够更深入地理解事物的本质。什么是傅里叶变换？简单来说，傅里叶变换是一种数学工具，它能够将一个函数（例如，随时间变化的声音信号、随空间变化的图像，或者任何其他随某个变量变化的数据）从它的原始域（通常是时间域或空间域）转换到频率域。在频率域中，我们不再关注事物“何时”发生或“何处”存在，而是关注它“由哪些频率组成”。举个例子，当我们看一张黑白照片时，我们看到的是像素点亮度在二维空间上的分布。而对这张照片进行傅里叶变换后，我们得到的是它的“频率谱”。低频分量代表图像中平滑、变化缓慢的部分，比如大片的颜色区域；而高频分量则代表图像中细节丰富、变化剧烈的部分，比如边缘、纹理和噪点。傅里叶变换的应用领域：无处不在的科学语言傅里叶变换的强大之处在于其普适性，它的应用几乎渗透到现代科学和工程的各个角落：信号处理：这是傅里叶变换最经典的应用领域。无论是音频信号的去噪、压缩，还是无线通信中的信号调制解调，都离不开傅里叶变换。通过分析信号的频率成分，我们可以有效地过滤掉不需要的噪声，提取有用的信息，实现高效的通信。例如，在数字音频处理中，傅里叶变换可以将音频波形分解成各种频率成分，这样我们就可以对特定的频率进行增强或衰减，从而实现音效的调整。图像处理：在图像处理领域，傅里叶变换被广泛用于图像滤波、边缘检测、图像压缩（如JPEG压缩算法中的离散余弦变换，与傅里叶变换密切相关）以及全息术等。通过分析图像的频率信息，我们可以锐化图像、模糊图像、去除周期性噪声，甚至识别图像中的特定模式。例如，通过傅里叶变换，我们可以识别出图像中的周期性纹理，或者去除由扫描仪造成的条纹噪声。物理学：在物理学中，傅里叶变换是研究波动现象的基石。从经典力学的振动分析到量子力学的波函数演化，傅里叶变换都扮演着至关重要的角色。它能够将复杂的波形分解为简单的正弦波组合，便于分析和预测。例如，在光学领域，傅里叶变换可以用来分析光的衍射现象，理解光是如何通过障碍物或孔径后传播的。在量子力学中，傅里叶变换是动量空间和位置空间之间的桥梁，它允许我们从粒子的位置信息切换到动量信息，反之亦然。工程学：在机械工程、电气工程、土木工程等领域，傅里叶变换被用于分析系统的动态响应、设计滤波器、进行结构振动分析以及解决各种与频率相关的工程问题。例如，在机械设计中，工程师会利用傅里叶变换来分析机械部件在不同频率下的振动响应，以避免共振导致的损坏。在电气工程中，它被用于分析电路的频率特性，设计滤波器以隔离特定频率的信号。数据分析与统计学：傅里叶变换也被应用于时间序列分析，揭示数据中隐藏的周期性模式，例如在经济学中分析股票价格的周期性波动，或者在气象学中分析天气变化的周期性。医学影像：在医学领域，核磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等无损成像技术都严重依赖傅里叶变换来重建图像。通过采集人体内部的信号数据，并对其进行傅里叶变换，可以生成高分辨率的医学图像，帮助医生进行诊断。傅里叶变换的“数学之美”：傅里叶变换不仅仅是一个实用的工具，它本身也蕴含着深刻的数学思想。它基于一个核心的哲学理念：任何复杂的信号都可以被分解为一系列简单的、周期性的正弦波和余弦波的叠加。这种分解的思想，让我们能够以一种全新的视角去理解和分析事物。从数学上讲，傅里叶变换涉及积分和复指数函数。通过将一个函数在整个定义域上积分，并与其复指数函数相乘，我们就可以提取出该函数在特定频率上的“强度”或“幅度”。这个过程可以被看作是将函数“投影”到每一个可能的频率基函数上，从而得到其在频率域的表示。为什么傅里叶变换如此重要？在信息爆炸的时代，我们每天都在处理海量的数据，这些数据可能以各种形式存在：声音、图像、文本、传感器读数等等。傅里叶变换提供了一种强大的方法，让我们能够剥离这些数据表面的复杂性，抓住其核心的频率特征，从而实现：简化问题：将复杂的问题转换到频率域，往往能使其变得更加容易分析和处理。信息提取：识别隐藏在噪声中的有用信息，或者发现数据中的周期性规律。高效处理：实现信号的压缩、滤波和重建，提高处理效率。深层洞察：从根本上理解事物的构成原理和内在联系。总而言之，傅里叶变换就像一把钥匙，能够打开理解我们所处世界的更深层的大门。它让我们得以窥见隐藏在万物之下的数学结构，揭示出隐藏在复杂信号中的简单规律，从而驱动着科学技术的不断进步。无论你是信号工程师、图像处理专家，还是对物理学、数学充满好奇的学习者，掌握傅里叶变换都将为你打开一个全新的视角，让你能够以更深刻、更有效的方式去理解和改造这个世界。