Finite-Dimensional Vector Spaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Paul R. Halmos

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1974-12-31

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540900931

丛书系列:

图书标签:

线性代数
向量空间
有限维
矩阵
线性变换
特征值
特征向量
内积空间
正交性
秩
行列式

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具体描述

《有限维向量空间》一书是一部深入探索线性代数核心概念的著作，专为那些希望系统性地构建对向量空间、线性变换以及它们之间深刻联系的全面理解的读者而设计。本书并非一本浅尝辄止的介绍性读物，而是以严谨的数学语言和清晰的逻辑推理，引导读者一步步揭示有限维向量空间的奥秘。本书的开篇，作者首先为读者构建了一个坚实的数学基础，从集合论的基本概念、域的性质出发，为后续的向量空间定义铺平了道路。读者将在此处理解为什么抽象的向量空间结构如此重要，以及它如何超越了我们日常认知中的几何向量。接着，本书将焦点集中在向量空间的定义及其基本性质上，包括子空间、线性组合、张成集、线性无关性以及基与维数。作者通过大量的例证和精炼的证明，让这些看似抽象的概念变得直观且易于掌握。读者将学会如何识别子空间，如何找到向量空间的基，以及理解维数作为向量空间“大小”的精确度量。本书的另一核心部分是对线性变换的深入探讨。线性变换是连接不同向量空间的桥梁，其性质决定了空间之间的映射关系。作者从线性变换的定义出发，详细阐述了核（零空间）、像（值域）以及它们与线性变换的性质之间的关系。通过核和像的维度定理，读者将深刻理解线性变换的“信息损失”与“信息保留”的微妙平衡。此外，本书还引入了矩阵表示的概念，将抽象的线性变换与具体的矩阵联系起来，为解决实际问题提供了强大的工具。读者将学习如何根据基的选择来表示线性变换，以及理解矩阵乘法在合成线性变换中的作用。本书的后续章节将进一步拓展线性代数的研究范畴，包括内积空间及其几何性质。内积不仅赋予了向量空间度量长度和角度的能力，还催生了正交性、正交基、Gram-Schmidt正交化等重要概念。作者将详细介绍如何构造正交基，以及正交投影在求解最小二乘问题中的应用。这些几何概念的引入，不仅丰富了我们对向量空间的认识，也为理解傅里叶分析、信号处理等现代数学分支奠定了基础。此外，本书还涵盖了对线性变换更深层次的分析，例如特征值与特征向量。特征值和特征向量揭示了线性变换在作用于特定向量时，仅会发生伸缩而不会改变方向的特性。作者将详细讲解如何计算特征值和特征向量，以及它们在对角化矩阵、分析动力系统中的重要作用。通过对相似矩阵的讨论，读者将理解不同基下同一线性变换的表示之间的内在联系。本书的另一亮点是对行列式的全面解析。行列式不仅是方阵的一个重要数值不变量，更隐藏着关于线性变换性质的丰富信息。作者将从不同角度（代数定义、几何意义）介绍行列式的计算方法，并阐述其与线性无关、可逆性、体积变化等概念的紧密联系。最后，本书的结尾部分可能会涉及一些更高级的主题，如Jordan标准型，它在处理不可对角化的情况时扮演着关键角色，允许我们将线性变换表示为一种“接近”对角化的形式，从而便于分析。《有限维向量空间》以其严谨的数学表述、详实的例证和循序渐进的教学思路，为读者提供了一个深入理解线性代数世界的窗口。本书适合数学、物理、工程、计算机科学等领域的研究生和高年级本科生，以及任何希望建立扎实线性代数基础的读者。通过学习本书，读者将能够掌握分析和解决线性问题所必需的核心工具和思想，为进一步的数学学习和科学研究打下坚实的基础。