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出版者:上海科学技术出版社

作者:尼伦伯格 (Nirenberg,L.)

出品人:

页数:83

译者:陆柱家

出版时间:1980

价格:0.29

装帧:

isbn号码:9781124100401

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 线性方程
• 数学分析
• 微分方程
• 数值分析
• 高等数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数学物理
• 讲义

《解析几何基础》 本书旨在为读者提供扎实的解析几何基础知识，为深入学习微积分、线性代数以及更高级的数学分支奠定坚实的基础。本书内容聚焦于欧几里得空间中的几何对象及其代数描述，通过详尽的定理阐述、例题解析和习题练习，引导读者理解几何直观与代数运算之间的紧密联系。 第一章 点、直线与平面 本章从最基本的概念出发，介绍三维欧几里得空间中的点，并引入坐标系的概念。我们将详细讨论点的坐标表示、距离公式以及点在线段上的插值。随后，我们将深入探讨直线的概念，介绍直线的向量方程、参数方程和对称方程，以及不同直线之间位置关系的判断（平行、相交、异面）。平面是本章的另一个核心内容，我们将学习平面的方程（点法式、一般式），并讨论平面与平面之间位置关系的判定（平行、重合、相交）。同时，本章还会涉及点到直线、点到平面的距离计算，以及直线与平面位置关系的分析。 第二章 二次曲线 本章将重点介绍二维平面上的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。我们将从其几何定义出发，推导出它们各自的标准方程。对于每一种曲线，我们将详细分析其几何性质，如焦点、准线、离心率、渐近线等。此外，本章还会讨论一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的判别方法，以及如何通过坐标变换（平移和旋转）将二次曲线化为标准形式，从而更清晰地认识其几何特征。 第三章 二次曲面 本章将二次曲线的概念推广到三维空间，介绍常见的二次曲面，包括球面、椭球面、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面）、双曲面（单叶双曲面、双叶双曲面）以及圆锥面。我们将分析这些曲面的方程，并理解它们的几何形状和性质。本章将通过截面分析等方法，帮助读者建立对这些三维几何对象的直观认识。例如，我们将讨论如何通过不同平面的截面来识别二次曲面的类型。 第四章 向量与空间坐标 向量是理解和描述几何对象的重要工具。本章将系统介绍向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等、零向量、单位向量等。我们将详细讲解向量的加法、减法和数乘运算，并证明向量运算的几何意义。此外，本章还将介绍向量的数量积（点积）和向量积（叉积）及其几何应用，如计算向量的模长、判断向量的垂直关系、计算平行四边形和三角形的面积、计算空间四面体的体积等。空间坐标系下的向量运算也将是本章的重点。 第五章 坐标变换与几何性质 坐标变换是研究几何对象不变性质的重要手段。本章将详细介绍平移和旋转坐标变换，并分析这些变换对点的坐标和几何对象方程的影响。我们将进一步探讨如何利用坐标变换将二次曲线和二次曲面的方程化简，从而揭示其内在的几何结构。通过本章的学习，读者将能够理解几何对象的某些性质在坐标变换下保持不变，这为识别和分类几何对象提供了理论基础。 第六章 习题与应用 本章包含大量的习题，覆盖了前五章的所有知识点。习题的难度和类型多样，旨在帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。每章末尾的习题都附有详细的解答或提示，以便读者对照检查。此外，本章还会穿插一些解析几何在其他领域的简单应用，例如在物理学中的轨迹描述、在工程学中的建模等，以激发读者对数学的兴趣，并展示解析几何的实用价值。 本书的编写风格力求严谨又不失生动，通过图示和形象的比喻，帮助读者克服抽象概念带来的理解困难。我们相信，通过对本书的学习，读者将能够熟练掌握解析几何的基本理论和方法，为后续的学习打下坚实的基础。

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我特别欣赏作者在处理现代分析工具与经典理论交汇点时的那种高明手腕。许多教材在介绍泛函分析工具时，往往处理得生硬且脱节，仿佛是为了赶进度而强行加入的补充材料。然而，在这本讲义中，诸如Sobolev空间、分布理论等高级工具的引入，都是与经典解法（如分离变量法、特征线法）的局限性紧密联系起来的。作者巧妙地展示了为什么我们需要更强大的分析武器来处理更复杂的物理场景，而不是孤立地去学习这些工具。这种“问题驱动”而非“工具驱动”的叙事方式，极大地提升了阅读体验。它让那些抽象的泛函分析概念立刻拥有了鲜活的生命力和明确的目的性，使得读者在学习新工具时，心中充满了期待而非抗拒。这种教科书的内在逻辑连贯性，体现了作者极高的教学智慧。

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这本书的习题设计简直是“毒辣”——我指的是褒义上的那种挑战性。它们绝不是那种可以轻易套用课本例题模板就能解决的简单练习，而是真正考验读者对理论掌握深度的试金石。有些习题的难度已经接近于小型研究课题的入门难度了，需要读者灵活运用多个章节的知识点进行组合和创新。我记得有一次，我为一个关于椭圆型方程的边界值问题卡住了整整两天，最终不得不回到书中重新审视关于格林函数构造的那一节，才恍然大悟。这种“卡壳—反思—突破”的学习闭环，虽然痛苦，但带来的知识巩固效果是其他教材无法比拟的。它不是在帮你找答案，而是在教你如何提问，如何面对未知。对于那些真正想在偏微分方程领域深耕下去的学生来说，这本书的习题集本身就是一份无价的财富。

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这本书的书封设计和排版简直是一场视觉的享受，纯粹的黑白灰调子，简约而不失力量感，那种厚重却又不失细腻的质感，拿在手里就能感受到作者对数学美学的执着。我本来是抱着随便翻翻的心态开始阅读的，但很快就被那种扑面而来的严谨性所震撼。作者在定义和定理的陈述上，那种毫不含糊的精确度，简直就像是在雕刻一件艺术品。尤其是对于一些基础概念的引入，没有采用那种填鸭式的灌输，而是通过层层递进的逻辑推导，仿佛带着读者自己一步步去“发现”这些数学真理，而不是被动接受。这种教学上的克制和尊重读者的态度，是很多现代教材中所缺失的。阅读过程中，我时常会停下来，不是因为不懂，而是因为被那种纯粹的数学逻辑之美所吸引，不得不去回味一下作者是如何将复杂的概念如此优雅地组织起来的。可以说，这本书的物理形态和内在逻辑，都散发着一种老派学者的风范，让人敬佩。

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作为一个常年在工程领域和应用数学的边缘徘徊的研究者，我一直在寻找一本能真正让我理解偏微分方程“灵魂”的教材，而不是仅仅停留在解题技巧的层面。这本书在这方面做得极其出色。它不像某些标准教科书那样，上来就堆砌各种现成的算子和公式，而是花了大篇幅去探讨物理背景和数学模型的建立过程。例如，在讨论波动方程时，作者并没有急于展示傅里叶变换的应用，而是耐心地从实际的振动问题出发，一步步构建出微分方程的物理图像，解释了每个项背后的物理意义，这对于我这种需要将理论与实际工程问题挂钩的人来说，简直是醍醐灌顶。当我看到作者对“光滑性”和“适定性”的讨论时，那种感觉就像是拨开了层层迷雾，看到了数学结构支撑起整个物理世界的坚实基础。这种深入骨髓的理解，远比记住几个特定的解法要宝贵得多。

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这本书的语言风格极其内敛、精准，带着一种难以言喻的学院派的克制美。通篇没有一句多余的口水话，也没有为了迎合初学者而做的过多简化或“打趣”。它要求读者必须保持高度的专注力，每一个标点符号、每一个限定词都至关重要。我注意到，作者在引入诸如“弱解”、“能量等式”等概念时，其论证过程行云流水，但其背后的数学哲理却需要读者进行大量的“二次加工”和内化。这种“留白”式的写作，无疑对读者的数学成熟度提出了较高的要求，初学者可能会感到有些吃力，但对于有一定基础、渴望进入更深层次研究领域的人来说，这正是一种享受——它提供的是一个坚实的认知框架，而不是一个可以被轻易消化的成品知识点。阅读它，更像是在与一位深谙此道的智者进行一场沉静而深入的对话。

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