Noncommutative Rings, Group Rings, Diagram Algebras and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:

出品人:

页数:230

译者:

出版时间:2008-6-14

价格:USD 69.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821842850

丛书系列:

图书标签:

• Noncommutative rings
• Group rings
• Diagram algebras
• Representation theory
• Algebraic structures
• Homological algebra
• Category theory
• Module theory
• Ring theory
• Associative algebras

《非交换环、群环、图代数及其应用》是一本深入探讨代数结构及其在不同数学分支和应用领域中作用的著作。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理解，重点关注非交换代数的核心概念、发展历程以及其在现代数学研究中的重要地位。 本书的核心内容围绕着三个主要的代数结构展开：非交换环、群环以及图代数。 第一部分：非交换环 非交换环是本书的基石。与我们熟悉的交换环（如整数环、多项式环）不同，非交换环中的乘法运算不一定满足交换律，即 $ab$ 可能不等于 $ba$。这种“不交换”的性质带来了丰富的结构和深刻的理论挑战。 本部分将从非交换环的基本定义和性质出发，逐步深入到更复杂的概念。读者将学习到： 环的定义与基本概念： 包括加法群、乘法半群、单位元、零元、理想、左理想、右理想、双边理想等。 模的概念： 模是环上的向量空间，是研究环结构的重要工具。我们将介绍左模、右模、模的同态、子模、商模等。 重要的非交换环类： 矩阵环： 由矩阵组成的环，其乘法是非交换的，是理解非交换代数的重要例子。 商环与同态： 探讨环的同态映射及其核，以及由此构造的商环。 代数： 当一个环具有额外的域作为系数时，就构成了代数。我们将重点关注非交换代数。 特殊类型的环： 如除环、主理想整环 (PID)、唯一分解整环 (UFD)、诺特环、阿廷环等。这些特定类型的环具有更精细和特殊的性质，在理论和应用中都扮演着重要角色。 模的分解与结构： 探讨模的直和、直积以及模的不可约分解、拟不可约分解等。 非交换环的结构理论： 介绍例如 Jacobson根、nil根等刻画环结构的重要工具。 第二部分：群环 群环是连接群论和环论的重要桥梁。给定一个群 $G$ 和一个环 $R$（通常是域），群环 $RG$ 由 $G$ 的元素作为“基”，将 $R$ 中的系数赋予其上，形成一个具有特殊乘法运算的环。 本部分将聚焦于群环的构造、性质及其在研究群结构和表示论中的应用： 群环的定义与基本运算： 详细介绍群环的元素形式、加法运算和乘法运算的定义。 群环的结构与性质： 群环的理想： 研究群环中的理想，特别是与群的正規子群相关的理想，例如augmentation ideal。 群环的模： 将群环视为一个模，探讨其模的性质，例如Irreducible representations of groups。 特定群的群环： 关注有限群、交换群、幂零群等特定类型群的群环性质。 表示论中的群环： 群环是研究群表示的核心工具。我们将深入探讨群表示、不可约表示、特征标理论等。 应用： 群环在有限单群的分类、动力系统、编码理论等领域有重要的应用。 第三部分：图代数 图代数是将图论中的图结构转化为代数对象的一种方式。通过为图的边和顶点赋予代数意义，可以构造出具有丰富结构的代数对象，并利用代数工具来研究图的性质，反之亦然。 本部分将介绍几种重要的图代数及其性质： 路径代数： 基于图的路径来构造代数。我们将讨论有限维路径代数及其与表示论的联系。 图的代数（例如，顶点代数、边代数）： 讨论直接由图的顶点或边定义的代数结构。 相关的代数： Temperley-Lieb 代数： 与二维统计力学模型和量子群有关。 Hecke 代数： 在代数群、表示论和组合学中扮演重要角色。 Coxeter 群代数： 与反射群的结构和几何相关。 图代数与表示论： 许多图代数是代数表示理论中的重要对象，研究它们的表示可以揭示图的深层结构。 应用： 图代数在代数几何、代数组合学、统计物理、量子信息论等领域有广泛应用。 应用部分： 贯穿全书，本书将强调这些代数结构在不同领域的实际应用。例如： 表示论： 非交换代数是研究群、李代数等数学对象的表示的天然语言。 代数几何： 某些代数结构，如环和代数，是代数几何中的基本研究对象。 代数组合学： 图代数与组合计数、排列组合等问题密切相关。 数论： 非交换代数在数论的某些分支，如代数数论中也有应用。 物理学： 群环和图代数在量子场论、统计力学、量子信息等物理学分支中扮演着重要角色。 计算机科学： 在编码理论、密码学等领域，非交换代数的思想和方法被积极应用。 本书的目标读者包括数学专业的本科生、研究生以及对非交换代数及其应用感兴趣的科研人员。书中力求概念清晰，论证严谨，同时通过丰富的例子和练习，帮助读者掌握这些复杂的代数工具。通过对非交换环、群环和图代数的深入探索，读者将能够深刻理解现代代数研究的前沿，并为进一步的学术研究奠定坚实的基础。

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