Differential Equations with Applications and Historical Notes (International series in pure and appl pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:McGraw-Hill Inc.,US

作者:George F. Simmons

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1972-02

价格:USD 68.71

装帧:Hardcover

isbn号码:9780070573758

丛书系列:

图书标签:

数学
Mathematics
微分方程
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具体描述

《微分方程：理论、方法与现代应用》本书深入探讨了微分方程这一数学核心领域，旨在为读者提供一个全面而严谨的视角。我们从微分方程的基本概念入手，逐步深入到其丰富的理论体系。全书共分为几个主要部分，力求覆盖微分方程的经典理论、现代方法以及其在众多科学技术领域中的广泛应用。第一部分：基础理论与经典方法本部分聚焦于常微分方程（ODE）的基础理论。我们将详细介绍解的存在性与唯一性定理，这些定理是理解方程解的性质的基石。线性微分方程组作为一类特殊但极为重要的方程，我们将对其结构、解空间以及矩阵方法进行详尽的阐述。此外，我们还将深入研究各种经典求解方法，包括变量分离法、积分因子法、常数变易法、级数解法以及拉普拉斯变换法。对于高阶线性微分方程，我们将探讨齐次方程和非齐次方程的通解构造，并引入特征方程及其根的判别，以期掌握求解各种情况下的方法。此外，幂级数解法将在方程解析解难以求得时发挥重要作用，我们也将对此进行细致的讲解。第二部分：偏微分方程的理论与解法偏微分方程（PDE）是描述多变量函数之间关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、金融等领域。本部分将重点介绍几种最基本也是最重要的偏微分方程：一阶线性偏微分方程、二阶线性偏微分方程（包括椭圆型、抛物型和双曲型方程）以及拟线性偏微分方程。我们将阐述其基本性质，并介绍求解这些方程的经典方法，如分离变量法（尤其适用于求解边值问题）、特征线法（主要用于一阶和某些二阶方程）以及格林函数法（一种强大的求解线性非齐次方程边值问题的方法）。我们将通过具体的例子，如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程，来展示这些方法的应用。第三部分：现代分析方法与数值技术随着计算科学的发展，数值方法在微分方程领域的地位日益凸显。本部分将介绍几种重要的数值求解技术，包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等常微分方程的数值解法，以及有限差分法、有限元法、有限体积法等偏微分方程的数值方法。我们将详细阐述这些方法的原理、收敛性分析以及误差估计，并探讨它们在实际问题中的适用性和局限性。此外，我们还将触及一些现代分析方法，例如稳定性分析（李雅普诺夫稳定性）、分岔理论和混沌现象，这些内容将为理解复杂动力学系统的行为提供理论支持。第四部分：微分方程在应用领域的探索微分方程的威力在于其能够精确地刻画和预测自然界及社会经济中的各种现象。本部分将精选一系列典型应用案例，展示微分方程的强大建模能力。我们将涵盖但不限于以下几个方面：物理学应用：从牛顿力学中的运动方程到电磁学中的麦克斯韦方程组，再到量子力学中的薛提谔方程，微分方程是描述物理现象的核心语言。我们将通过具体的物理模型，例如单摆运动、阻尼振动、电容充放电过程等，来演示如何建立和求解相应的微分方程。工程学应用：在结构力学、流体力学、控制理论、电路分析等领域，微分方程无处不在。我们将探讨如何利用微分方程来分析桥梁的振动、预测流体的流动模式、设计稳定可靠的控制系统以及模拟电路的瞬态响应。生物学与生态学应用：种群增长模型（如指数增长、逻辑斯蒂增长）、捕食者-猎物模型（如Lotka-Volterra方程）、传染病传播模型（如SIR模型）等，都依赖于微分方程来描述生物种群的动态变化和疾病的传播规律。经济学与金融学应用：金融衍生品定价（如Black-Scholes模型）、经济增长模型、最优控制在资源分配中的应用等，都离不开微分方程的数学工具。在每个应用案例中，我们都将强调从实际问题出发，如何抽象出合适的数学模型，如何选择恰当的微分方程，以及如何通过理论分析和数值计算来解释和预测现实世界中的现象。本书旨在为数学、物理、工程、生物、经济等领域的学生和研究人员提供坚实而广泛的微分方程知识基础。通过对理论的深入剖析、方法的系统介绍以及应用的广泛展示，我们希望读者能够掌握运用微分方程解决复杂问题的能力，并对这一数学分支的魅力有更深刻的理解。