Projective and Polar Spaces (QMW Mathematics Notes) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Queen Mary College Dept.of Mathematics

作者:Peter J. Cameron

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-01

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780902480124

丛书系列:

图书标签:

• Projective geometry
• Polar spaces
• Incidence geometry
• Finite geometry
• Algebraic geometry
• Combinatorics
• Mathematics
• Geometry
• Topology
• Abstract algebra

射影几何与极空间 本书深入探讨了射影空间和极空间的几何理论，这是现代几何学中两个相互关联且至关重要的概念。本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，并展示这些抽象结构在代数、组合学以及其他数学分支中的应用。 第一部分：射影空间 我们将从射影空间的公理化定义开始。与欧几里得几何中的仿射空间不同，射影空间引入了“无穷远”的概念，从而能够统一处理平行线相交于无穷远点等情况。 射影空间的基本构造： 向量空间的射影化： 介绍如何从一个域上的向量空间出发，通过取子空间的等价类来构造射影空间。我们将讨论射影空间的维度，以及低维射影空间（如射影直线、射影平面）的几何直观。 公理化定义： 建立射影空间的一套独立的公理系统，包括点、线、平面等基本元素以及它们之间的关联关系（如“点在直线上”，“线经过点”）。我们将证明这些公理系统与向量空间构造法得到的射影空间是等价的。 射影变换： 探讨射影变换的性质。射影变换保持射影的性质，例如点共线、线共点等。我们将研究射影变换的群结构，并介绍射影变换的分类，例如仿射变换、相似变换、等距变换与射影变换的关系。 射影坐标： 引入齐次坐标的概念，这是一种表示射影空间中点和超平面的有效方法。通过齐次坐标，我们可以用矩阵运算来描述射影变换，极大地简化了计算。 对偶性原理： 射影空间中一个重要的对称性是点和超平面（在射影平面中是直线）之间的对偶性。我们将详细阐述对偶性原理，并展示它在推导几何定理中的强大威力。 射影平面上的刘维尔定理： 介绍射影平面上一个经典的定理，以及其证明和几何意义。 射影几何中的重要构型： 帕斯卡定理与海歇定理： 介绍这两个在射影平面上描述圆锥曲线（二次曲线）的重要定理。我们将详细阐述它们的表述，并利用射影几何工具和对偶性原理给出它们的证明。 二次曲线（圆锥曲线）： 深入研究射影平面上的二次曲线。我们将讨论二次曲线的定义、分类（椭圆、抛物线、双曲线在射影意义下的统一），以及它们与射影变换的关系。 极线与极点： 引入极线和极点的概念，以及它们与二次曲线之间的密切联系。我们将详细解释极线与极点的定义、性质，以及如何利用它们来研究二次曲线的几何性质。 第二部分：极空间 本部分将视角从射影空间扩展到极空间。极空间是射影空间中一个嵌入了度量（或伪度量）结构的特殊例子，它与我们熟悉的欧几里得几何、闵可夫斯基几何等紧密相连。 极空间的基本构造： 二次型与二次空间： 介绍二次型（或二次函数）的概念，以及由二次型诱导出的二次空间。我们将讨论二次空间中的非退化性和不同类型的二次型（正定、负定、不定）。 极空间与射影空间的关系： 展示如何从一个非退化的二次型出发，构造一个射影空间上的“极结构”。这个结构为射影空间赋予了额外的几何信息。 极点与极线（极平面）： 在极空间中，我们重新审视极点和极线的概念。一个点对应一个极超平面（在射影平面上是直线），反之亦然。这种对应关系是极空间的核心。 极反演： 讨论极反演（也称为极性）这一重要的几何变换。极反演保持极结构，可以将点映为超平面，将超平面映为点。 极空间中的几何： 直线的性质： 研究极空间中直线的性质，特别是直线与极点的关系，以及直线与二次曲线的交点问题。 二次曲线与二次曲面： 进一步研究极空间中的二次曲线和二次曲面。我们将讨论不同类型的二次曲面（如球面、椭球面、双曲面、抛物面），以及它们之间的射影变换关系。 度量结构与角度： 探讨如何从极结构中提取度量信息。我们将介绍如何定义极空间中的距离和角度（尽管这些定义可能与欧几里得几何中的定义有所不同），特别是在欧几里得空间和闵可夫斯基空间等实例中。 极空间上的群： 分析与极空间结构相关的几何变换群，例如正交群、伪正交群等。这些群在物理学（如狭义相对论）和几何学中扮演着重要角色。 二次型的分类与标准形： 研究如何通过坐标变换将任意二次型化为标准形。这将帮助我们理解不同二次曲面的本质几何特征。 第三部分：应用与拓展 本书的最后部分将展示射影几何和极空间在其他数学领域和实际问题中的应用。 代数几何中的联系： 介绍射影空间在代数几何中的基础地位，例如代数簇的定义通常在射影空间中进行。 组合几何中的应用： 探讨射影平面与有限域上的射影平面，以及它们在组合设计、编码理论中的联系。 李群与李代数： 简要介绍射影变换群与其他李群之间的关系，为后续更高级的学习铺平道路。 计算机视觉中的应用： 解释射影几何原理如何在三维场景的二维成像过程中发挥作用，以及如何在计算机视觉中进行相机标定、三维重建等任务。 物理学中的联系： 讨论极空间，特别是闵可夫斯基空间，在狭义相对论和时空几何中的重要性。 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生以及对几何学和相关应用感兴趣的研究人员。通过对本书的学习，读者将能够深入理解射影空间和极空间的丰富结构，并掌握分析和解决几何问题的强大工具。

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