Methods in Classical and Functional Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley Educational Publishers Inc

作者:Einar Hille

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1972-02

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201028447

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
• 经典分析
• 线性算子
• 巴拿赫空间
• 希尔伯特空间
• 谱理论
• 算子理论
• 傅里叶分析
• 测度论

《经典与函数分析方法》 本书深入探索了数学分析的两个核心分支：经典分析与函数分析。作者以清晰的逻辑和严谨的笔触，为读者构建了一个从基础到前沿的分析学知识体系。 卷一：经典分析之旅 卷一聚焦于经典分析的基石，为读者打下坚实的数学基础。 实数理论与测度空间: 本章从实数系的完备性出发，逐步引入测度、可测集与可测函数等概念。我们学习如何量化集合的大小，理解勒贝格测度的强大之处，并为后续的积分理论铺平道路。本章的重点在于培养对抽象集合论概念的直观理解，以及它们在度量空间中的应用。 勒贝格积分: 告别黎曼积分的局限，勒贝格积分以其卓越的完备性和处理复杂函数的优越性，成为现代分析学的核心工具。本章详细阐述了勒贝格积分的构造过程，包括简单函数、渐近可积函数以及一般可积函数的积分定义。我们将深入探讨积分的收敛定理，如单调收敛定理、控制收敛定理，这些定理是进行极限运算与积分运算互换的关键。本章的训练将使读者能够灵活运用勒贝格积分处理各种复杂的分析问题。 Lp空间: Lp空间是函数分析中最为重要的函数空间之一，它们是泛函分析中大量理论和应用的直接出发点。本章将详细介绍 Lp 空间的定义、性质以及它们之间的关系。我们将证明明可夫斯基不等式和赫尔德不等式，它们是 Lp 范数的关键性质。此外，我们还将探讨 Lp 空间中的序列收敛、完备性以及一些重要的子空间，例如连续函数空间 C(K)。理解 Lp 空间及其范数性质，对于后续学习积分方程、微分方程以及信号处理等领域至关重要。 傅立叶级数与傅立叶变换: 傅立叶分析是研究周期函数或任意函数展开为三角函数系的方法，是分析学中一个极其强大的工具，在信号处理、图像处理、偏微分方程等领域有着广泛的应用。本章将从傅立叶级数开始，介绍其收敛性判据，并引出傅立叶变换的概念。我们还将讨论傅立叶变换在 L1 和 L2 空间中的性质，以及其在卷积定理等重要结果中的应用。学习本章内容，将为理解和解决许多工程和科学问题提供重要的数学语言。 卷二：函数分析的殿堂 卷二将视角转向函数分析，深入研究无限维向量空间及其上的线性算子，揭示数学分析的深刻结构。 赋范向量空间与巴拿赫空间: 函数分析的起点是研究向量空间，而赋范向量空间则为向量引入了“长度”的概念。本章将详细介绍赋范向量空间的定义、性质，并引入完备性这一关键概念，从而构造出巴拿赫空间。我们将考察许多重要的巴拿赫空间，如 Lp 空间、C(K) 空间等，并探讨它们在逼近理论和泛函分析中的作用。本章的深入理解是掌握后续所有函数空间理论的基础。 内积空间与希尔伯特空间: 在赋范向量空间的基础上，内积空间进一步引入了“角度”的概念，使得几何直观更加丰富。本章将介绍内积、正交性、正交基等概念，并重点研究完备的内积空间——希尔伯特空间。我们将证明著名的 Riesz 表示定理，它揭示了希尔伯特空间与其对偶空间之间的深刻联系。希尔伯特空间在量子力学、信号处理和偏微分方程等领域具有核心地位。 有界线性算子与算子代数: 函数空间上的线性算子是研究函数变换的重要对象。本章将集中讨论有界线性算子，研究它们的性质，如范数、逆算子等。我们将探讨线性算子的谱理论，这是函数分析中最具挑战性但也最有价值的部分之一，它揭示了算子在复数域上的行为。本章还将初步介绍算子代数，为更高级的研究打下基础。 无界线性算子与算子半群: 并非所有的线性算子都有界，许多重要的算子，例如微分算子，都是无界的。本章将深入研究无界线性算子，介绍其闭包、定义域等概念，并重点阐述算子半群理论。算子半群在描述演化方程（如抛物型和抛物方程）的解的性质方面发挥着至关重要的作用。本章将为理解偏微分方程的动力学行为提供强大的分析工具。 变分法初步: 变分法是研究函数（或泛函）的极值问题的学科，它在物理学、工程学和最优化理论中有着广泛的应用。本章将介绍变分法的基本概念，包括泛函、变分导数等，并探讨一些经典的变分问题，例如测地线问题。我们将展示如何利用变分法将一些实际问题转化为数学上的优化问题，并通过求解变分方程来获得问题的解。 本书通过理论与应用的结合，旨在为读者提供一个系统、深入的分析学学习体验。无论您是希望夯实数学基础的学生，还是寻求前沿研究工具的研究者，本书都将是您宝贵的参考。

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