具体描述
《多复变函数基础》 本书是一部深入浅出的多复变函数理论入门教材，旨在为读者构建扎实而全面的基础知识体系。全书共分十章，从最基础的概念出发，逐步攀升至更为复杂而精妙的理论。 第一章 欧氏空间中的向量与度量 本章将带领读者回顾并巩固在欧氏空间中的基本概念。我们将详细介绍向量的定义、运算，包括线性组合、内积、范数等，并着重阐述距离和度量在几何空间中的重要作用。通过对欧氏距离的定义及其性质的探讨，为后续引入复向量空间和多复变流形的概念打下基础。 第二章 C^n 中的拓扑 本章将深入探讨复向量空间 $C^n$ 的拓扑结构。我们将定义并研究开集、闭集、紧集、连通集等基本拓扑概念，并重点考察 $C^n$ 上的标准拓扑。我们会讨论序列收敛、点集稠密性、局部紧性等关键性质，并通过具体例子加深理解。此外，还将引入度量空间的概念，并展示 $C^n$ 是一个完备的度量空间。 第三章 C^n 中的解析函数 本章是本书的核心内容之一，我们将正式引入多复变函数。我们从单复变函数的可微性和解析性的概念出发，自然地推广到 $C^n$ 中的可微性和全纯性。我们将详细讨论 $C^n$ 中的全纯函数定义，并给出著名的柯西-黎曼方程组在多复变情况下的推广。我们将证明，满足柯西-黎曼方程组的函数在 $C^n$ 中是全纯的，并探讨全纯函数的性质，如其局部泰勒展开等。 第四章 区域上的全纯函数 在上一章的基础上，本章将把研究的范围扩展到 $C^n$ 的子集（区域）上。我们将定义并研究区域上全纯函数的性质，例如柯西积分定理、柯西积分公式及其在研究全纯函数导数方面的应用。此外，还将讨论刘维尔定理、最大模原理、零点孤立性等重要结论，这些结论在解析延拓和函数性质的刻画中扮演着关键角色。 第五章 积分与导数 本章将进一步深化对多复变函数积分和导数的理解。我们将详细介绍复积分的定义、性质，包括沿曲线积分的计算方法。我们还将探讨积分与微分的交换关系，以及如何利用积分来定义和刻画函数的性质。本章还将引入函数的导数概念，并讨论高阶导数的存在性及其性质。 第六章 幂级数与收敛 幂级数是研究全纯函数的重要工具。本章将详细介绍 $C^n$ 中的幂级数，包括多变量幂级数的定义、收敛域的判定。我们将讨论阿贝尔定理在多复变情况下的推广，并研究幂级数收敛域内的性质，如其和函数的可微性和解析性。幂级数展开将成为后续研究函数性质的基础。 第七章 区域上的同构与解析延拓 本章将探讨区域之间的同构关系以及解析延拓这一重要概念。我们将定义区域上的同构映射，并讨论一些基本的同构定理。更重要的是，我们将深入研究解析延拓的理论，包括单值解析延拓和多值解析延拓。我们将讨论解析延拓的存在性和唯一性，以及它在研究函数解析区域方面的应用。 第八章 黎曼曲面 黎曼曲面是多复变函数理论中一个非常优美而深刻的概念，本章将对黎曼曲面进行初步的介绍。我们将从单复变函数的角度，回顾黎曼曲面的基本思想，即如何通过“缝合”来构造多值函数的单值化表示。然后，我们将初步探讨多复变情况下黎曼曲面的构造思想，并介绍一些基础的黎曼曲面的例子，为后续更深入的研究奠定基础。 第九章 调和函数 调和函数在数学和物理学中都有着广泛的应用。本章将介绍 $C^n$ 中的调和函数，即满足拉普拉斯方程的实值函数。我们将探讨调和函数与全纯函数之间的深刻联系，证明全纯函数的实部和虚部都是调和函数，反之亦然（在一定条件下）。本章还将介绍一些调和函数的性质，如其具有连续的导数，并且可以通过解析函数的实部或虚部来构造。 第十章 勒贝格积分初步 本章将对勒贝格积分进行初步的介绍，为读者提供一个更强大的积分理论工具。我们将简要回顾黎曼积分的局限性，并介绍勒贝格测度、可测函数和勒贝格积分的基本概念。我们将讨论勒贝格积分的性质，如其比黎曼积分更广泛的适用性，以及一些重要的收敛定理，如控制收敛定理。虽然本章是初步介绍，但它将为读者未来在更高级的分析课程中学习积分理论打下坚实的基础。 全书结构严谨，逻辑清晰，语言流畅，配有丰富的例题和练习题，旨在帮助读者理解抽象概念，掌握基本方法，并培养解决问题的能力。本书适合高等院校数学专业本科生、研究生以及对多复变函数理论感兴趣的科研人员阅读。
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