Episodes in the History of Modern Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jeremy J. Gray and Karen Hunger Parshall

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2007-7-18

价格:USD 69.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821843437

丛书系列:

图书标签:

• Modern Algebra
• Abstract Algebra
• History of Mathematics
• Algebraic Structures
• Polynomials
• Galois Theory
• Group Theory
• Field Theory
• Number Theory
• Mathematical History

《现代代数发展史话：探索抽象数学的演进之旅》 本书将带领读者踏上一段扣人心弦的旅程，深入探寻现代代数这一数学皇冠上璀璨明珠的诞生与演进。它并非一本枯燥的教科书，而是以生动翔实的故事，勾勒出那些非凡的数学家如何凭借智慧、洞察与不懈的努力，一步步将代数从古老算术的束缚中解放出来，铸就了今日我们所熟知的抽象、严谨且威力无穷的现代代数体系。 第一章：萌芽与孕育——从方程到群的初步探索 在现代代数光辉灿烂的图景出现之前，代数的根基已悄然奠定。本章将回溯历史的长河，聚焦于那些早期对代数形式化和抽象化进行开创性思考的人物。我们将探讨意大利文艺复兴时期数学家们在求解三次、四次方程上的突破，例如费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺之间的智慧较量。他们的工作虽然主要集中在具体方程的求解，但其中蕴含的代数技巧和对根的性质的初步研究，为后来的抽象化奠定了基础。 随后，我们将目光转向18世纪末19世纪初，挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔的杰出贡献。他以其严谨的证明，无可辩驳地宣告了五次及以上一般多项式方程不存在用根式求解的方法。这一“负面”的发现，看似是终结，实则是现代代数诞生的强大催化剂。阿贝尔的研究迫使数学家们超越了对具体方程的执着，开始思考方程根系所具备的更普遍的结构和规律。 与阿贝尔同时代但略有交集的法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，更是将这一探索推向了前所未有的高度。伽罗瓦理论的诞生，标志着代数研究的范式发生了根本性转变。本章将详述伽罗瓦如何将群论的概念引入到方程论的研究中，将方程的可解性问题与根的置换群的结构联系起来。他的思想何等超前，以至于在他英年早逝后，他的理论的深刻性才被后来的数学家们逐渐理解和发扬光大。我们将剖析伽罗瓦如何通过研究置换群来判断一个多项式方程是否可解，并揭示其理论与早期代数问题的深刻联系。 第二章：抽象的诞生——群论的崛起与初步发展 伽罗瓦理论的出现，如同在数学的旷野上点燃了一盏明灯，照亮了通往抽象代数的大道。本章将深入探讨群论作为现代代数核心概念之一的崛起过程。我们将介绍19世纪中后期，数学家们如何从伽罗瓦的研究中汲取灵感，开始独立发展群论。 英国数学家亚瑟·凯莱在群论的发展中扮演了至关重要的角色。他清晰地定义了群的概念，并提出了著名的凯莱定理，即任何有限群都同构于某个置换群。这一定理将抽象群与更具体的置换群联系起来，极大地促进了群论的研究。本章将详细阐述凯莱定理的内容及其意义，以及他对群代数的研究。 同时，我们也将介绍其他早期在群论领域做出贡献的数学家，例如奥古斯丁·路易·柯西，他早期对置换群的研究为后来的发展奠定了基础。我们将探讨当时数学家们如何逐步完善群的定义，研究群的性质，例如子群、陪集、正规子群等基本概念的形成。 这一时期，群论的研究虽然仍在初步阶段，但其抽象的本质和强大的普适性已经显露无疑。它不仅仅是解决代数方程的工具，更是一种认识数学结构的新视角，预示着一个更加广阔和深刻的数学世界的到来。 第三章：结构的绽放——环、域与线性代数的发展 随着群论的成熟，数学家们开始将抽象化的思想应用于其他代数结构。本章将聚焦于环、域等更一般代数结构的出现，以及线性代数这一重要分支的独立发展。 我们将回溯理想（ideal）概念的诞生，理解它是如何由恩斯特·库默和理查德·戴德金等人为解决代数数域中的唯一因子分解问题而提出的。理想的引入，为研究环的结构提供了强大的工具，并最终导致了戴德金环、诺特环等重要概念的形成。我们将介绍戴德金如何通过代数整数的环来研究数域，以及他的理想理论的深刻影响。 与此同时，域（field）作为具有加法和乘法两种运算的代数结构，其重要性也日益凸显。我们将探讨柯西、克罗内克以及最终由理查德·戴德金和菲利克斯·克莱因等人逐渐完善的域的概念。域在数域扩张、多项式方程的求解以及高等几何等领域扮演着核心角色。 线性代数的发展，与矩阵、向量空间等概念的引入紧密相连。本章将追溯19世纪数学家们，如西尔维斯特、凯莱、哈密顿等人，在矩阵理论和线性方程组求解方面的开创性工作。我们将讨论向量空间概念的抽象化过程，以及它如何成为理解线性变换和线性方程组的统一框架。矩阵作为一种强大的代数工具，如何从解决线性方程组的需求中孕育而出，并逐渐演变成研究线性映射和多项式不变量的核心。 第四章：逻辑的严谨与公理化的基石 现代代数之所以具有强大的普适性和严谨性，离不开数学逻辑和公理化方法的深刻影响。本章将探讨数学家们如何通过对代数概念进行公理化定义，使其摆脱了对具体模型的依赖，获得了更高的抽象层次。 我们将介绍布尔代数的发展，它如何将逻辑运算形式化，为代数提供了一种新的视角。虽然布尔代数在早期可能被视为一种独立的数学分支，但其蕴含的结构和思想，无疑对后来的抽象代数研究产生了潜移默化的影响。 更重要的是，我们将关注20世纪初数学家们对代数结构进行公理化定义的努力。大卫·希尔伯特等人的工作，强调了通过一套公理来定义数学对象的重要性。我们将探讨希尔伯特如何提出他的“公理化数学”的宏伟计划，以及他对代数结构的公理化研究。 埃米·诺特在抽象代数的发展中，以其深刻的洞察力和卓越的贡献，树立起一座不朽的丰碑。本章将着重介绍诺特的“诺特定理”，它深刻地揭示了理想的结构，并为代数研究带来了革命性的进展。我们将详细阐述诺特如何将抽象化的思想贯彻到环和模的研究中，她对抽象代数发展的“公理化”和“结构化”的贡献，以及她如何引导了整个数学界对代数结构的理解。诺特的思想，如同数学界的一座灯塔，指引着抽象代数向前发展。 第五章：现代代数的璀璨——抽象代数体系的形成与分支 在经历了前期的探索、孕育与严谨的奠基之后，现代代数迎来了其蓬勃发展的黄金时期。本章将勾勒出20世纪以来，抽象代数体系如何逐渐成型，并形成众多令人瞩目的分支。 我们将介绍同调代数、范畴论等新兴分支的出现，它们为理解和连接不同的代数结构提供了全新的视角和强大的工具。同调代数如何通过研究链复形和同调群来揭示代数对象的深层结构，以及范畴论如何以其高度抽象的语言，统一和概括了数学中的各种结构和映射。 本章还将触及代数几何、代数数论、表示论等与代数紧密交织的重要分支。我们将简要介绍代数几何如何利用环论和域论的工具来研究几何对象，代数数论如何将数论问题置于代数结构中进行研究，以及表示论如何通过研究群在向量空间上的作用来理解群的结构。 我们将强调，现代代数并非一个孤立的学科，而是与其他数学分支相互渗透、相互促进的。它的发展，不仅为数学本身带来了深刻的洞察，也为物理学、计算机科学、密码学等众多领域提供了坚实的理论基础和强大的工具。 结语：永恒的探索与未来的展望 《现代代数发展史话》的旅程即将结束，但对抽象数学的探索永无止境。本章将对现代代数的发展进行一个概括性的回顾，并展望其未来的发展方向。 我们将重申抽象代数作为一种研究数学普遍结构的强大理论体系的重要性，它教会我们如何从现象的表面深入到事物的本质，如何用简洁而优美的语言描述复杂的数学关系。 我们将思考，在信息时代和大数据背景下，现代代数将如何继续发挥其作用。例如，在密码学中，群论和域论提供了安全的加密算法的基础；在计算机科学中，抽象代数则在算法设计、编码理论等方面有着广泛的应用。 本书希望通过对现代代数发展历程的追溯，不仅让读者了解这一学科的来龙去脉，更重要的是激发读者对数学抽象之美的热爱，感受数学家们探索未知世界的勇气与智慧。现代代数的故事，是人类智慧不断超越自我的壮丽史诗，它将继续激励着一代又一代的数学家，去探索更深邃的真理，去构建更宏伟的数学大厦。

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