Vertex Algebras and Algebraic Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Edward Frenkel

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:2004-8-25

价格:USD 76.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821836743

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• mathematics
• Math
• Vertex Algebras
• Algebraic Curves
• Mathematical Physics
• Representation Theory
• Conformal Field Theory
• String Theory
• Mathematics
• Algebra
• Geometry
• Analysis

探索数学的深邃花园：代数几何与表示论的交织 本书将带领读者深入探索数学的两大核心分支——代数几何与表示论——它们之间令人着迷的深刻联系。我们并非聚焦于任何一本特定的著作，而是旨在揭示贯穿这两个领域的普适性概念、结构以及它们所催生的丰富理论。本书将以一种深入浅出的方式，为数学研究者、高年级本科生及研究生提供一个理解这两个领域交汇之处的坚实基础，并启发其进一步的研究方向。 代数几何的基石：几何的语言 代数几何，顾名思义，是将代数的方法引入几何研究的领域。它赋予了我们一种强大的语言来描述和分析几何对象，将几何的直观性与代数的严谨性巧妙地结合起来。本书将首先梳理代数几何的核心概念，从最基础的点、线、平面出发，逐渐过渡到更复杂的代数簇。 我们将详细阐述环在代数几何中的关键作用。多项式环及其理想，构成了描述代数簇的基本框架。一个代数簇本质上是某个多项式理想的零点集。本书将深入探讨多项式环的结构，以及诺特环的概念。诺特环的性质确保了代数簇的“良好行为”，例如有限性以及可以被有限多个方程定义的性质。我们将详细介绍希尔伯特基定理，它证明了任何理想都可以被有限个生成元生成，这对于理解代数簇的结构至关重要。 接着，我们将探讨理想与簇之间的对应关系。这是代数几何的灵魂所在。本书将详述零点定理（Nullstellensatz），它精确地刻画了代数簇与代数理想之间的双射关系。理解这一点，意味着我们可以通过研究代数结构（如理想）来推断几何性质（如簇的形状和性质），反之亦然。 本书将重点介绍射影簇和仿射簇。仿射簇是定义在向量空间中的代数簇，而射影簇则定义在射影空间中，它们能够更好地处理“无穷远点”等几何概念。我们将详细讲解齐次理想在定义射影簇中的作用，以及齐次坐标的概念。 此外，层论（Sheaf Theory）是现代代数几何中不可或缺的工具。本书将介绍预层和层的概念，以及它们在代数簇上的构造。层允许我们在局部上研究代数簇的性质，并通过粘合这些局部信息来获得全局的认识。我们将探讨阿贝尔层，以及在代数簇上定义的各种重要层，例如结构层。结构层将环论的概念从全局推广到局部，使我们能够进行更精细的研究。 表示论的广阔天地：对称性的语言 与代数几何相对应，表示论专注于研究群、代数结构以及其他数学对象的“对称性”。它将抽象的代数结构映射到线性代数中的向量空间及其线性变换，从而将抽象的代数问题转化为几何和分析问题。本书将深入剖析表示论的核心概念。 我们将首先从群的表示入手。一个群的表示是将群的元素映射到向量空间上的可逆线性变换的同态。本书将详述不可约表示的概念，它们是表示论中最基本的构建块。我们将介绍完全可约表示，并讲解如何将任意表示分解为不可约表示的直和。 本书将详细阐述群代数的作用。对于一个有限群 $G$，其群代数 $k[G]$（其中 $k$ 是一个域）是研究 $G$ 的表示的一个强大工具。我们将讨论 $k[G]$ 的代数结构，以及它与 $G$ 的表示之间的深刻联系。Maschke定理在有限群的表示论中至关重要，它表明在特征不整除群阶的域上，任何 $G$ 的表示都是完全可约的。 我们将进一步将表示论的视角扩展到代数结构，特别是李代数和结合代数。李代数的表示研究李群的无穷小对称性，而结合代数的表示则更为普遍，能够涵盖更多的代数结构。本书将重点介绍模（Modules）的概念，它是在结合代数上定义的向量空间，并且代数中的乘法与向量空间中的线性变换相容。不可约模和投射模是研究结合代数表示的基本单元。 交织的丝线：深层联系的揭示 本书最核心的贡献在于揭示代数几何与表示论之间令人惊叹的深刻联系。这些联系并非偶然，而是源于它们在研究对称性、结构以及“解耦”复杂对象方面的共同目标。 一个重要的交汇点在于环论。代数簇是由多项式理想定义的，而多项式环的结构直接影响着代数簇的性质。另一方面，许多表示论中的代数结构，例如李代数包络代数或量子群，本身就是复杂的结合代数，它们的研究目标就是其模的表示。本书将阐释如何将代数几何中的代数工具应用于理解表示论中的代数结构，反之亦然。 例如，代数簇的函数域为研究其几何性质提供了代数上的视角。同样，表示的类别也构成了丰富的代数结构。本书将探讨这些代数结构之间的同构或嵌入关系，例如Hecke代数等中间结构，它们在连接表示论和代数几何方面起着至关重要的作用。 算子代数在两个领域中都扮演着关键角色。在代数几何中，我们研究在代数簇上的层，它们构成了某种形式的代数结构。在表示论中，我们研究代数上的模，它们也是代数结构。本书将深入探讨算子代数如何提供一个统一的框架来研究这两种结构，并揭示它们之间的深层联系。 几何表示论是一个蓬勃发展的领域，它利用代数几何的工具来研究表示论的问题。例如，代数簇上的李代数作用，或者群代数与代数簇之间的相互作用。本书将介绍一些经典的例子，如德灵-马宁理论（Delerue-Manin theory），它利用代数几何来研究特定的表示，以及代数曲面上的群作用的几何刻画。 李代数表示与代数簇的联系同样深远。李代数的表示可以与特定类型的代数簇相关联，例如旗簇，它是由群作用产生的不变子簇。本书将详细介绍旗簇的几何性质，以及它们如何编码李代数的表示信息。 量子群的出现极大地拓展了这一联系。量子群既是代数结构，也具有几何解释。它们在统计力学、量子信息以及各种代数结构的研究中扮演着关键角色。本书将介绍量子群的基本概念，以及它们与代数曲线和顶点代数等更高级结构之间的联系。 顶点代数：连接的桥梁 顶点代数，作为一种特殊的代数结构，在连接代数几何与表示论方面起着尤其重要的作用。顶点代数本身可以看作是无限维的李代数或结合代数，它们拥有丰富的表示论。同时，顶点代数也与代数曲线的几何性质紧密相关。 本书将详细阐述顶点代数的基本公理和性质，以及初等顶点代数的构造。我们将重点介绍李代数的顶点代数实现，以及共形场论中的作用。 更重要的是，本书将深入探讨顶点代数与代数曲线之间的深刻联系。例如，模函数与顶点代数的表示有着密切的关系，而模函数本身又与代数曲线上的自守形式密切相关。吉康-维滕（Gelfand-MacPherson）公式等结果，就揭示了代数簇的同调论与表示论之间的联系。 韦尔-拉普兰兹（Verlinden-Laplante）理论等理论，利用代数几何的方法来研究顶点的表示，以及顶点代数与代数簇之间的对应关系。本书将介绍这些理论的核心思想，以及它们如何为理解这两个领域提供新的视角。 展望与启迪 本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，使其能够理解代数几何与表示论交织所产生的强大理论工具和深刻洞见。通过对这两个领域核心概念的深入探讨，以及对它们之间联系的细致梳理，我们希望能激发读者对数学前沿问题的思考，并为其进一步的研究提供灵感。 本书的受众不仅限于理论数学家，也对对数学理论感兴趣的研究人员、工程师以及学生开放。我们相信，对这些基础理论的理解，将有助于他们在各自的领域中更好地应用数学工具，并可能催生出新的研究方向和应用。 本书的结构旨在循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论。我们鼓励读者积极思考，并将书中的概念与自己熟悉的领域联系起来。数学的美在于其统一性和深刻性，而代数几何与表示论的交织，正是这种美学的绝佳体现。希望本书能成为您探索数学深邃花园的一盏明灯。

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没有全看，但前几章写的的确很好。

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开始几章的vertex algebra讲得非常清楚，适合入门。

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没有全看，但前几章写的的确很好。