具体描述
This book presents the content and applications in an accessible manner while maintaining an appropriate level of rigor. The authors proceed from familiar material to new, and from concrete examples to general rules and formulas. This edition retains its focus on real-world problem solving, but has been refreshed with a wealth of new data in the examples and exercises—42% of the 452 examples are new or revised, and 31% of the 3,741 exercises are new or revised.
《现代概率论导论》 内容简介 《现代概率论导论》是一本旨在为读者系统性地介绍概率论基础及其广泛应用的书籍。本书力求在严谨的数学框架下，清晰地阐释概率论的核心概念，并通过大量精心挑选的实例，展现概率论在科学、工程、金融、社会科学等众多领域的强大生命力。本书特别注重培养读者的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使其能够理解并运用概率论的工具来分析和预测不确定性现象。 第一部分：概率论的基石 在本书的第一部分，我们将为读者打下坚实的概率论基础。 第一章：概率空间与事件 本章首先引入概率论研究的对象——随机现象，并解释其与确定性现象的区别。我们将正式定义概率空间，其由样本空间、事件域（或称σ-代数）和概率测度构成。样本空间是所有可能结果的集合，事件域是样本空间上所有我们关心的“可测量”事件的集合，而概率测度则为每个事件赋予一个介于0与1之间的数值，代表其发生的可能性。我们将详细讨论事件的类型，如基本事件、复合事件，以及事件之间的关系，如并集、交集和补集。事件的运算在概率计算中至关重要，我们将通过具体的例子来说明这些运算的含义。此外，条件概率的概念将首次引入，它描述的是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。这为理解许多复杂的概率模型奠定了基础。 第二章：概率的计算与性质 本章深入探讨概率的计算方法和基本性质。我们将介绍计算概率的几种基本原则，如加法法则（用于计算互斥事件或非互斥事件的并集概率）和乘法法则（用于计算联合事件的概率）。对于有限样本空间，我们将讨论古典概率的计算方法，即在等可能性的假设下，事件发生的概率等于其包含的基本事件数与样本空间总基本事件数之比。然而，概率论的应用远不止于此，我们将引入频率解释和主观解释等概率的理解方式，以适应不同场景的需求。离散型随机变量及其概率分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）的定义和性质将得到详细讲解。对于连续型随机变量，我们将引入概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF），并解释它们之间的关系。连续型分布的例子，如均匀分布、指数分布和正态分布，也将被详细阐述，并探讨它们在现实世界中的应用。 第三章：随机变量及其分布 本章将正式引入随机变量的概念，它是一个将随机实验的结果映射到实数或向量的函数。我们将区分离散型随机变量和连续型随机变量，并分别讨论它们的概率分布。对于离散型随机变量，我们将介绍概率质量函数（PMF），它给出每个可能取值的概率。对于连续型随机变量，我们将介绍概率密度函数（PDF），它描述了在某个点附近取值的“密度”。累积分布函数（CDF）将在本章中得到更为深入的阐述，它给出随机变量取值小于或等于某个给定值的概率。我们将探讨CDF的性质，如其单调非减性和边界值。此外，本章还将介绍联合分布，用于描述多个随机变量的共同概率行为，以及边缘分布和条件分布，它们分别是对联合分布的“降维”或“条件化”处理。 第二部分：随机变量的特性与交互 在掌握了随机变量的基本概念后，第二部分将深入探讨它们的特性和相互作用。 第四章：期望、方差与矩 本章聚焦于随机变量的几个核心统计特征：期望、方差和矩。期望，也称为均值，代表了随机变量的平均取值。我们将介绍计算离散型和连续型随机变量期望的方法，并探讨期望的线性性质。方差是衡量随机变量取值离散程度的指标，它定义为随机变量与其期望之差的平方的期望。我们将推导方差的计算公式，并介绍方差的性质，如方差为非负性。标准差，即方差的平方根，也将被介绍，它具有与随机变量相同的单位，更易于解释。本章还将引入更高阶的矩，如三阶矩和四阶矩，它们提供了关于概率分布形状的更多信息，例如偏度（衡量分布的不对称性）和峰度（衡量分布的尖锐程度）。这些统计量对于理解和比较不同的概率分布至关重要。 第五章：常见概率分布 本章将对一些在实际应用中最为重要的概率分布进行详细介绍。我们将回顾并拓展离散型分布，如伯努利分布（一次独立成功的试验）、二项分布（n次独立试验中成功的次数）、泊松分布（单位时间内发生某事件的次数）以及几何分布（首次成功所需的试验次数）。对于连续型分布，我们将深入探讨均匀分布（在一定区间内所有值等概率出现）、指数分布（两次事件发生之间的时间间隔）、正态分布（钟形曲线，自然界中广泛存在）以及卡方分布、t分布和F分布（在统计推断中扮演重要角色）。对于每种分布，我们将讨论其概率密度函数（或质量函数）、期望、方差，并给出其典型应用场景，例如泊松分布在计数问题中的应用，指数分布在可靠性分析中的应用，以及正态分布在测量误差和统计建模中的广泛应用。 第六章：联合分布与相关性 本章将扩展到多个随机变量的情况，介绍它们的联合分布。我们将讨论联合概率质量函数（对于离散型）和联合概率密度函数（对于连续型），以及联合累积分布函数。从联合分布中，我们可以推导出边缘分布，即单个随机变量的分布，以及条件分布，即在一个随机变量取特定值的情况下，另一个随机变量的分布。本章还将引入协方差，用于衡量两个随机变量之间线性关系的强度和方向。协方差可以为正、为负或为零，分别表示正相关、负相关或不相关。相关系数，即协方差的标准化形式，将提供一个无量纲的指标，其值介于-1和1之间，方便比较不同变量对之间的相关性。我们将讨论独立性与相关性之间的关系，并强调不相关并不意味着独立。 第三部分：统计推断与应用 第三部分将把概率论的理论知识应用于实际问题，介绍统计推断的基本方法。 第七章：大数定律与中心极限定理 本章介绍概率论中最具影响力的两个定理：大数定律和中心极限定理。大数定律指出，随着独立同分布的随机变量样本数量的增加，其样本均值将收敛于其期望值。这将解释为什么我们在重复试验中观察到的频率会趋近于理论概率。我们将区分弱大数定律和强大数定律。中心极限定理则是一个更为强大的结果，它表明，无论原始分布如何，足够多独立同分布的随机变量之和（或均值）的分布将趋近于正态分布。这个定理是许多统计推断方法的基础，尤其是在处理样本均值分布时，即使原始数据不服从正态分布，样本均值的分布也近似服从正态分布，从而可以使用基于正态分布的统计工具。 第八章：参数估计 本章开始介绍统计推断的核心内容——从样本数据中推断总体的未知参数。我们将介绍点估计，即用一个单一的数值来估计未知参数，并讨论常用的点估计方法，如矩估计和最大似然估计。我们将评估点估计的性质，如无偏性、一致性和有效性。之后，我们将介绍区间估计，即为未知参数构造一个包含其真实值的概率区间，称为置信区间。我们将详细讲解如何构建一个特定置信水平（例如95%或99%）的置信区间，并解释置信区间的含义。我们将讨论影响置信区间宽度的因素，如样本量、置信水平和总体方差。 第九章：假设检验 本章介绍假设检验的基本框架，这是一种用于根据样本数据评估关于总体参数的断言（假设）的方法。我们将学习如何设定原假设（H0）和备择假设（H1），并介绍检验统计量的概念，它是一个从样本数据计算出来的量，用于衡量样本数据与原假设一致的程度。我们将讨论拒绝域和接受域，以及如何根据检验统计量的值来做出决策。本章还将深入讲解两种重要的错误类型：第一类错误（错误地拒绝真实的原假设）和第二类错误（未能拒绝虚假的原假设）。我们将介绍显著性水平（α）和统计功效（1-β），并讨论如何权衡这两种错误。我们将通过具体例子，如t检验、z检验和卡方检验，来演示如何进行假设检验。 第十章：马尔可夫链 本章将引入一个重要的随机过程模型——马尔可夫链。马尔可夫链是一种序列系统，其未来的状态只取决于当前状态，而与过去的状态无关，这种性质被称为“马尔可夫性”。我们将定义马尔可夫链的状态空间、转移概率矩阵以及转移方程。我们将讨论马尔可夫链的性质，如平稳分布（在长时间演化后，系统进入稳定状态的概率分布），以及如何计算长期转移概率。马尔可夫链在模拟系统演化、队列分析、信息传播、金融建模等方面有着广泛的应用，本章将通过一些实例来展现其强大的建模能力。 第四部分：概率论的应用领域 在最后一部分，我们将展示概率论是如何渗透到各个学科领域，成为解决复杂问题的强大工具。 第十一章：金融数学中的概率论 本章将重点探讨概率论在金融领域的应用。我们将介绍随机游走模型，它被用来描述股票价格等金融资产价格的随机变动。我们将讨论期权定价中的布莱克-斯科尔斯模型，这是一个基于维纳过程（一种连续时间的马尔可夫过程）的经典模型。我们还将介绍风险管理中的一些概念，如VaR（在险价值）的计算，以及投资组合优化中的均值-方差模型，它涉及到对资产收益率的期望和方差进行分析。 第十二章：统计建模与数据分析 本章将展示概率论如何作为统计建模和数据分析的基础。我们将介绍线性回归模型，它利用概率分布来描述变量之间的线性关系，并讨论如何进行参数估计和假设检验。我们还将简要介绍广义线性模型，它将线性模型扩展到非正态分布的数据，例如在计数数据或二元数据分析中。此外，我们将讨论模型选择和模型评估的原则，以及如何使用各种统计指标来判断模型的优劣。 第十三章：其他应用领域 本章将简要介绍概率论在其他众多领域的应用。例如，在物理学中，概率论是统计力学和量子力学的基石；在计算机科学中，概率论被用于算法分析、机器学习（如贝叶斯网络）和随机算法的设计；在生物学中，概率论被用于遗传学、流行病学和生态学模型；在工程学中，概率论用于可靠性工程、质量控制和信号处理；在社会科学中，概率论被用于调查研究、人口统计学和行为建模。通过这些简要的介绍，读者将能更全面地认识到概率论的普适性和重要性。 《现代概率论导论》旨在为读者提供一个全面、深入且实用的概率论学习体验。本书的编写风格力求清晰易懂，逻辑严谨，同时注重理论与实践的结合，希望能够激发读者对概率论的兴趣，并为他们在各自领域的研究和工作中提供有力的支持。
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