Finite Permutation Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press Inc.,U.S.

作者:Helmut Wielandt

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1964-12

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780127496566

丛书系列:

图书标签:

• 群论
• 置换群
• 有限群
• 代数
• 组合数学
• 数学
• 抽象代数
• 群表示论
• 对称性
• 算法

有限置换群：结构、分类与应用 本书是一部关于有限置换群的深入研究著作，旨在为读者提供一个全面而详实的理论框架。置换群作为群论中最基础也是最核心的概念之一，在数学的各个分支以及物理、化学、计算机科学等领域都扮演着至关重要的角色。本书将带领读者循序渐进地探索有限置换群的丰富结构，深入理解其分类体系，并广泛介绍其在不同学科中的应用。 第一部分：基础理论与基本概念 在开始深入探讨之前，本书首先会回顾和建立理解有限置换群所需的必要基础。这包括对群论基本概念的梳理，如群的定义、子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构等。我们将详细阐述置换的概念，包括单置换、对换、循环置换及其组合。置换群的定义将被清晰地引入，并讨论其基本性质，例如置换群的阶、中心、生成元等。 我们还将深入介绍置换群的表示理论。对称群 $S_n$ 作为所有 $n$ 个元素的置换构成的群，其结构复杂而重要，我们将花费大量篇幅来分析 $S_n$ 的子群结构，特别是其在 $n ge 5$ 时存在的单群结构——交错群 $A_n$。本书将详尽展示如何通过分解置换为不相交的循环来理解置换的代数结构，并利用这些分解来计算置换的阶、判断置换的奇偶性。此外，共轭类在置换群的研究中起着核心作用，我们将详细阐述如何刻画置换群的共轭类，以及它们与群的结构之间的深刻联系。 第二部分：有限置换群的结构理论 本部分将进入有限置换群结构研究的核心。我们将从Sylow定理出发，这是有限群结构理论的基石。Sylow定理提供了关于有限群的Sylow $p$-子群的存在性、个数及其共轭性质的强有力信息。我们将详细证明Sylow定理，并展示如何利用Sylow定理来分析和分类有限置换群。 进一步，本书将深入探讨有限置换群的几个重要结构类。我们将详细介绍单群的概念，即除了平凡群和自身之外没有其他正规子群的群。有限单群的分类是20世纪数学中最辉煌的成就之一，虽然本书的篇幅有限，但我们会重点介绍一些最基本、最常出现的有限单群，如循环群、幂零群、可解群以及一些小的散在单群。 本书还将引入置换群的“性质”（properties），例如传递性（transitive）、本原性（primitive）、2-传递性（2-transitive）等。这些性质为理解置换群作用于集合的“方式”提供了重要的视角。我们将详细分析这些性质的定义、判别准则以及它们之间的关系。例如，一个本原置换群是一个传递置换群，其固定子群的极大子群不是该集合的区段（block）。本原置换群的研究将引出一些重要的定理，例如由Berge和Nogues给出的关于本原置换群的一个重要结论。 第三部分：有限置换群的分类 分类问题是有限群论中的一个核心问题，对于有限置换群而言，分类研究同样至关重要。本书将概述有限置换群分类的整体思路，并重点介绍一些经典的分类结果。 我们将从介绍一些特殊阶的有限群的分类开始，例如阶为 $p^a q^b$ 的群。接着，我们将转向对特定结构的置换群进行分类，例如，所有阶为 $n$ 的置换群的分类，以及同构意义下特定子群结构的置换群的分类。 对于一些重要的置换群结构，我们将提供详细的分类证明，例如，将研究并分类所有作用于 $n$ 个点的传递置换群，以及所有作用于 $n$ 个点的本原置换群。本书将特别关注一些著名的置换群，如 Mathieu群，并阐述它们在有限单群分类中的特殊地位。 第四部分：有限置换群的应用 本书的最后部分将聚焦于有限置换群在不同领域的应用，以展现其强大的理论生命力和实践价值。 代数方面： 置换群在有限域上的伽罗瓦理论中扮演着关键角色，用于刻画方程根的置换关系。本书将阐述置换群与域扩张之间的对应关系，并说明如何利用置换群来研究多项式的根的性质。此外，置换群在有限单群理论中是必不可少的研究工具，我们将简要介绍其在这一领域的贡献。 组合数学方面： 置换群在组合计数、图论、编码理论等方面有广泛的应用。我们将讨论Burnside引理和Polya计入定理，这些定理利用置换群的对称性来解决复杂的计数问题，例如计算不同着色的对象的数量。例如，我们将利用Polya计入定理来解决着色立方体、正多面体等计数问题。 几何方面： 置换群在对称性研究中起着核心作用。例如，在多面体分类、晶体学中，对称群就是作用在多面体顶点上的置换群。本书将展示如何利用置换群来描述和分析各种几何对象的对称性。 计算机科学方面： 置换群在密码学、算法设计、数据库管理等方面也有应用。例如，一些伪随机数生成器基于置换群的性质。本书将简要介绍置换群在这些领域的潜在应用。 物理学方面： 在量子力学中，玻色子和费米子的交换对称性可以用置换群来描述。在统计力学中，分子的全同性也与置换群有关。本书将简要提及置换群在描述物理系统中的全同粒子时的作用。 总结 《有限置换群》一书力求以清晰的逻辑、严谨的证明和丰富的例子，引导读者全面理解有限置换群的理论体系。从基础概念的建立，到结构理论的深入剖析，再到分类的挑战与进展，最终落脚于其在各个领域的广泛应用，本书旨在成为一本读者学习和研究有限置换群的宝贵参考资料，激发读者对这一迷人数学领域的进一步探索。本书的目标是使读者不仅能够掌握有限置换群的理论知识，更能深刻理解其内在的数学美感及其在现代科学技术中的重要价值。

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