Student Solutions Manual for Elementary Linear Algebra with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Pearson

作者:Bernard Kolman

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2007-10-6

价格:USD 38.67

装帧:Paperback

isbn号码:9780132296564

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 解题手册
• 应用
• 高等教育
• 数学
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• 解题指南
• Elementary Linear Algebra
• David C
• Lay

《探索线性代数：理论与实际应用》 前言 线性代数，作为现代数学的基石之一，在科学、工程、经济学、计算机科学等众多领域扮演着至关重要的角色。它为我们提供了一种理解和处理多变量系统、数据分析、优化问题以及几何变换的强大工具。本书旨在为读者构建一个坚实的线性代数理论基础，并清晰地展示这些理论如何在现实世界中得到应用，帮助读者掌握解决复杂问题的关键思维方式和计算技巧。 第一部分：向量空间与线性变换的基石 本书的起点是线性代数最核心的概念——向量空间。我们将深入探讨向量空间的定义、性质以及各种类型的向量空间，包括实向量空间、复向量空间以及函数空间。理解向量空间的结构是后续学习的关键。我们还将介绍向量的线性组合、线性无关、基底和维度等重要概念。这些概念将帮助我们理解向量空间的大小和“自由度”，并为描述更复杂的数学对象奠定基础。 第一章：向量与向量空间 向量的基本概念： 我们将从二维和三维空间中的向量入手，介绍向量的加法、标量乘法，以及向量的长度和方向。通过几何直观和代数表示，帮助读者建立对向量的初步认识。 n维向量空间： 将二维和三维向量的概念推广到更高维度，定义n维向量空间 Rn，并介绍其上的线性运算。讨论 Rn 作为向量空间的性质，包括封闭性、结合律、交换律、分配律以及零向量和负向量的存在性。 子空间： 引入子空间的定义，探讨如何判断一个向量集合是否构成一个向量空间。通过子空间的例子，如直线、平面以及通过原点的更高维度的子空间，加深对向量空间结构的理解。 线性组合与张成： 学习如何用一个向量组的线性组合来表示其他向量。引入“张成”的概念，理解由一个向量组生成的子空间。 线性无关与线性相关： 深入分析向量组的线性无关性，这是理解基底和维度的前提。通过例子区分线性无关和线性相关的向量组，并探讨其几何意义。 基与维度： 定义向量空间的基，即一组线性无关且能张成整个空间的向量。理解基的唯一性（在张成相同空间的前提下）和维度作为描述向量空间“大小”的度量。 其他向量空间： 介绍一些更抽象但同样重要的向量空间，例如多项式构成的向量空间，以及由连续函数构成的向量空间。这些例子将展示线性代数概念的普适性。 第二章：矩阵与线性方程组 矩阵的定义与运算： 介绍矩阵的表示、维度以及各种运算，包括矩阵的加法、标量乘法、矩阵乘法。重点讲解矩阵乘法的含义，以及为何它与函数复合的概念密切相关。 线性方程组的矩阵表示： 将一个线性方程组转化为矩阵方程 Ax = b 的形式。理解 A、x 和 b 的各自含义，以及这种表示的简洁性。 高斯消元法： 详细介绍求解线性方程组的标准算法——高斯消元法。通过行初等变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，从而找到方程组的解。 解的结构： 分析线性方程组解的个数，包括唯一解、无穷多解和无解的情况。探讨齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间（零空间）及其性质。 矩阵的逆： 定义矩阵的逆，并给出求逆的方法（例如通过初等行变换）。讨论逆矩阵的性质，以及何时一个矩阵是可逆的。 行列式： 介绍行列式的定义和计算方法，特别是对于二维和三维矩阵。探讨行列式的几何意义（面积或体积的伸缩因子）以及它与矩阵可逆性的关系。 克莱姆法则： 学习如何使用行列式来求解线性方程组（当系数矩阵可逆时）。 第三章：向量空间与线性变换 线性变换的定义： 定义线性变换，即满足加法和标量乘法保持不变的函数。探讨线性变换的性质，例如将零向量映射到零向量。 由矩阵表示的线性变换： 证明任何线性变换都可以由一个矩阵来表示，以及矩阵乘法对应于线性变换的复合。 像空间与零空间： 定义线性变换的像空间（Range）和零空间（Null Space）。探讨它们作为向量空间的性质，并引入秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem），该定理揭示了像空间维度和零空间维度之间的重要关系。 核与像： 进一步分析线性变换的核（Kernel）和像（Image），它们与零空间和像空间是同义词。 基变换： 学习如何在不同的基底之间转换向量的坐标。理解基变换矩阵的作用，以及它如何影响线性变换的矩阵表示。 相似矩阵： 定义相似矩阵，并证明如果两个矩阵表示同一个线性变换在不同基下的矩阵，则它们是相似的。 第二部分：深入核心理论与应用 在掌握了向量空间和线性变换的基础后，我们将进一步深入线性代数的核心理论，包括特征值、特征向量、内积空间以及线性代数的分解方法。这些概念不仅具有深刻的理论意义，也是许多高级算法和模型的关键。 第四章：特征值与特征向量 定义与计算： 定义特征值和特征向量，即在特定线性变换下，向量方向不变但长度可能发生变化的向量。学习如何通过求解特征方程 det(A - λI) = 0 来找到特征值，进而求出对应的特征向量。 特征值与特征向量的性质： 探讨特征值和特征向量的一些重要性质，例如对称矩阵的特征值性质。 对角化： 学习如何将一个矩阵对角化，即将矩阵 A 转化为 P⁻¹AP = D 的形式，其中 D 是对角矩阵，对角线上的元素是 A 的特征值。理解对角化的意义在于简化矩阵运算，例如求矩阵的幂。 应用： 介绍特征值和特征向量在动力系统分析（如稳定性分析）、主成分分析（PCA）等领域的应用。 第五章：内积空间与正交性 内积的定义： 定义向量空间的内积（点积），探讨其性质，如线性性、对称性、正定性。 长度与距离： 利用内积定义向量的长度（范数）和两个向量之间的距离。 正交性： 定义正交向量，即内积为零的两个向量。引入正交基和标准正交基的概念。 格拉姆-施密特正交化： 学习一种构造标准正交基的方法——格拉姆-施密特正交化过程。 正交投影： 介绍向量在子空间上的正交投影，以及它在最小二乘法等问题中的作用。 最小二乘法： 探讨如何利用正交投影来解决超定方程组，即找到最接近方程组解的近似解。这在数据拟合和回归分析中非常重要。 第六章：线性代数的分解技术 LU分解： 学习如何将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积。理解 LU 分解在求解线性方程组和计算行列式中的效率优势。 QR分解： 介绍将一个矩阵分解为一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R 的乘积。QR 分解在数值计算、特征值计算和最小二乘法求解中有着广泛的应用。 奇异值分解 (SVD)： SVD 是线性代数中最强大、应用最广泛的分解技术之一。我们将介绍 SVD 的定义，即任何矩阵都可以分解为 A = UΣVᵀ 的形式，其中 U 和 V 是正交矩阵，Σ 是对角矩阵。 SVD 的应用： 深入探讨 SVD 在数据压缩（例如图像压缩）、降噪、推荐系统、主题模型（如 LDA）以及矩阵逼近等领域的强大应用。 第三部分：高级主题与实际应用 在掌握了基础理论和分解技术之后，本书将触及一些更高级的主题，并进一步展示线性代数在不同领域的实际应用。 第七章：线性代数在工程与科学中的应用 电路分析： 使用线性方程组和矩阵来建模和求解电路中的电流和电压。 结构工程： 利用线性代数来分析桥梁、建筑物等结构的受力情况。 化学与物理： 模拟化学反应速率、分析量子力学中的态矢等。 控制理论： 应用线性代数来设计和分析控制系统，例如在飞行器控制和机器人学中。 信号处理： 利用傅里叶变换、小波变换等与线性代数紧密相关的工具处理和分析信号。 第八章：线性代数在计算机科学与数据科学中的应用 图论： 使用邻接矩阵和关联矩阵来表示和分析图的性质，解决路径问题、连通性问题等。 机器学习： 线性回归与逻辑回归： 讲解如何用线性代数构建和优化这些基础的机器学习模型。 支持向量机 (SVM)： 理解 SVM 的核技巧和最优分类超平面与线性代数的联系。 主成分分析 (PCA)： 再次强调 PCA 在降维和特征提取中的核心作用。 推荐系统： 探讨基于矩阵分解（如 SVD）的推荐算法。 自然语言处理 (NLP)： 词嵌入、主题模型等都离不开线性代数。 计算机图形学： 使用矩阵来表示和进行三维变换，如平移、旋转、缩放。 数值分析： 线性代数是许多数值算法（如求解微分方程）的基础。 第九章：线性代数在经济学与金融中的应用 投入产出模型： 使用矩阵来分析一个经济体中各行业之间的相互依赖关系。 计量经济学： 线性回归和模型估计是经济学分析的核心工具。 金融建模： 投资组合优化、风险管理、期权定价等都大量使用线性代数。 结语 本书的编写力求清晰、严谨，并兼顾理论的深度与应用的广度。我们希望通过循序渐进的讲解，帮助读者不仅掌握线性代数的计算技巧，更能理解其背后的深刻思想，从而能够灵活地将线性代数的工具应用于解决各种实际问题。学习线性代数是一段探索数学之美和强大力量的旅程，我们诚挚地邀请您与我们一同踏上这段旅程。

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