Numerical Solutions of Nonlinear Problems (v. 2) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Society for Industrial & Applied

作者:James M. Ortega

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1970-06

价格:USD 16.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898710434

丛书系列:

图书标签:

• Numerical Analysis
• Nonlinear Equations
• Numerical Methods
• Scientific Computing
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Engineering Mathematics
• Computational Science
• Optimization
• Root Finding

《非线性问题数值解法》（第二卷）是一本深入探讨复杂数学和工程领域中非线性现象的数值处理方法的权威著作。本书继承了第一卷的严谨风格，进一步拓展了理论框架，并引入了更多先进的算法和应用案例，旨在为研究人员、工程师以及对计算科学感兴趣的学生提供一个全面且实用的参考。 本书结构与核心内容 本书第二卷在第一卷的基础上，更加聚焦于一些更具挑战性、更贴近实际应用场景的非线性问题。全书可以概括为以下几个主要部分： 第一部分：高阶方法与精度提升 在非线性问题的数值求解中，方法的精度直接影响到计算结果的可靠性和效率。本卷首先深入探讨了更高阶的数值方法，这些方法能够在相同的计算量下获得更高的精度，或者在达到相同精度要求时显著减少所需的计算步数。 高阶Runge-Kutta方法及其改进： 尽管Runge-Kutta方法是求解常微分方程（ODE）的经典技术，但针对非线性ODE，传统的低阶方法在精度上可能不足以满足某些精细模拟的要求。本卷详细介绍了各种高阶Runge-Kutta方法的理论基础，包括其稳定性、收敛性和误差分析。特别地，本书着重讲解了如何构建和实现那些具有更高阶（例如四阶、五阶甚至更高）的Runge-Kutta方法，并提供了针对不同类型非线性ODE的优化策略。这包括对显式和隐式Runge-Kutta方法的比较分析，以及它们在处理刚性（stiff）非线性问题时的优劣。 多步法的推广与应用： 除了单步法，多步法在求解ODE时也占有重要地位。本卷将多步法的概念延伸到非线性方程组的求解，探讨了如何设计能够利用先前计算信息来提高当前步求解效率和精度的多步方法。这涉及到线性多步法（LMM）和混合多步法（HMM）的原理，以及它们在适应性步长控制和处理复杂非线性行为方面的能力。特别地，对于非线性问题，需要对多步法进行适当的修正，以保证其稳定性和收敛性。 迭代方法的收敛加速技术： 对于许多非线性方程组，迭代求解是唯一可行或最有效的方法。本卷深入研究了各种迭代方法的收敛性，并着重介绍了多种加速收敛的技术。这包括但不限于：舒尔兹迭代（Schulz iteration）及其在矩阵求逆和求解线性系统中的非线性推广，广义最小残差法（GMRES）和共轭梯度法（CG）等 Krylov 子空间方法的非线性变种，以及多重网格法（Multigrid methods）在非线性问题中的应用。本书会详细阐述这些方法的数学原理、算法实现细节以及在不同类型非线性方程组上的表现。 第二部分：偏微分方程（PDE）的非线性数值方法 非线性偏微分方程是描述物理、工程、生物等众多领域中复杂现象的核心数学工具。本卷将非线性问题数值求解的范畴拓展到PDE领域，并着重介绍了几种重要的数值离散技术及其在处理非线性项时的挑战。 有限差分法（FDM）在高维非线性PDE中的应用： 有限差分法是一种直观且广泛应用的数值方法。本卷详细讨论了如何将FDM推广到处理高维、非线性的PDE。这包括对网格生成、差分格式的构建（例如中心差分、向前差分、向后差分，以及更高级的紧致格式），以及如何处理非线性项的离散化。特别地，本书会深入分析在FDM框架下，非线性项的出现如何导致求解方程组的非线性化，以及需要采用什么样的迭代技术（如牛顿迭代、不动点迭代）来求解这些非线性方程组。 有限元法（FEM）在处理非线性边界条件与材料非线性： 有限元法以其处理复杂几何形状和边界条件的能力而闻名。在非线性PDE的求解中，FEM尤为重要。本卷将详细介绍FEM的基本原理，包括弱形式的建立、基函数的选择、单元积分的计算等，并重点阐述FEM如何有效地处理非线性边界条件（例如涉及解的函数形式的边界条件），以及在材料属性本身依赖于解的非线性问题中的应用（例如塑性力学、非线性传热等）。书中会提供具体的算法流程和实现示例。 谱方法的非线性应用： 谱方法以其指数级的收敛速度而著称，尤其适用于光滑解的求解。本卷将探讨谱方法在非线性PDE中的应用，包括傅里叶谱方法、切比雪夫谱方法以及多项式谱方法。本书会重点介绍如何处理非线性项在谱空间中的表示和计算，以及如何通过伪谱方法（pseudospectral methods）来提高计算效率。同时，也会讨论谱方法在处理周期性边界条件和特定区域非线性问题时的优势。 时间离散化与稳定性分析： 对于非线性PDE的时间演化问题，选择合适的时间离散化方法至关重要。本卷会深入分析各种时间离散化方法的特性，包括向前欧拉法、向后欧拉法、Crank-Nicolson方法等，并着重探讨它们在非线性问题中的稳定性和收敛性。特别会强调如何处理由非线性项引起的数值稳定性问题，并介绍诸如隐式时间积分方法以及与空间离散方法相结合的稳定性分析技术。 第三部分：特定类型的非线性问题与高级主题 除了上述通用的数值方法，本书还针对一些在科学和工程中具有代表性的非线性问题，提供了深入的数值求解策略，并引入了一些高级话题。 求解大尺度稀疏非线性方程组： 在许多实际应用中，非线性方程组的规模巨大，且矩阵形式稀疏。本卷将专门讨论求解这类问题的技术，包括各种预条件技术（preconditioning techniques）如何增强迭代方法的收敛速度，以及稀疏矩阵存储和计算的优化技术。 全局优化与多值解问题： 对于一些非线性问题，可能存在多个局部最优解，或者求解域内存在多个稳定的解。本卷将介绍一些全局优化算法，例如模拟退火、遗传算法等，以及它们在寻找非线性系统全局最优解方面的应用。同时，也会探讨如何数值地捕捉和分析非线性方程组的多值解。 不确定性量化与鲁棒性分析： 在现实世界中，许多模型的参数或输入数据都包含不确定性。本卷将介绍如何将这些不确定性融入到非线性问题的数值求解中，例如使用蒙特卡洛方法、多项式混沌展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）等技术进行不确定性量化。同时，也会讨论如何进行鲁棒性分析，评估模型在参数变化下的稳定性。 与机器学习的交叉： 随着机器学习的飞速发展，其与传统数值方法的结合也日益紧密。本卷将初步探讨如何利用机器学习技术来辅助非线性问题的数值求解，例如使用神经网络来近似复杂的非线性函数、优化迭代算法的参数，或者构建代理模型（surrogate models）来加速高成本的模拟。 本书特点与读者受益 《非线性问题数值解法》（第二卷）最大的特点在于其内容的深度和广度。它不仅提供了严谨的数学理论推导，更注重算法的实现细节和实际应用。 理论与实践的结合： 本书在讲解理论的同时，辅以大量的算法伪代码和伪码描述，便于读者理解和实现。书中也可能引用一些经典的测试算例，并分析其数值结果。 前沿性的视角： 本卷涵盖了近年来在非线性数值方法领域的一些重要进展，例如不确定性量化和与机器学习的交叉，为读者提供了对未来研究方向的洞察。 适合对象： 本书适合于具备一定数学基础（包括微积分、线性代数、数值分析基础）的研究生、博士生、博士后以及从事计算科学、工程模拟、数据科学等领域的专业研究人员和工程师。对于希望深入理解非线性问题数值求解的本科高年级学生，本书也是一本极具挑战性和价值的参考书。 总而言之，《非线性问题数值解法》（第二卷）是一部内容充实、论述精辟的学术专著。它将带领读者深入探索非线性数学世界的奥秘，掌握应对复杂计算挑战的利器，并为解决现实世界中的科学与工程问题提供强大的理论和技术支撑。本书的阅读将极大地提升读者在非线性数值求解领域的理论认知和实践能力。

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