Integral Geometry, Radon Transforms and Complex Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Carlos A. Berenstein

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:1998-06-19

价格:USD 39.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540642077

丛书系列:

图书标签:

• Integral Geometry
• Radon Transforms
• Complex Analysis
• Mathematical Analysis
• Harmonic Analysis
• Partial Differential Equations
• Functional Analysis
• Geometric Analysis
• Tomography
• Inverse Problems

《积分几何、Radon变换与复分析》是一部汇集了数学中三个深刻且相互关联领域的著作。本书深入探讨了这三个分支的起源、发展及其在现代数学与物理学中的应用，旨在为读者提供一个全面而深入的理解。 第一部分：积分几何 积分几何，作为几何学的一个分支，关注的是在几何空间中对形状、集合及其关系的度量和积分。它为我们提供了一种在不变量的意义下研究几何对象的方法。本部分将追溯积分几何的根源，从早期对直线、平面度量问题的研究，逐渐过渡到更抽象的流形上的积分。 我们将从以下几个核心概念入手： 测度与不变量： 积分几何的核心在于找到在特定变换群（如欧几里得变换、仿射变换）下保持不变的几何量。例如，考虑二维空间中的一组直线，如果我们对其进行平移和旋转，那么特定意义上的“直线数量”或者“交点密度”可能保持不变。本书将详细介绍如何构建这些不变量测度，并分析其性质。 Crofton 公式： 这是积分几何中最具代表性的结果之一。Crofton 公式揭示了欧几里得空间中，一条曲线的长度与穿过该曲线的随机直线的数量之间的关系。我们将详细推导和解释这个公式，并展示它在不同维度和不同几何空间中的推广。这不仅仅是一个理论工具，更是理解几何对象内在结构的有力武器。 运动的积分： 运动的积分，即一个几何对象在运动过程中扫过的区域或体积的测度，是积分几何的另一个重要研究方向。本书将探讨如何计算这些运动的积分，以及它们与不变量测度之间的联系。 凸体几何： 凸体，即其内部任意两点间的连线完全包含在该凸体内的几何体，在积分几何中扮演着核心角色。我们将研究凸体的测度、形状算子以及它们的不变量性质。此外，还将介绍 Minkowski 几何，它是研究凸体及其相关几何量的基础理论。 积分几何的应用： 本部分将不仅限于理论推导，还将展示积分几何在各个领域的实际应用。例如，在科学图像处理中，积分几何的方法可以用于识别和量化图像中的形状特征；在概率几何中，它为研究随机几何模型提供了基础；在物理学中，它也与统计力学和量子场论等领域有着深刻的联系。 第二部分：Radon 变换 Radon 变换是积分几何中的一个关键工具，它将一个函数在一个空间中的积分值与它在另一个空间的某个变换联系起来。这种变换在许多科学领域，特别是医学成像（如 CT 扫描）和地球物理学中，具有至关重要的作用。 本部分将系统地介绍 Radon 变换的定义、性质及其逆变换： Radon 变换的定义与几何解释： 对于一个定义在 $n$ 维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的函数 $f(x)$，其 Radon 变换 $Rf(xi, heta)$ 被定义为函数 $f$ 在通过点 $xi$ 且方向为 $ heta$ 的超平面上的积分。本书将详细解释这个几何意义，以及它如何将高维空间中的函数信息“投影”到低维空间。 Radon 变换的性质： 我们将深入研究 Radon 变换的各种性质，包括其线性性质、收敛性、以及与其他积分变换（如傅里叶变换）的关系。这些性质是理解和应用 Radon 变换的基础。 Radon 变换的逆变换： Radon 变换的关键优势在于其可逆性，即我们可以从投影数据（Radon 变换的结果）重构出原始函数。本部分将详细推导和讨论几种主要的 Radon 变换逆变换算法，例如基于傅里叶切片定理的方法，以及其他数值算法。我们将分析这些算法的稳定性和收敛性。 Radon 变换在不同维度和几何中的推广： 除了欧几里得空间中的标准 Radon 变换，本书还将探讨其在更一般的几何空间（如球面、双曲空间）中的推广，以及在不同维度下的变体。 Radon 变换的应用： 这一部分的重点将放在 Radon 变换的实际应用上。 医学成像： CT 扫描是 Radon 变换最著名的应用。我们将详细解释 CT 扫描的成像原理，即如何利用 X 射线在不同角度下的衰减数据（Radon 变换）来重构出人体内部的二维或三维图像。 地球物理学： 地震波的传播和探测在地球物理学中扮演着重要角色。Radon 变换被用于分析地震数据，帮助科学家理解地球内部的结构。 无损检测： 在工业领域，Radon 变换也被用于对材料进行无损检测，例如通过超声波或 X 射线成像来发现内部缺陷。 其他领域： 此外，Radon 变换在天文观测、图像处理、统计学等领域也有广泛的应用。 第三部分：复分析 复分析是数学中一个优雅且强大的分支，它研究定义在复数集上的函数。复分析的许多概念和工具，如解析性、柯西积分定理、留数定理等，都表现出与实分析截然不同的性质，并且在许多领域有着深远的意义。 本部分将从复数的基本概念出发，逐步深入到复分析的各个核心内容： 复数与复平面： 从复数的代数运算开始，引入复平面，并讨论复数的几何意义，如复数乘法的旋转和缩放。 复变函数与解析性： 定义复变函数，并引入“解析性”这一核心概念。我们将详细解释为什么解析函数比实变函数拥有更强的性质，以及柯西-黎曼方程在刻画解析性中的作用。 复积分与柯西定理： 引入复积分的概念，并重点阐述柯西-古尔萨定理和柯西积分定理。这些定理是复分析的基石，它们表明在单连通区域内，解析函数的积分性质与路径无关。 柯西积分公式： 柯西积分公式是将函数值与其在边界上的积分值联系起来的强大工具。我们将推导并展示其在计算函数值、导数以及研究函数性质方面的作用。 级数表示： 我们将讨论泰勒级数和洛朗级数，它们为解析函数提供了局部或区域的级数表示。这对于理解函数的奇点和性质至关重要。 留数定理： 留数定理是利用函数在孤立奇点附近的“留数”来计算复积分的强大工具。我们将详细介绍如何计算留数，并展示留数定理在求解各种积分问题中的应用。 共形映射： 共形映射是指保持角度的映射。复解析函数在一定条件下可以实现共形映射，这在几何、物理（如流体力学、电磁学）等领域有着重要的应用。 复分析的应用： 复分析的理论不仅在数学内部具有重要价值，更在众多应用领域发挥着关键作用。 积分计算： 留数定理为计算各种实积分和复积分提供了有效的方法。 微分方程： 复分析可以用于求解某些类型的常微分方程和偏微分方程。 物理学： 在量子力学、电磁学、流体力学以及信号处理等领域，复分析的思想和工具无处不在。例如，它用于描述波的传播、场的性质以及系统的稳定性。 工程学： 在控制理论、通信系统等领域，复分析也被广泛应用于系统分析和设计。 本书的特色与目标 《积分几何、Radon 变换与复分析》旨在通过以下方式为读者提供独特的学习体验： 内在联系的揭示： 本书的核心目标之一是清晰地展现积分几何、Radon 变换与复分析这三个看似独立的领域之间的深刻联系。我们将展示 Radon 变换如何在积分几何的框架下得以发展，而复分析的工具（特别是傅里叶分析和留数定理）又是理解和计算 Radon 变换逆变换的关键。 理论与应用的平衡： 我们在介绍严格的数学理论的同时，也高度重视其在实际问题中的应用。通过大量的实例和例证，读者将能够看到这些抽象概念如何解决现实世界中的挑战。 循序渐进的学习路径： 本书的设计遵循由浅入深、循序渐进的学习原则。从基础概念的引入，到核心定理的推导，再到复杂问题的解决，力求使不同背景的读者都能顺利掌握书中的内容。 数学严谨性与清晰的阐述： 在保持数学严谨性的前提下，本书注重清晰的语言表达和直观的几何解释，力求使复杂的数学思想易于理解。 本书适合于数学、物理学、工程学以及相关交叉学科的研究生、高年级本科生，以及对这些领域感兴趣的科研人员。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解现代数学中三个重要分支的精髓，并掌握分析和解决复杂问题的强大工具。

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