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出版者:Collier Macmillan Ltd

作者:E.G. Pare

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1965-12

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780029795507

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 描述几何
• 工程制图
• 计算机图形学
• 空间想象力
• 投影几何
• 技术绘图
• 制图学
• 建筑绘图
• 机械制图

图书：《空间解析几何：原理与应用》 本书旨在为读者提供一套全面、深入且极具实践指导意义的空间解析几何知识体系。它不仅是理解和掌握三维空间数学描述的基石，更是连接纯粹理论与工程、物理、计算机图形学等实际应用领域的桥梁。本书的编写严格遵循逻辑递进的原则，力求在保持数学严谨性的同时，最大程度地降低读者的理解门槛。 --- 第一部分：基础元素与坐标系统——构建空间认知框架 本部分将读者从熟悉的长方体坐标系出发，系统性地引入描述空间的基本工具。我们首先详细探讨笛卡尔坐标系在三维空间中的精确定义、点的位置表示以及向量在坐标系下的分量表示。空间几何学的核心在于向量，因此，本书将向量的加减法、数乘等基本运算，与它们在几何意义上的投影、伸缩进行了深入的关联。 紧接着，我们引入空间中两个至关重要的概念——点积（内积）和叉积（外积）。点积被细致地分解为其代数运算和几何意义（如角度余弦、投影长度）的联系，这为后续理解平面法向量和线性相关性奠定了基础。叉积的讨论则更为侧重其几何特性：它生成一个垂直于原两个向量构成的平面的新向量，其模长等于由原向量构成的平行四边形的面积。这部分内容详细阐述了如何利用叉积来确定空间的定向性和面积计算。 为了应对更复杂的空间定位需求，本书引入了柱坐标系和球面坐标系。对于柱坐标系，我们着重分析其在描述具有旋转对称性物体（如圆柱、螺旋结构）时的简便性，并详细推导其坐标转换公式。球面坐标系的讨论则聚焦于其在天文学、地球科学以及描述球体相关问题时的不可替代性，包括如何利用它简化三维积分的计算。坐标系的变换，尤其是旋转变换，作为连接不同描述方法的关键，被给予了充分的篇幅，包括欧拉角和旋转矩阵的引入，为后续的三维图形变换做好了铺垫。 第二部分：线性几何实体——直线与平面的精确描绘 线性实体是空间解析几何研究的核心对象。本部分致力于用代数语言精确捕捉直线和平面。 关于直线： 我们不仅介绍了点向式（或参数方程），强调其在描述动态路径和轨迹上的优势，还深入探讨了两点式和对称式。一个关键的章节专门用于分析两条直线在空间中的相对位置：平行、相交以及空间（既不平行也不相交）关系。对于空间直线，我们定义了方向向量，并详细解析了如何计算两条异面直线之间的最短距离——这是一个结合了点积和叉积应用的经典问题，本书提供了多种求解路径以供对比。 关于平面： 平面的代数描述依赖于其法向量。本书从点法式出发，推导出一般式 $Ax + By + Cz + D = 0$，并详细解释了系数 $(A, B, C)$ 即为平面的法向量的几何意义。我们系统地分析了平面间的关系（平行、相交及其交线描述），以及点到平面的距离公式的推导过程，该过程清晰地展示了点积在投影计算中的作用。此外，本书还探讨了如何通过两个平面的交线与第三个平面构成的束（pencil of planes）的概念，这在某些几何构造问题中具有极高的实用价值。 第三部分：二次曲面与空间曲线——引入非线性维度 当描述对象不再局限于直线和平面时，我们需要引入更高级的代数工具来描述二次曲面。本部分将重点放在圆锥曲线在三维空间中的推广，以及二次曲面的标准方程。 二次曲面： 我们详细分析了四大类最基本的二次曲面：椭球面、双曲面（单叶和双叶）、抛物面（椭圆和双曲），以及圆柱面和圆锥面。对于每一种曲面，本书都提供了其标准形式、关键参数（如半轴长）、截面的几何意义（如何通过平面切割得到特征曲线），以及在实际工程中的应用实例（如卫星轨道、冷却塔结构）。我们特别强调了二次曲面的分类，即如何通过二次型矩阵的特征值来判断曲面的类型，这为计算机辅助设计（CAD）中的曲面重建提供了理论基础。 空间曲线： 空间曲线的描述主要依赖于参数方程 $mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$。我们利用微分几何的概念，引入了切向量、法向量和副法向量构成的弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）标架。这套工具使得我们能够精确测量空间曲线的曲率（Curvature）和挠率（Torsion）。曲率描述了曲线弯曲的程度，而挠率则描述了曲线偏离其所在切平面的趋势（即扭曲程度）。对这些量的深入理解，是分析轨道力学、机械臂运动路径规划的先决条件。 第四部分：高级主题与应用——解析几何的深度拓展 本部分的讨论将解析几何提升到更抽象和应用化的层面。 首先，我们深入探讨了曲面的切平面与法线。对于由隐函数 $F(x, y, z) = 0$ 定义的曲面，我们利用梯度向量 $ abla F$ 作为法向量，推导出切平面的方程。这直接将微积分中的偏导数概念与几何直观完美结合。 其次，本书专门设立章节讨论线性代数在解析几何中的地位，包括二次型的配平与特征值分解在简化二次曲面方程中的应用。通过对二次型矩阵的对角化，我们可以系统地消除交叉项，将复杂的曲面方程转化为标准形式，这在进行曲面优化和分析时极为关键。 最后，本书的最后一部分聚焦于解析几何在现代科学中的应用实例。这包括但不限于： 1. 计算机图形学基础： 向量变换、光线投射（Ray Tracing）中射线与二次曲面的交点计算。 2. 机器人学与运动学： 刚体在三维空间中的位姿描述（旋转矩阵与四元数简介）。 3. 物理学： 场论中梯度、散度和旋度的几何解释。 全书配有大量的习题和案例分析，旨在培养读者利用代数工具“看见”和“操纵”三维空间的能力。学习本书后，读者将能够自信地使用数学语言精确表达、分析和解决涉及三维几何形状的复杂问题。

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