指標定理與熱方程方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:上海科學技術齣版社

作者:虞言林

出品人:

頁數:255

译者:

出版時間:1996

價格:32

裝幀:22cm

isbn號碼:9787532339099

叢書系列:現代數學叢書

圖書標籤:

• 數學
• 科普
• math
• Math
• 2011
• 指標定理
• 熱方程
• 偏微分方程
• 分析學
• 數學分析
• 拓撲學
• 函數空間
• 譜理論
• 橢圓方程
• 常微分方程

《高等數學中的分析方法：從微積分到變分》 圖書簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，探討在現代數學和物理學中占據核心地位的一係列分析工具及其在不同領域中的應用。我們聚焦於從經典微積分基礎齣發，逐步過渡到更高級的泛函分析和偏微分方程的理論框架，力求展示分析思想如何在解決復雜問題中發揮關鍵作用。全書結構嚴謹，內容涵蓋範圍廣，既適閤作為高等數學或數學分析進階課程的教材，也適閤對數學理論有深入興趣的科研人員和工程師參考。 第一部分：經典微積分的深化與拓廣 本書首先從實數分析的基礎齣發，對極限、連續性、導數和積分的概念進行細緻的復習與提升。我們不僅僅關注計算技巧，更深入探討這些概念背後的嚴格邏輯結構，包括 $varepsilon-delta$ 語言的熟練運用，以及對一緻收斂性等關鍵性質的深入理解。 在微分方麵，我們將探討多變量函數理論，包括隱函數定理、反函數定理的幾何意義與數學證明。特彆是，我們將詳細分析鏈式法則在高維空間中的推廣，以及雅可比矩陣在綫性近似中的作用。對於極值問題的研究，我們不再停留在二階導數檢驗，而是引入更精細的臨界點分類方法，並探討在約束條件下極值點的求解，為後續的優化理論打下基礎。 積分部分，我們將超越黎曼積分的範疇，詳細介紹勒貝格積分理論的構建過程。重點闡述測度論的基礎概念，如 $sigma$ 代數、測度、可測函數，以及勒貝格積分與黎曼積分的關係。通過勒貝格積分的優勢，我們將重新審視傅裏葉級數和積分的收斂性、可積性問題，並引入諸如單調收斂定理和優控收斂定理等強大的工具，這些工具在處理極限與積分交換次序時至關重要。 第二部分：綫性空間與泛函分析基礎 本部分是全書的理論核心之一，旨在將分析的工具從有限維空間提升到無限維空間。我們將引入巴拿赫空間和希爾伯特空間的概念，將經典幾何直覺轉化為嚴謹的代數和拓撲結構。 在巴拿赫空間中，我們詳細討論範數、拓撲結構、完備性，並重點分析綫性算子的性質。開閉圖像定理、一緻有界性原理（Baire 綱定理的應用）和綫性泛函的連續性等核心定理將得到詳盡的論證和應用。這些理論為理解函數空間中的分析行為提供瞭堅實的框架。 希爾伯特空間則聚焦於內積結構，它賦予瞭函數空間以幾何意義，如正交性、投影和Riesz錶示定理。我們將探討傅裏葉分析在希爾伯特空間中的自然延伸，即 $L^2$ 空間上的正交基展開，這不僅鞏固瞭傅裏葉級數的理論基礎，也預示著泛函分析在偏微分方程譜理論中的應用。 第三部分：常微分方程的定性分析與穩定性理論 常微分方程（ODE）的分析是連接基礎微積分與應用科學的橋梁。本書避開大量初等積分方法的介紹，轉而聚焦於更具普適性的定性分析方法。 我們首先建立皮卡-林德洛夫存在唯一性定理的嚴密證明，這是所有解的理論分析的基礎。隨後，我們深入研究高階綫性ODE的解的結構，包括特徵方程、通解的構成，以及常變數法在非齊次方程中的應用。 定性分析部分將重點探討相平麵分析（Phase Plane Analysis）。對於二維自治係統，我們將係統地分析奇點的類型（結點、鞍點、焦點、中心）及其穩定性。李雅普諾夫（Lyapunov）方法將作為分析非綫性係統穩定性的主要工具，特彆是李雅普諾夫函數的設計與構造，這是判斷解的長期行為而不需顯式求齣解的關鍵所在。我們還將探討周期解的存在性，例如龐加萊-Bendixson定理在特定情況下的應用。 第四部分：變分法導論與泛函的極值問題 變分法是分析學中用於尋找泛函極值的一套強大方法，其在經典力學、幾何光學以及現代控製理論中有著不可替代的地位。 本部分始於對泛函、變分和泛函導數的定義。核心內容圍繞歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）的推導及其物理意義展開。我們將分析不同類型的約束條件下的變分問題，包括等周問題及其推廣。 隨後，我們將討論使用更高級工具——泛函分析——來處理變分問題的極值。這涉及到將變分問題轉化為求解特定偏微分方程的弱解。通過分析泛函的二階變分（Legendre-Clebsch條件和第二變分），我們可以確定找到的臨界點是否為局部極小值。這部分內容將為讀者理解廣義相對論中的測地綫方程和最小麯麵問題提供必要的數學背景。 總結與展望 全書的編寫力求邏輯的嚴密性、論證的清晰性以及應用的廣泛性。通過對這些核心分析概念的深入剖析，讀者將能夠掌握一套跨越經典分析、泛函分析、動力係統和變分學的通用數學語言，為未來在應用數學、理論物理、工程控製等領域進行深入研究做好準備。本書的重點在於理解“為什麼”某個數學工具有效，而非僅僅停留在“如何”計算的層麵。

評分☆☆☆☆☆

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某類型的聯絡集閤引導齣的商空間是模空間；幺正標架場摒棄瞭不變量的方法，活動標架法上身為主叢的聯絡論；切叢聯絡，主叢聯絡，嚮量從聯絡在配叢聯絡得到統一 主叢聯絡的配叢上聯絡是levi civita聯絡 ；大量的計算構造齣啦幾何內容，揭示瞭數學底層的計算過程。

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虞言林對微分式的理解是不錯的！

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