Formally P-Adic Fields pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Alexander Prestel

出品人:

页数:167

译者:

出版时间:1984-4

价格:USD 29.60

装帧:Paperback

isbn号码:9780387128900

丛书系列:

图书标签:

• p-adic numbers
• p-adic analysis
• number theory
• algebraic number theory
• formal schemes
• local fields
• valuation theory
• arithmetic geometry
• Galois representations
• Henselian fields

《从黎曼曲面到代数几何：复分析与拓扑的交织》 本书内容简介： 本书深入探索了复分析的广阔领域，并将其与拓扑学、微分几何以及代数几何的基本概念进行精妙的融合。全书旨在为具有扎实微积分基础的读者，构建一座从经典复变函数理论通往现代数学前沿的坚实桥梁。我们不再将复分析视为孤立的理论体系，而是将其置于一个更广阔的数学结构之中，揭示其内在的深刻联系与普适性。 第一部分：复分析的基础与黎曼几何的萌芽 开篇章节详述了复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构，并引入了全纯函数（Holomorphic Functions）的核心概念。我们细致分析了柯西-黎曼方程，并展示了泰勒级数与洛朗级数在局部表示中的强大威力。重点关注了孤立奇点、留数定理及其在初等积分计算中的应用，为后续更抽象的讨论打下基础。 随后，本书迅速将视角提升至几何层面。我们引入了共形映射（Conformal Mappings）的概念，详细阐述了莫比乌斯变换（Möbius Transformations）如何在复平面上产生几何变形，同时保持局部角度不变性。这部分内容自然地导向了黎曼球（Riemann Sphere）的构造，将其视为一个紧凑的拓扑空间，用以“封闭”复平面，使得无限远点变得可处理。 第二部分：黎曼曲面的代数与拓扑结构 本书的核心创新之一在于对黎曼曲面（Riemann Surfaces）的深入刻画。我们不仅仅将黎曼曲面视为“局部来看像复平面”的复流形，更着重于从拓扑和代数角度理解其本质。 构造与分类： 详细介绍了如何通过“缝合”开复解析集来构造黎曼曲面。着重分析了最简单的两类：球面（Genus 0）、环面（Genus 1），以及更高亏格（Genus $g geq 2$）的曲面。 拓扑不变量： 深刻探讨了亏格（Genus）作为黎曼曲面最重要的拓扑不变量的地位。我们运用欧拉示性数（Euler Characteristic）与曲面的基本群（Fundamental Group）之间的关系，特别是庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）的初步应用，展示了代数拓扑工具如何量化几何形状。 自反函数域的构建： 详细解析了代数方程 $y^2 = P(x)$ 所定义的代数曲线如何自然地提升为一个黎曼曲面，特别是当 $P(x)$ 具有多个零点时，如何处理分支点并形成多层覆盖。 第三部分：微分形式与调和分析 为了从更精细的几何角度分析黎曼曲面上的函数，我们引入了微分几何的工具。 微分形式与德拉姆上同调： 详述了在复流形上定义闭微分形式（Closed 1-forms）和正合微分形式（Exact 1-forms）。通过德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的视角，我们重新审视了留数定理，将其置于上同调群 $H^1(M, mathbb{R})$ 的框架下。 调和函数与拉普拉斯方程： 在黎曼曲面（作为二维实流形）上，我们讨论了拉普拉斯-贝特密（Laplace-Beltrami）算子。黎曼曲面上的调和函数（Harmonic Functions）与全纯函数之间有着深刻的联系——全纯函数的实部和虚部都是调和函数。我们通过极大值原理和阿蒂亚-兰德勒不等式（Ahlfors-Weakly Inequality）来固定这些函数的性质。 狄利克雷原理与能量最小化： 引入了狄利克雷积分（Dirichlet Integral）作为衡量函数“光滑度”的能量泛函，并讨论了调和映射作为能量最小解的特性，为理解曲面之间的映射提供了分析基础。 第四部分：从函数到代数：狄利克雷问题与模空间 最后一部分将分析工具与代数几何的视角融合，探讨了更深层次的结构。 狄利克雷问题与格林函数： 详细分析了在给定边界条件下，如何在黎曼曲面上求解拉普拉斯方程（即狄利克雷问题）。我们通过引入格林函数（Green's Functions）来系统地构造解，揭示了曲面拓扑结构（如是否存在“洞”）如何影响解的存在性和唯一性。 韦尔斯特拉斯因式定理的推广： 借鉴黎曼曲面的性质，我们证明了非零亚纯函数（Meromorphic Functions）的零点和极点集合的分布规律，推广了平面复分析中的韦尔斯特拉斯因式定理，强调了函数零点集与曲面拓扑之间的内在关联。 模空间的概念初探： 简要介绍了模空间（Moduli Spaces）的概念，即将具有相同拓扑结构（相同亏格）的所有黎曼曲面集合起来形成一个新的空间。这部分内容展示了本书讨论的结构如何自然地成为现代代数几何研究的对象，即研究这些曲面集合的性质本身。 本书的叙事风格力求严谨而富有洞察力，强调几何直觉与分析论证的统一。通过对黎曼曲面这一核心对象的深入剖析，读者将领悟到复分析不仅仅是关于积分和级数的工具箱，更是理解高维空间几何结构的关键视角。

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