The Algebra of Random Variables (Probability & Mathematical Statistics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:Melvin D. Springer

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1979-04

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471014065

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数学统计
• 随机变量
• 代数
• 概率模型
• 统计推断
• 随机过程
• 测度论
• 泛函分析
• 高等数学

好的，这是一本关于 随机变量代数 的图书简介，内容详实，专注于介绍该领域的核心概念、理论框架及其应用，同时确保不包含您提到的特定书籍《The Algebra of Random Variables (Probability & Mathematical Statistics)》的具体内容。 --- 书籍简介：《随机变量的代数结构与应用》 书名： 《随机变量的代数结构与应用：概率论与数理统计前沿探索》 定位： 本书旨在为高等数学、统计学、金融工程、物理学及计算机科学等领域的深入研究者和高级学生提供一个全面而深入的视角，探讨随机变量集合在代数框架下的结构、运算、变换以及它们在复杂系统建模中的核心作用。它不仅仅是一本概率论的教科书，更是一本专注于揭示随机现象背后的形式化、结构化逻辑的专著。 第一部分：随机变量的代数基础与度量空间理论 本书的开篇致力于构建理解随机变量代数的严格数学基础。我们从测度论的视角出发，重温概率空间、 $sigma$-代数和随机变量的定义，强调其作为可测函数的本质。 核心内容聚焦： 函数空间与度量： 深入探讨随机变量构成的函数空间，引入 $L^p$ 空间、Banach 空间以及 Hilbert 空间在随机分析中的应用。重点阐述如何利用度量来量化随机变量之间的“距离”或“相似性”，包括 Wasserstein 度量和 Lévy 度量等非经典度量。 代数结构的选择： 详细分析了随机变量集合在不同代数结构下的闭包性质。讨论了线性组合、乘积、极限运算在概率意义下的保持性，并严格区分了几乎处处收敛、依概率收敛和依分布收敛在代数运算中的影响。 特征函数与矩量函数： 深入研究特征函数（Characteristic Functions）作为随机变量的代数表征。探讨其在 $mathbb{R}^n$ 上的代数性质，例如卷积的傅里叶变换性质，以及如何利用这些工具来简化复合随机变量的分析。 第二部分：随机变量间的代数运算与相互作用 本部分将核心的代数运算提升到随机变量的层面，探讨在不确定性背景下，经典代数运算如何演化。 重点探讨的运算及其理论： 1. 随机变量的张量积与克罗内克积的推广： 考察多维随机变量或随机过程的联合结构。在多变量统计和随机场理论中，张量积如何自然地描述协方差结构和信息交互。我们详细分析了在有限维和无限维空间中，如何定义和计算这些积的期望和矩。 2. 随机变量上的线性与非线性算子： 引入算子理论来描述随机变量的变换。探讨诸如随机微分算子、随机积分算子（如 Ito 积分的代数性质）等，重点关注它们在线性（如 Ornstein-Uhlenbeck 过程）和非线性（如 Burgers 方程的随机版本）模型中的作用。 3. 随机矩阵代数： 从向量值随机变量扩展到随机矩阵。讨论随机矩阵的特征值、特征向量的统计特性，以及它们在随机正交系（Random Orthogonal Ensembles, ROE）和随机对称矩阵（Random Symmetric Matrices, RSM）中的代数结构分析，这对于理解高维数据结构至关重要。 4. 代数结构中的约束与投影： 研究在特定约束条件下（如固定协方差矩阵、固定边缘分布）如何对随机变量集合进行投影或约束操作，以维持其代数完整性。 第三部分：代数结构在随机过程与滤波理论中的体现 随机过程是随机变量在时间维度上的延伸。本书通过代数框架，解析复杂随机过程的行为和演化。 应用与深化： 马尔可夫链的代数视角： 将转移概率矩阵视为作用于状态空间的线性算子。分析状态空间的拓扑结构与代数结构之间的关系，包括平稳分布作为算子作用下的不变子空间。 鞅论的代数基础： 鞅被视为一种特殊的“局部一致性”结构。我们考察鞅差序列的性质，以及在鞅空间上进行的随机积分操作如何保持代数上的“公平性”（即零期望）。 卡尔曼滤波的代数优化： 探讨卡尔曼滤波算法中，状态估计和协方差更新的底层代数结构。重点在于最小二乘意义下的最优线性估计，以及如何通过矩阵代数来简化和加速递归计算。 随机动力系统的拓扑代数： 讨论随机扰动下系统的长期行为。利用遍历理论和不变测度，揭示系统在长时间尺度上表现出的稳定代数结构。 第四部分：高级主题：随机代数与信息论的交汇 本部分的讨论超越了标准概率论的范畴，触及了随机分析的交叉领域。 非交换概率论简介： 探讨在某些物理模型（如量子力学）中，随机变量（算子）不再满足交换律时，其代数结构将如何变化。引入非交换期望和非交换中心极限定理的概念。 信息度量与代数距离： 从信息论角度审视随机变量之间的关系。考察 Kullback-Leibler (KL) 散度、Jensen-Shannon 散度等信息度量如何在代数框架下被解释为衡量信息失真或差异的“距离函数”。 随机代数在优化中的应用： 讨论随机梯度下降（SGD）等现代优化算法的收敛性分析，其本质是随机变量序列在特定目标函数空间中的路径优化问题。 总结与读者对象 本书的叙事风格严谨而富有洞察力，每一章节都伴随着严格的证明和具有启发性的例子。它要求读者具备扎实的实分析和线性代数基础。 适合对象： 概率论与数理统计的研究生、从事随机建模、金融衍生品定价、量化投资、高维数据分析、以及理论物理研究的人员。本书旨在提升读者对随机现象进行形式化、代数化建模的能力，使其能够驾驭和创新更复杂的随机系统理论。通过对随机变量代数结构的深入挖掘，读者将能更好地理解和解决那些依赖于复杂不确定性交互的科学和工程难题。

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