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页数:1056

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出版时间:2007-9

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isbn号码:9780495554974

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

大学代数与三角学：通往微积分的坚实桥梁 本书特色： 本教材旨在为学生构建坚实的数学基础，侧重于大学代数和三角学的核心概念，为后续学习微积分（Calculus）做好充分的准备。我们深刻理解，代数和三角学是连接高中数学与高等数学的至关重要的桥梁。因此，本书的编写严格聚焦于理解概念、培养问题解决能力，而非单纯的公式堆砌。 内容结构与深度概述： 本书分为五个主要部分，共计18个章节，力求内容逻辑严密、循序渐进。 第一部分：基础代数回顾与函数概念的深化（Chapters 1-4） 第一章：实数系统与基本代数操作 本章从复习实数集合、数轴表示法和基本运算律开始。重点在于代数表达式的化简，特别是涉及有理数、无理数（包括根式和分式的运算与化简）。我们引入了指数的精确定义，包括零次、负整数次和分数指数的运算规则，确保学生对指数定律有深刻的理解。同时，详细探讨了多项式的乘法、因式分解（包括分组分解法、平方差公式、完全平方公式及十字相乘法），为后续的方程求解打下坚实的基础。 第二章：方程与不等式 本章是代数应用的核心。我们将线性方程、二次方程（使用因式分解法、配方法和二次公式求解）进行系统梳理。我们还将讨论更复杂的方程类型，如含有绝对值的方程、含有根式的方程，并强调检验解的必要性。在不等式部分，不仅覆盖了线性不等式，还深入讲解了二次不等式、有理不等式和绝对值不等式的求解，强调使用区间表示法和数轴分析法来确定解集。此外，还引入了线性方程组（二维和三维）的求解，使用代入法、加减消元法以及矩阵方法（初步介绍）。 第三章：函数导论 本章是理解微积分的基石。我们从集合论的角度引入函数的概念，定义域、值域的确定是本章的重点。详细介绍了函数表示的四种方式：解析式、表格、图形和文字描述。函数图像的绘制技巧，包括平移、伸缩和反射等基本变换，通过大量的实例进行演示。核心内容包括复合函数的定义、运算以及函数的反函数的存在条件和求法。 第四章：特殊函数分析 本章专注于几种关键的初等函数族： 1. 线性函数（直线方程）： 深入探讨斜率的意义，点斜式、斜截式等直线方程形式的应用，以及并行与垂直直线的条件。 2. 多项式函数： 重点分析多项式的零点（根）的性质，使用有理根定理、余数定理和因子定理来查找和验证根。利用多项式的图形特征（如局部极值点、端点行为）进行分析。 3. 有理函数： 详细讲解水平、垂直和斜渐近线的确定方法，以及如何利用这些特征来精确描绘函数图像。 第二部分：指数与对数函数（Chapters 5-6） 第五章：指数函数 本章建立在指数运算的基础上，定义了以任意实数为指数的函数 $f(x) = a^x$。详细分析了指数函数的单调性、值域和图像特征。本章的重点在于指数增长与衰减模型的应用，包括人口增长、放射性衰变等实际问题。 第六章：对数函数及其应用 对数函数被定义为指数函数的反函数。我们严格推导并应用了对数的基本性质（如乘积、商和幂的性质）。换底公式的推导和实际应用是本章难点之一。本章的重点在于使用对数解决实际指数方程，以及深入探讨自然对数（ln）和自然指数函数（e^x）在连续复利和自然增长模型中的重要性。 第三部分：三角函数（Chapters 7-10） 第七章：角的度量与三角函数基础 本章从角度的两种度量方式——角度制与弧度制——的转换开始。定义了圆周上的三角函数（正弦、余弦、正切及其倒数），强调了单位圆在理解三角函数性质中的核心地位。本章将深入探讨参考角的概念以及如何确定任意角函数的值。 第八章：三角函数的图象与性质 我们将焦点从单位圆转移到直角坐标系中。详细分析了正弦函数 $y = A sin(Bx - C) + D$ 和余弦函数的周期、振幅、相位偏移和垂直平移，并教授学生如何根据方程直接绘制出精确的波形图。此外，还分析了正切、余切、正割和余割函数的周期性和垂直渐近线。 第九章：三角恒等式 本章是建立三角学严谨性的关键。学生将学习并熟练运用毕达哥拉斯恒等式。重点是和角与差角公式、二倍角公式以及半角公式的推导和应用。本章的训练侧重于“证明恒等式”，要求学生从代数操纵的角度熟练运用这些公式来简化复杂的三角表达式。 第十章：三角方程与解三角形 本章应用恒等式来求解三角方程，包括一次和二次形式的方程，以及涉及多角公式的复杂方程。在几何应用方面，本章全面覆盖了正弦定理和余弦定理，并详细区分了使用这些定理求解非直角三角形（包括SSA、SAS、SSS情况）的步骤和局限性。 第四部分：解析几何（Chapters 11-13） 第十一章：直线与圆 本章将代数与几何更紧密地结合起来。复习了直线方程，引入了斜截式、一般式，并探讨了点的斜率、距离公式。核心内容是圆的方程，包括标准形式和一般形式的转换，以及如何利用配方法确定圆心和半径。 第十二章：圆锥曲线 I：抛物线与椭圆 本章开始系统研究圆锥曲线。抛物线部分，详细分析了焦点、准线、顶点，以及横向和纵向抛物线的标准方程，并探讨了其在反射问题中的应用。椭圆部分，侧重于长短轴、离心率和焦点的定义，以及其标准方程的建立。 第十三章：圆锥曲线 II：双曲线 本章聚焦于双曲线的定义、标准方程（横式和竖式），以及渐近线在双曲线图形绘制中的关键作用。此外，本章还讨论了圆锥曲线的旋转形式，为更一般的二次方程提供几何解释。 第第五部分：序列、级数与概率初步（Chapters 14-18） 第十四章：序列与级数基础 本章引入了序列的概念，包括递推公式和显式公式。重点区分等差数列（求和公式）和等比数列（求和公式，包括无限等比级数的收敛条件）。级数的求和是本章的练习重点。 第十五章：数学归纳法与二项式定理 数学归纳法作为一种重要的证明工具，将通过多个数学命题的证明来巩固其应用。二项式定理将被完整推导，并教授如何快速地展开任意正整数次幂的二项式，并快速定位任意一项的系数。 第十六章：排列与组合 本章是概率论的代数基础。精确区分排列（考虑顺序）和组合（不考虑顺序）的概念和计算方法。通过大量的实例来判断具体问题应使用哪种计数原理。 第十七章：概率论基础 基于排列组合的基础，本章引入概率的基本概念，包括试验、样本空间和事件。讲解古典概型的计算方法，以及加法法则和乘法法则（包括独立事件和非独立事件的条件概率）。 第十八章：极限的直觉概念（与微积分的衔接） 本章作为全书的收尾和对后续课程的展望，旨在建立学生对极限的直观理解。通过数值逼近和图形分析，展示函数值在接近某点时所展现的趋势。虽然不进行严格的$epsilon-delta$证明，但会清晰地阐述极限的必要性，为学生进入微积分课程做好必要的概念铺垫。 教学方法与资源： 本书在每章的开始部分提供清晰的学习目标，并在章节末尾提供大量的练习题，这些练习题涵盖了基础计算、概念应用和复杂问题求解三个层次。关键概念和公式都以醒目的方框标出，以方便回顾和记忆。我们相信，通过对这些代数和三角学原理的彻底掌握，学生将能够自信地迈入微积分的学习殿堂。

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