Representation Theory of the Symmetric Groups: The Okounkov-Vershik Approach, Character Formulas, an pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press (March 15, 2010)

作者:Tullio Ceccherini-Silberstein

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:2010-3

价格:$ 93.79

装帧:

isbn号码:9780521118170

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

数学
Representation Theory
Symmetric Groups
Okounkov-Vershik
Character Formulas
Combinatorics
Algebra
Mathematics
Young Tableaux
Partitions
Asymptotic Formulas

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具体描述

The representation theory of the symmetric groups is a classical topic that, since the pioneering work of Frobenius, Schur and Young, has grown into a huge body of theory, with many important connections to other areas of mathematics and physics. This self-contained book provides a detailed introduction to the subject, covering classical topics such as the Littlewood-Richardson rule and the Schur-Weyl duality. Importantly the authors also present many recent advances in the area, including Lassalle's character formulas, the theory of partition algebras, and an exhaustive exposition of the approach developed by A. M. Vershik and A. Okounkov. A wealth of examples and exercises makes this an ideal textbook for graduate students. It will also serve as a useful reference for more experienced researchers across a range of areas, including algebra, computer science, statistical mechanics and theoretical physics.

深入探索有限群的结构与表示本书旨在为代数、几何和数学物理领域的研究人员和高年级研究生提供一个全面而深入的关于有限群表示论的严谨论述。它侧重于经典代数工具的应用，特别是舒尔正交关系、特征标理论以及与群代数相关的代数结构，旨在构建一个坚实的理论基础，并引导读者触及该领域前沿的研究课题。第一部分：基础与群代数结构本书的开篇部分奠定了群表示论的基石。我们首先回顾群论的基本概念，包括群的定义、子群、陪集、正规子群以及商群的构造。随后，重点转向群代数 $KG$，其中 $K$ 是一个特征为零的域（通常是复数域 $mathbb{C}$）。我们详细分析了群代数作为环的结构，探讨了其模的理论，并引入了表示的核心概念：群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的线性变换表示 $ ho: G o GL(V)$。核心内容集中在可约表示的分解上。我们引入了舒尔引理 (Schur's Lemma) 的两个基本形式，它是研究表示不可约性的关键工具。基于舒尔引理，我们建立了半单性定理：对于有限群 $G$ 和代数闭域 $K$，群代数 $KG$ 是半单的，这意味着任何表示都可以分解为有限个不可约表示的直和。随后，本书深入探讨了特征标 $chi_V: G o K$，它将群元素映射到其表示矩阵的迹。特征标不仅是表示的有效标识符，还简化了表示理论的研究。我们推导出舒尔正交关系，该关系是特征标理论的支柱。它提供了一个强大的工具来判断表示的不可约性，并决定了两个不可约表示在多大程度上是等价的（通过内积判断）。这一部分还详尽讨论了特征标表的构造。我们通过实例（如二面体群、对称群的小阶群）展示了如何系统地构建和解释特征标表，并阐述了特征标表的行和列之间的深刻关系，例如，零性态和正则类别的关系。第二部分：群作用与代数几何的交织在巩固了特征标理论之后，本书将视角转向表示论在更广阔代数结构中的应用，特别是与环论和模论的联系。我们引入了诱导表示和限制表示的概念，这些是研究不同群之间表示如何相互关联的重要桥梁。诱导表示（通过 Frobenius Reciprocity 联系起来）允许我们从子群的表示构造母群的表示，反之亦然。我们详细分析了如何利用这些工具来分析特定结构的群，例如置换群。针对有限生成代数，我们探讨了其上的模结构。特别是，我们将群代数 $KG$ 与其上的模结构联系起来，阐述了 Frobenius 块的概念，这在研究群代数分解时至关重要。此外，本书还涉及了群代数的分解。我们利用 Wedderburn-Artin 定理，证明了群代数 $KG$ 等同于一系列矩阵环的直积： $$KG cong prod_{i} M_{n_i}(D_i)$$ 其中 $D_i$ 是有限维的除环，且与不可约表示的个数相关联。这揭示了有限群表示论的有限维代数性质。第三部分：应用与高级主题本书的最后部分着眼于将基础理论应用于更复杂的结构和代数工具，为读者进入特定领域的研究做准备。三角表示与根系：虽然本书主要聚焦于有限群，但我们引入了 Weyl 群的概念，它是与李代数和半单李群密切相关的有限群。在 Weyl 群的背景下，我们讨论了特征标公式的经典形式，这为更广义的群（如李群）上的特征标研究提供了范例。群与几何：我们探讨了群表示与几何对象（如拓扑空间或代数簇）上函数的空间之间的联系。在特定的上下文中，群的酉表示可以被视为对该几何对象的对称性描述。代数几何与组合学的交叉：本书简要触及了特征标理论与组合计数问题之间的联系，特别是在描述特定群作用下对象的轨道计数时，特征标的性质如何简化计数。我们探讨了 Burnside 引理的特征标形式，并讨论了它在解决计数问题中的简洁性。结论本书力求在严谨性和可读性之间取得平衡。它不仅提供了理解有限群表示论核心理论所需的数学工具和证明，还通过精心挑选的例子，展示了这些理论如何应用于分析复杂的群结构。完成本书的学习后，读者将具备扎实的知识储备，能够自信地探索代数表示论、代数几何或数学物理中更专业化的主题。全书强调代数结构之间的相互转化和深刻联系，体现了现代数学的统一性。