Rings and Categories of Modules (Graduate Texts in Mathemati pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Frank W. Anderson

出品人:

页数:402

译者:

出版时间:1998-8-18

价格:$95.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387978451

丛书系列:

图书标签:

• 范畴论
• 数学
• 代数
• 环论
• 模论
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• 代数
• 数学
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• 抽象代数
• 同调代数
• 代数结构
• 数学研究

环与模的范畴：从基础概念到高级主题的深入探索 作者/编者：[此处填写作者或编者的姓名] 出版社：[此处填写出版社名称] ISBN: [此处填写ISBN] 图书页数：[此处填写页数] 定价：[此处填写定价] --- 内容概述： 本书旨在为代数、拓扑学以及数学物理等领域的研究生和高级本科生提供一个严谨而全面的视角，以理解“环”与“模”这两个核心代数结构，以及它们所构成的“范畴”。不同于仅侧重于经典环论或基础线性代数的教材，本书将范畴论的语言和视角无缝地融入到对模理论的讨论中，从而揭示出隐藏在具体代数构造背后的统一结构。 全书的结构设计遵循循序渐进的原则，从最基本的代数概念出发，逐步推进到高度抽象的范畴论工具的应用，最终抵达模理论中一些前沿和精细的课题。我们相信，通过这种方法，读者不仅能够掌握模的具体计算技巧，更能理解为什么这些概念在更广泛的数学框架中具有如此重要的地位。 第一部分：基础代数结构的回顾与范畴论的引入 (Chapters 1-3) 第一章：代数结构基础 本章首先回顾了群、环与域的基本定义、性质及其重要例子，如交换环、非交换环、局部环、主理想域（PID）和唯一因子分解域（UFD）。重点在于建立对“理想”和“同态”的深刻理解，因为这些是定义模和范畴态射的基石。我们详细讨论了商环的构造及其性质，特别是与理想的关系。 第二章：模的定义与基本性质 模的概念被正式引入，首先从左$R$-模和右$R$-模的定义开始。本章详细探讨了子模、商模、模同态及其核与像。通过具体的例子——例如域上的向量空间（作为域上的模）和整数$mathbb{Z}$上的模（即阿贝尔群）——来巩固读者的直觉。模的直和、直积、模的生成集和极大/极小条件也被系统地介绍。 第三章：范畴论的初步视角 范畴论的工具在这一部分首次被引入，其目的在于提供一个统一的语言来描述代数结构之间的关系。我们定义了范畴（Objects 和 Morphisms）、函子（Functors）和自然变换（Natural Transformations）。特别强调了Ab（阿贝尔群范畴）和 $R- ext{Mod}$（左$R$-模范畴）作为主要的范畴实例。我们探讨了正合序列（Exact Sequences）在模理论中的重要性，并引入了对偶和等价的概念，为后续章节中更深层次的范畴等价性打下基础。 第二部分：模的结构理论与分解 (Chapters 4-6) 第四章：模的分解与分解理论的初步 本章专注于具有特定性质的模的内部结构。我们深入研究了挠模（Torsion Modules）和无挠模（Torsion-free Modules），特别是在$mathbb{Z}$-模和更一般的环上的情况。分解性的概念被提出，讨论了模是否可以被分解为更简单的模的直和。这包括对幂零性（Nilpotency）和幂零理想的讨论。 第五章：有限生成模与结构定理 这是模理论的核心部分之一。我们详细分析了有限生成模（Finitely Generated Modules）的性质。对于主理想域 $R$ 上的有限生成模，本章导出了著名的结构定理。我们将模分解为挠模部分和自由模部分，并进一步将挠模部分分解为初因子模的直和。这一部分需要严谨地定义和使用Smith Normal Form的推广，尽管本书着重于概念的范畴论解释，但会清晰地展示这些代数工具的必要性。 第六章：诺特定律与交换代数中的应用 本章将注意力转向环自身的性质，特别关注Noether 环（诺特环）和 Artin 环。我们探讨了极大理想、素理想与模的支撑（Support）之间的关系。讨论了局部化（Localization）过程——如何从一个环 $R$ 构造出分数环 $S^{-1}R$，并分析了局部化函子对模结构的影响。这为理解代数几何中的局部化提供了坚实的模论基础。 第三部分：高级范畴工具与函子理论 (Chapters 7-9) 第七章：同调代数的核心工具：内射模与投射模 本章正式引入并深入研究两种最重要的“特殊”模：投射模（Projective Modules）和内射模（Injective Modules）。我们定义了它们，并展示了它们在分解理论中的关键作用，例如它们是自由模的“推广”。本章的核心在于展示投射模与内射模如何作为分解的基石，允许我们将任意模嵌入（或对射）到这些特殊的模的序列中。 第八章：正合函子与导出函子 在理解了投射模和内射模之后，我们转向研究那些“几乎是正合”的函子。我们定义了Ext 函子和 Tor 函子，解释了它们如何量化一个函子偏离正合性的程度。我们将这些函子定义为由投射模或内射模分解导出的上同调群，并展示它们在确定模扩张的结构方面所发挥的决定性作用。 第九章：范畴的等价与嵌入 本章将视角提升到范畴层面。我们研究等价范畴（Equivalence of Categories）的概念，探讨何时两个看似不同的代数结构（例如 $R- ext{Mod}$ 与 $S- ext{Mod}$）在范畴论意义上是相同的。特别关注表示理论：一个环 $R$ 上的模的范畴与 $R$ 的某个矩阵环上的模的范畴之间的关系。嵌入（Embeddings）的概念，如Full and Faithful Functors，被用于比较模范畴与其他相关范畴的结构。 第四部分：特定结构上的深入研究 (Chapters 10-12) 第十章：半单环与模 本章聚焦于一类结构非常“好”的环：半单环（Semisimple Rings）。我们利用摩尔-阿廷定理（Wedderburn-Artin Theorem）来描述这些环的结构，证明它们等价于有限个矩阵环的直积。对于半单环上的模，结构变得异常清晰，任何模都可以被唯一地分解为简单模（Simple Modules）的直和，这与有限维向量空间的结构形成了有趣的类比。 第十一章：群代数与表示论的萌芽 本章将模理论应用于表示论的背景中。我们研究有限群 $G$ 的群代数 $KG$（其中 $K$ 是一个域）。我们分析 $KG$ 上的模，这与 $G$ 在 $K$ 上的表示之间存在直接的一一对应关系。通过利用摩尔-阿廷定理，我们可以完全分解群代数，从而揭示出群表示的结构，特别是当特征不整除群的阶时的情况。 第十二章：非交换环上的特例与展望 本章讨论了在非交换代数中出现的特殊情形，例如自反模（Invertible Modules）在代数簇上的重要性。我们简要探讨了张量积（Tensor Products）的范畴论定义及其性质，尤其是在模的范畴中，张量积函子如何连接不同的模范畴。最后，本章展望了更高级的主题，如导出范畴（Derived Categories）和导出代数在非交换几何和表示论中的应用，为读者未来研究指明方向。 --- 适用读者： 本书适合已经掌握了基础抽象代数（群论、环论基础）的研究生一年级或二年级学生。它特别适合那些希望从范畴论的角度系统理解模理论，并为进一步学习同调代数、表示论或代数拓扑奠定坚实基础的数学专业人士。本书的难度适中，但要求读者具备一定的数学成熟度和对抽象概念的接受能力。

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1.翻译和校对不负责任到连【定理本身】的叙述都能各种漏关键字！ 随便举几个例子 ——3.10推论，漏了【单】同态 ——7.5推论,漏了【本原】幂等元 ——练习1.4 【右】消去应该是左消去 箭头各种画反，u、v弄混，单双弄反，左右弄反，漏记号下标， 校对垃圾到什么程度，错字已经...

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1.翻译和校对不负责任到连【定理本身】的叙述都能各种漏关键字！ 随便举几个例子 ——3.10推论，漏了【单】同态 ——7.5推论,漏了【本原】幂等元 ——练习1.4 【右】消去应该是左消去 箭头各种画反，u、v弄混，单双弄反，左右弄反，漏记号下标， 校对垃圾到什么程度，错字已经...

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1.翻译和校对不负责任到连【定理本身】的叙述都能各种漏关键字！ 随便举几个例子 ——3.10推论，漏了【单】同态 ——7.5推论,漏了【本原】幂等元 ——练习1.4 【右】消去应该是左消去 箭头各种画反，u、v弄混，单双弄反，左右弄反，漏记号下标， 校对垃圾到什么程度，错字已经...

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我是一位研究代数几何的博士生，我们经常需要处理各种代数结构，而环和模是其中最基础也是最核心的部分。在学习代数几何的过程中，我发现很多概念，例如Sheaf (层)、Ideal (理想) 等，最终都可以归结到环和模的理论。我之所以选择这本书，是因为它的标题明确地将“环”和“模”这两个概念紧密地联系在一起，并且定位是“Graduate Texts in Mathematics”，这表明它将提供一个深入而全面的视角。我尤其欣赏作者在介绍“模的范畴”时所展现出的那种统一性。将不同类型的模，例如向量空间、理想、商环等，都统一在“模”这个概念之下，然后从范畴论的角度去研究它们之间的关系，这种抽象和概括的能力，是数学研究中非常重要的功力。我期待这本书能够帮助我理解，为什么在代数几何中，我们总是关注“凝聚层” (coherent sheaves) 而不是一般的层，以及这种“凝聚性”与模的某些性质有怎样的联系。我也希望通过这本书，能够更好地理解代数几何中那些看似复杂的构造，比如“张量积” (tensor product) 的性质，以及它在构建新的模和研究模的性质时起到的作用。

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在我接触数学的多年里，我发现很多深刻的数学思想，往往就隐藏在那些最基础的定义和定理之中。这本书的作者，似乎就深谙此道。我非常喜欢那种“由浅入深”的讲解风格，它能够让学习者在掌握基本概念的同时，逐步体会到数学的魅力和深度。我特别好奇作者是如何处理“模的生成集”和“模的基”这两个概念的。我知道，对于向量空间来说，基的概念非常重要，它决定了向量空间的维度，并且可以用来唯一地表示空间中的任意向量。而对于一般的模，特别是那些由非域上的环定义的模，生成集和基的概念会更加复杂。我期待作者能够清晰地阐述，什么情况下一个模拥有一个有限的生成集，什么情况下一个模拥有一个“基”，以及这些概念与环的性质（例如是否是主理想域）有什么样的联系。我也希望书中能够提供一些关于如何寻找模的生成集或者基的算法或者技巧，这对于我们在解决实际问题时，例如计算模的秩或者判断模的同构性，会非常有帮助。

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在学术研究的道路上，遇到一本能够“启蒙”的书是多么幸运的事情。我早在本科高年级就开始接触抽象代数，那时对模的概念就有了初步的印象，但总觉得有些概念的联系不够紧密，理解不够透彻。这本书的出现，就像在我迷茫时点亮的一盏灯。我尤其被它关于“模的结构定理”部分的叙述所吸引。我知道，一个好的教材，不只是罗列定理和证明，更重要的是能够梳理清楚这些定理之间的逻辑关系，以及它们在整个理论体系中的作用。作者对于环和模之间的内在联系的阐释，让我对“环”这个抽象概念有了更深刻的体悟——原来环的存在，是为了“承载”模的运算和结构。当我看到书中对自由模、有限生成模、挠模等概念的详细介绍时，我仿佛看到了模的世界里各种各样形态各异的“生命”，它们遵循着特定的规则，又有着各自独特的属性。我非常欣赏作者在解释这些概念时所使用的例子，它们往往是来自数论、代数几何等领域的具体场景，这使得原本抽象的概念变得更加鲜活和易于理解。例如，整数环上的模，就是我们最熟悉也最直观的例子，而作者能够从中引申出更一般的性质，这种能力非常令人敬佩。我期待这本书能够帮助我跨越从具体例子到抽象理论的鸿沟，让我能够更加自如地在各种代数结构之间穿梭。

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这是一本让我爱不释手的书。我是一名在读的数学系研究生，目前的研究方向涉及代数数论和表示论，这两个领域都离不开对环和模的深入研究。在我看来，一本优秀的教材，不仅要讲清楚“是什么”，更要讲清楚“为什么”以及“有什么用”。我非常关注作者如何引入“模的模”（module over a ring）。我知道，这是整个理论的出发点，如何从环的结构自然地引出模的定义，以及模的基本运算（加法、标量乘法、加法运算满足的分配律和结合律等），是构建整个理论体系的关键。作者的表述方式是否清晰、是否循序渐进，是我评价一本教材的重要标准。我尤其期待书中对“模的子模”、“模的和”、“模的商模”这些基本概念的讲解。它们是构建更复杂模结构的基础，作者如何将这些概念之间的关系梳理清楚，例如子模与商模之间的联系，以及模的和与模的子模之间的关系，都将直接影响我对整个理论的掌握程度。我希望能从这本书中学习到如何通过这些基本概念来分析和理解不同代数结构的特性。

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我是一名非常注重数学的“构造性”和“算法性”的学习者，我喜欢那些能够提供清晰的步骤和方法的教材。这本书在标题中就明确指出了“Rings and Categories of Modules”，这表明它不仅仅是停留在理论的阐述，更是将其与范畴论相结合，这正是我所追求的。我非常想知道作者是如何介绍“模的范畴”的。我知道，范畴论提供了一个非常抽象和统一的视角来研究数学对象及其之间的关系。将模及其之间的同态放入一个范畴中，可以让我们从更宏观的层面去理解模的性质，例如函子、自然变换等概念。我期待书中能够解释，为什么范畴论的语言对于理解模的结构至关重要，以及它如何帮助我们发现不同代数结构之间的深刻联系。我也对书中关于“自由模”、“投射模”和“内射模”的讲解非常感兴趣，我知道这些特殊的模在范畴论中扮演着重要的角色，例如自由模作为“自由对象”，以及投射模和内射模作为“投射对象”和“内射对象”，它们在范畴的构造和研究中有着广泛的应用。

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这本书的封面设计，那种深邃的蓝色搭配金色的书名，瞬间就吸引了我。我是一名还在攻读博士学位的学生，在学习过程中，经常需要查阅一些更基础但又非常扎实的教材来巩固和深化我的理解。我通常会仔细研究作者的背景、前言以及目录，来判断这本书是否能满足我的需求。当我看到“Graduate Texts in Mathematics”这个系列的名字，我就知道这通常意味着内容会非常严谨，但同时也会覆盖一个领域内的核心概念。虽然我还没有深入阅读这本书的每一个证明，但仅仅是翻阅目录，我就对它所包含的深度和广度有了初步的认识。章节的安排似乎是从模的定义和基本性质开始，然后逐步深入到模的同态，再到模的生成、投影、内射等概念，这些都是代数研究中至关重要的基石。特别是看到关于“模范畴”和“模的范畴”这样的话题，这表明作者不仅仅是在讲解模的理论，更是将其置于更抽象的范畴论的框架下进行探讨，这对于我未来学习更高级的代数结构，例如环、代数、群论的范畴表示法等，将具有不可估量的价值。我非常期待它能在我的研究中提供一些新的视角和更清晰的思路，解决我在一些复杂问题中遇到的瓶颈，帮助我建立起更加系统和完整的知识体系。我通常喜欢那种一步一个脚印，把每一个概念都讲透彻的书，而不是那种跳跃式的讲解，希望这本书能达到这样的效果。

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这本书的印刷质量和纸张触感都给我留下了深刻的印象，这或许听起来与学术内容无关，但对于一个需要长时间沉浸在阅读中的学生来说，良好的阅读体验是至关重要的。翻阅它的过程中，我注意到作者在讲解一些关键定理时，会采用不同的证明方法，或者在证明之后提供一些“注记”或者“评论”，这是一种非常好的教学方式。它不仅仅是展示“如何证明”，更是在引导读者思考“为什么这样证明”以及“还有没有其他的证明思路”。我特别关注了关于“投射模”和“内射模”的章节。我知道这两个概念在同调代数和代数几何中有极其重要的应用，它们是构建长正合序列、研究模的分解等高级理论的基础。作者对这些概念的引入，是从最基本的需求出发，逐步构建出它们的形式化定义，并展现它们在解决某些代数问题时的威力。我期待书中能够提供一些关于如何构造投射/内射分解的算法或者策略，以及这些分解在研究模的某些不变量（比如Ext函子、Tor函子）时扮演的角色。我相信，通过对这些关键概念的深入理解，我将能够更好地掌握同调代数以及其在其他数学分支中的应用，为我的博士论文研究打下坚实的基础。

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我一直认为，数学的学习是一个不断“积累”和“联系”的过程。一本好的教材，应该能够帮助学习者将零散的知识点串联起来，形成一个完整的知识体系。这本书的出现，正是我一直在寻找的。我非常喜欢作者在介绍“模的子结构”时所展现出的那种严谨的逻辑。我知道，任何数学理论的建立，都离不开对基本概念的清晰定义和对基本性质的深刻理解。作者是如何定义模的子模，以及子模与模之间的关系，是我非常关注的。我也希望书中能够提供一些关于如何寻找模的子模的例子，以及如何利用模的子模来判断模的某些性质，例如模的不可约性或者单模性。我还对书中关于“模的直和”和“模的直积”的讲解非常感兴趣。我知道，直和和直积是构造更复杂的模的重要工具，它们能够将多个模“组合”起来，形成一个新的模。我希望书中能够提供一些关于如何构造模的直和和直积的例子，以及如何利用它们来分析模的结构，例如判断模的同构性或者计算模的某些不变量。

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我在学习过程中，总会遇到一些“瓶颈”，这些瓶颈往往是因为基础概念的理解不够扎实，或者对某些理论之间的联系不够清晰。这本书的出现，让我看到了解决这些问题的希望。我通常会花很多时间去研究每一章的引言部分，作者在这里往往会点明本章的核心思想和学习目标。如果引言写得好，我就能很快抓住重点，事半功倍。当我看到书中关于“模的同态”和“模的扩张”的章节时，我非常有兴趣。我知道，同态是连接不同模的桥梁，而扩张则是在已有模的基础上构建更复杂的模。作者对同构、单同态、满同态等概念的讨论，以及它们与模的性质之间的关系，是我特别期待的部分。我还想了解作者是如何讲解“短正合序列”和“长正合序列”的。我知道这些序列在同调代数中有着至关重要的作用，能够帮助我们计算一些不变量，并理解模的某些“亏损”或者“富余”的性质。我希望这本书能够提供一些清晰的例子，展示这些序列是如何构建的，以及它们是如何被用来分析模的结构的。

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这本书的设计风格让我眼前一亮，它的排版清晰，公式的 typesetting 也很规范，这对于我这样需要大量阅读和演算的读者来说，是非常重要的。我是一名对抽象代数充满热情的学生，一直想系统地学习环和模的理论。我非常期待书中对于“模的同态”的讲解。我知道，同态是连接不同代数结构的关键，而对于模来说，同态更是研究模的性质、判断模的同构、以及构造更复杂的模的重要工具。作者是如何定义模的同态，以及同态的核、像、上同构、单同构、满同态等概念，是我非常关注的。我也希望书中能够提供一些关于如何构造模的同态的例子，以及如何利用模的同态来解决一些实际问题，例如证明模的某个性质，或者将一个模分解成更简单的模。我也对书中关于“模的扩张”的讲解非常感兴趣，我知道，模的扩张是一个非常重要的概念，它允许我们在已有的模的基础上构建更复杂的模，例如直和、张量积等。

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